电磁场及电磁波基础(第5章)

1、第第5 5章章 静态场的解静态场的解 静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电静态场是指场量不随时间变化的场。静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。分析静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，静态场，必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发，导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本导出静态场中的麦克斯韦方程组，即描述静态场特性的基本方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊方程。再根据它们的特性，联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，静态场问题可归结为

2、求泊松松方程和拉普拉斯方程。最后，静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法方程和拉普拉斯方程解的问题。通常求解这两个方程的方法有：镜像法、分离变量法和复变函数法，它们属于解析法，有：镜像法、分离变量法和复变函数法，它们属于解析法，而在近似计算中常用有限差分法。而在近似计算中常用有限差分法。 静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数 的梯度来表示它的梯度来表示它: :E 5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 1 1、静电场的位函数、静电场的位函数 即即式中的标量函数式中的标量函数 称为称为电位

3、函数。电位函数。 所以有所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，对于均匀、线性、各向同性的介质，为常数为常数 ()DEE () 即即静电场静电场的位函数的位函数 满足的满足的泊松方程。泊松方程。 2 上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源源”的区的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为的方程称为 泊松方程。泊松方程。 如果场中某处有如果场中某处有=0=0，即在无源区域，则上式变为，即在无源区域，则上式变为20我们将这种形式的方程称为我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它拉普

4、拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。应满足的方程。 2 5.3 5.3 叠加原理和唯一性定理叠加原理和唯一性定理 在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电位函数或矢量磁位函数。位函数或矢量磁位函数。 5.3.1 5.3.1 边界条件的分类边界条件的分类 给定位函数的边界条件通常有三类：给定位

5、函数的边界条件通常有三类： 第一类边界条件第一类边界条件 直接给定整个场域边界上的位直接给定整个场域边界上的位函数值函数值 ( )f s为边界点为边界点S S的位函数，这类问题称为第一类边界条件。的位函数，这类问题称为第一类边界条件。 ( )f s因为因为 ( )fsn故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量，这类问题称为第二类边界条件。法向分量，这类问题称为第二类边界条件。 snnDEn 第二类边界条件第二类边界条件 只给定待求位函数在边界上的只给定待求位函数在边界上的法向导数值法向导数值 第三类边界条件第三类边界条件 给定

6、边界上的位函数及其法向给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合导数的线性组合 ( )( )12fsfsn这是混合边界条件，称为第三类边界条件。这是混合边界条件，称为第三类边界条件。 5.3.2 5.3.2 叠加原理叠加原理 若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，即分别满足拉普拉斯方程，即 和和 , ,则则 和和 的线性组合：的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程：必然也满足拉普拉斯方程：式中式中a a、b b均为常系数。均为常系数。122102201212ab212()0ab5.3.3 5.3.3 唯一性定理唯一性定理 唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定唯一性定理可叙述为：对于任一静态

7、场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。斯方程的解是唯一的。 5.4 5.4 镜像法镜像法 镜像法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来镜像法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜像电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产称为镜像电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法

8、称为镜像法。合成电场，这种方法称为镜像法。5.4.1 5.4.1 点电荷与无限大的平面导体的合成场计算点电荷与无限大的平面导体的合成场计算 如图所示，设有一无限大平面导体，距平面如图所示，设有一无限大平面导体，距平面h处有处有一点电荷一点电荷+q，周围介电常数为，周围介电常数为， 取直角坐标系，使取直角坐标系，使z=0的平的平面与导体平面重合，并将面与导体平面重合，并将+q电电荷放在荷放在z轴上。这时整个电场是轴上。这时整个电场是静电场，是由电荷静电场，是由电荷q和导体平面和导体平面上的感应电荷产生的。上的感应电荷产生的。 点电荷点电荷q q与导体平面之间的电位必须满足下列与导体平面之间的电位

9、必须满足下列条件：条件： 1 1、在、在z=0z=0处，处， =0=0，因为无限大的导体平面电位为，因为无限大的导体平面电位为零；零；2 2、在、在z0z0的空间里，除了点电荷所在的点外，处处的空间里，除了点电荷所在的点外，处处应该满足：应该满足： 20用唯一性定理可以验证，这个假设的电位函数就是我们所要用唯一性定理可以验证，这个假设的电位函数就是我们所要求的合成场求的合成场 。 如果设想把无限大导电平板撤如果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同一种介质去，整个空间充满同一种介质，并，并在点电荷在点电荷q的对称位置上，放一个点的对称位置上，放一个点电荷电荷-q来代替导电平板上的感应电来代替

