高等代数--第六章 线性空间ppt课件

1、第六章第六章 线性空间线性空间n1 线性空间的定义线性空间的定义n2 维数维数基和坐标基和坐标n3 线性子空间线性子空间n4 映射映射线性空间的同构线性空间的同构n5 线性空间上的函数线性空间上的函数1 线性空间的定义线性空间的定义n例题n线性空间的定义n线性空间的性质例题n线性空间是线性代数最根本的概念之一。这一节我们来引见它的定义，并讨论它的一些最简单的性质。线性空间也是我们碰到的第一个笼统的概念。n例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的根本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。n例例2 为了解线性方程组，我们讨论过以为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序

2、数组元有序数组 作为元素的作为元素的n维维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：法，那就是：n例例3 对于函数，也可以定义加法和函数对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。譬如说，思索全体定与实数的数量乘法。譬如说，思索全体定义在区间义在区间a,b上的延续函数。我们知道，上的延续函数。我们知道，延续函数的和是延续函数，延续函数与实延续函数的和是延续函数，延续函数与实数的数量乘积还是延续函数。数的数量乘积还是延续函数。),(21naaa),(),(),(22112121nnnnbabababbbaaa).,(),(2121nnkakakaaa

3、aknnR12,|nniRa aaaR1212,nnna aab bbR 1212,nna aab bbkR12,nkka kakanR实实 维向量空间维向量空间 在第二章，有向量的加法 数乘： 任取 那么 对于加法、数乘封锁，且满足八条()()()kkk()klkl()()klk l1nRn(1) (2) (3) 有零向量 (4) 有负向量(5) (6) (7) (8) 那么称 是数域 R 上的 维向量空间 nnF12,|nniFa aaaF1212,nnna aab bbF 1212,nna aab bbkF12,nkka kakanF数域数域 F F上的上的 维向量空间维向量空间 在数域

4、F上，类似可以定义有向量的加法 数乘： 任取 那么 对于加法、数乘封锁，且满足八条()()()kkk()klkl()()klk l1nFn(1) (2) (3) 有零向量 (4) 有负向量(5) (6) (7) (8) 那么称 是数域 F 上的 维向量空间 从这些例子我们看到，所思索的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象不同，这两种运算的定义也是不同的。为了抓住它们的共同点，把它们一致同来加以研讨，我们引入线性空间的概念。当我们引入笼统的线性空间的概念时，也必需选定一个确定的数域作为根底 定义1 设 V 是一个非空集合，F 是一个数域.

5、在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法； 这就是说，给出了一个法那么，对于 V 中的恣意两个元素 与 ，在 V 中都有独一的一个元素 与它们对应， 称为 与 的和，记为线性空间的定义线性空间的定义 在数域 F 与 V 集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法:对于数域 F 中任一数 k 与 V 中任一元素 ，在 V中都有独一的一个元素 与它们对应， 称为 k与 的数量乘积，记为 k假设加法与数量乘法满足下述法那么，那么V称为数域F上的线性空间。加法满足下面四条规那么： 1) 2) 3) 在V中有一个元素0，对于V中任一元 素 都有 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)； 4)

6、对于V中每一个元素 ,都有V中的元素 ， 使得 ( 称为 的负元素)。;);()(00 5) 6)数量乘法与加法满足下面两条规那么： 7) 8) 在以上规那么中，k,l 等表示数域 F 中的恣意数； 等表示集合 V 中的恣意元素。 .)(kkk,1.)()(kllk;)(lklk数量乘法满足下面两条规那么： 由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间。 例例4 全体实函数，按函数的加法和数与全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。线性空间。下面再来举几个例子。例5 数域F上一元多项式环Fx，按通常的多项式加法

7、和数与多项式的乘法，构成一个数域F上的线性空间.假设只思索其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域F上的一个线性空间，用Fxn表示.例6 元素属于数域 F 的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域F 上的一个线性空间，用Fmn表示.例7 数域F按照本身的加法与乘法，即构 成一个本身上的线性空间。 线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多。线性空间有时也称为向量空间。以下我们经常是用小写的希腊字母 代表线性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 代表数域F中的数 , , ,k l p 1.零元素是独一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元

8、素。我们来证01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02 于是 01=01 +02=02。 这就证明了零元素的独一性。 线性空间的性质线性空间的性质2.负元素是独一的。 这就是说，适宜条件 的元素 是被元素 独一决议的。0 . 0, 0.0)()(0假设 有两个负元素 与 ，那么向量 的负元素记为 。 利用负元素，我们定义减法如下：).(3. 我们先来证 这里应该留意，等号 由于两边的“0代表不同的对象 两边加上 即得0000.1)01 (010. 004. 5 00k我们有两边加上 即得. 00) 11 () 1(1) 1(.) 1(.) 1(6.假