10、导电平板上的感应电荷。那么在荷。那么在z0空间里任一点空间里任一点p(x,y,z)的电位就应等于源电荷的电位就应等于源电荷q与镜象电荷与镜象电荷-q所产生的电位之和。这时，所产生的电位之和。这时，p点的点的电位为电位为112221212222221111()444114()()qrqqrrrqxyzhxyzh2、两相交半无限大导体平面，在角区内的点电荷、两相交半无限大导体平面，在角区内的点电荷、线电荷的场也可用镜象法求解线电荷的场也可用镜象法求解 。 点电荷对于夹角为点电荷对于夹角为垂直的接地两块相垂直的接地两块相连导电平面的镜像连导电平面的镜像: :5.4.2 5.4.2 电介质分界面的镜像

11、电荷电介质分界面的镜像电荷 如图，如果分界面是介电常数为如图，如果分界面是介电常数为1 1和和2 2的两种无限大介质的边界平面，在介质的两种无限大介质的边界平面，在介质1 1中距分界面为中距分界面为h h处置有一点电荷处置有一点电荷 q q ， 则求则求解介质空间中任一点的电场电位分布可以用解介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜像法求解。镜像法求解。 设在介质设在介质1 1和和2 2内的电位函数分别为内的电位函数分别为1 1和和2 2 。 在介质在介质1 1中，除中，除 q q 点处以外点处以外, ,均有均有 2100z（）qq1r1h12rz22 是点电荷是点电荷q q与介质分界面上感应束

12、缚电荷共与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷在介质在介质1 1中产生的电场可以用处于中产生的电场可以用处于z0z0的区域内的一的区域内的一个镜像电荷个镜像电荷 来等效。来等效。q1为了求介质为了求介质1中的场，将整个空间中的场，将整个空间充满介质充满介质1 ，设在源电荷，设在源电荷 q 对称对称位置上的镜像电荷为位置上的镜像电荷为q ，则，则 11 11 244qqrr 在介质在介质2 2中的电场是源电荷通过介质分界面上的感应束中的电场是源电荷通过介质分界面上的感应束缚电荷在下半空间作用的结果缚电荷在下半空间作用的

13、结果, , 在上半空间用一镜象电荷代在上半空间用一镜象电荷代替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场，则有替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场，则有）（0022z即即 224qr在介质在介质2 2中，场是由中，场是由 产生的。将整个空间看成是充满介产生的。将整个空间看成是充满介质质2 2，则介质，则介质2 2中的场由在源点位置上的像电荷中的场由在源点位置上的像电荷 产生产生 qq上述计算原理图示如下上述计算原理图示如下在介质分界面上，场存在的边界条件是：在介质分界面上，场存在的边界条件是： 1212nnttDDEE利用电场在介质交界面上的边界条件，可以分别确定镜像利用电场在介质交界面上

14、的边界条件，可以分别确定镜像电荷电荷 和等效电荷和等效电荷 的大小。的大小。 qq在介质在介质1 1中，界面上中，界面上p p点的电场强度的切向分量点的电场强度的切向分量 1coscoscos222444111tqqq qrrrE在介质在介质2 2中，电场是由中，电场是由 产生的。电场强度切向分量为产生的。电场强度切向分量为 q2c o s242tqrE 根据边界根据边界条件可得条件可得 21221212qqqq12s ins ins in222444nnqqqrrrDD注意：注意：1 1、镜像电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨、镜像电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改变所

15、放置区域的电位分布，所论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。程。2 2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。致的。3 3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。、所得电位函数必须满足原来的边界条件。5.4.3 5.4.3 球形边界问题球形边界问题 1 1、如图，接地导体球，半径为、如图，接地导体球，半径为a a，在球外与球心相距为，在球外与球心相距为d d 的某点处有一点电荷的某点处有一点电荷q q，点电荷，点电荷q q 将在导体球表面产生感应将在

16、导体球表面产生感应负电荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷负电荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q q 产生的电位之和。产生的电位之和。 4412qqRR设想把导体球移开，用一个镜像电荷代替球面上的感应负设想把导体球移开，用一个镜像电荷代替球面上的感应负电荷，为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导电荷，为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。又由于球对称性，这个镜像电荷必然在点电荷体球内。又由于球对称性，这个镜像电荷必然在点电荷q q与球心所在的同一条直线上。又由于靠近点电荷与球心所在的同一条直线上。又由于靠近点电荷q q的球面的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在OM OM 线段线段上，设在上，设在B B点点,OB=b,OB=b，则位函数表达式为，则位函数表达式为 aqqd 可求出：可求出： 可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷的位置和电量大小，则位函数表达式就确定了。采用镜像的位置和电量大小，则位函数表达式就确定了。采用镜像法后，球面外区域的电位函数相对容易