9、设 ，那么 或者 . 假设 ，于是一方面 而另一方面由此即得0k0k00k. 00)(11kkk.1)()(11kkkk. 0BACK2 维数维数基与坐标基与坐标n线性空间中向量的线性相关性线性空间中向量的线性相关性n线性空间的维数，基，坐标线性空间的维数，基，坐标n如何求线性空间的维数，基如何求线性空间的维数，基n如何求过渡矩阵如何求过渡矩阵n如何求向量的坐标如何求向量的坐标线性空间中向量的线性相关性线性空间中向量的线性相关性n定义定义2 n 设设V 是数域是数域F上的一个线性空间，上的一个线性空间， 是是V 中一组向量，中一组向量，n 是数域是数域F 中的数，那么向量中的数，那么向量称为向

10、量组称为向量组 的一个线性组合。有的一个线性组合。有时我们也说向量时我们也说向量 可以用向量组可以用向量组 线性表出线性表出) 1(,21rrrkkk,21r,21rrkkk2211,21r,定义3 设 是V中两个向量组。假设(1)中每个向量都可以用向量组(2)线性表出，那么称向量组(1)可以用向量组(2)线性表出。假设(1)与(2)可以相互线性表出，那么向量组(1)与(2)称为等价的) 1 (,21r)2(,21r定义定义4 线性空间线性空间V中向量中向量称为线性相关，假设在数域称为线性相关，假设在数域F中有中有r个个不全为零的数不全为零的数 ，使，使 假设向量假设向量 不线性相关不线性相关

11、,就称为线性就称为线性无关。无关。 换句话说换句话说,向量组向量组 称为线性无关称为线性无关,假假设等式设等式(3)只需在只需在 时才成立。时才成立。) 1(,21rrrkkk,21)3(02211rrkkkr,21r,21021rkkk定义定义5 向量组的一个极大线性无关组向量组的一个极大线性无关组设 S 是线性空间 V 中一部分向量组组成的集合， 是S中的一组向量，假设 线性无关(2) S中其他向量可由 线性表示,那么称 是 S 的一个极大线性无关组12,r12,r12,r12,r定义定义6 向量组的秩向量组的秩向量组一个极大线性无关组 那么 r 称为向量组的秩只含零向量的向量组的秩为 0

12、12,r11122122ijaaVaRaaVR1112212210010000,00001001EEEEV例例1 1 设设 那么 对于矩阵的加法和数乘构成数域 上的线性空间. 是 的一个极大线性无关组4 F x31( )32f xxx22( )4fxx3( )fxx4( )5fx 例例2 2 问问 中的向量组 能否线性相关能否线性相关 以上定义是大家过去曾经熟习的，不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对n元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域F上的笼统的线性空间中来并得出一样的结论。 1.单个向量 是线性相关的充分必要条件是 。两个以上的向量 线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其他向量的

13、线性组合。 2.假设向量组 线性无关，而且可以被 线性表出，那么 。0r,21r,21s,21sr 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有一样个数的向量。 3.假设向量组 线性无关，但向量组 线性相关，那么 可以被 线性表出，而且表法是独一的。对于n元数组所成的向量空间，有n个线性无关的向量，而恣意n+1个向量都是线性相关的。在一个线性空间中，终究最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入r,21,21rr,21定义定义7 假设在线性空间假设在线性空间V中有中有n个线性无关个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，

14、那么量，那么V就称为就称为n维的；假设在维的；假设在V中可以找中可以找到恣意多个线性无关的向量，那么到恣意多个线性无关的向量，那么V就称为就称为无限维的。无限维的。 按照这个定义，几何空间中向量所成的按照这个定义，几何空间中向量所成的线性空间是三维的；线性空间是三维的；n元数组所成的空间是元数组所成的空间是n维的；维的；线性空间的维数 由一切实系数多项式所成的线性空间是无限维的，由于对于恣意的N，都有N个线性无关的向量 无限维空间是一个专门研讨的对象，它与有限维空间有比较大的差别。在本课程中，我们主要讨论有限维空间。 在解析几何中我们看到，为了研讨向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤。对于有限

15、维线性空间，坐标同样是一个有力的工具。., 11Nxx 在n维线性空间V中，n个线性无关的向量 称为V的一组基。设 是V中任一向量，于是 线性相关，因此 可以被基 线性表出：n,21n,21n,21,2211nnaaa其中系数 称为 在基 下的坐标，记为 naaa,21n,21),(21naaa基 坐标例例1 在线性空间在线性空间 中，中，是是n个线性无关的向量，而且每一个次数小个线性无关的向量，而且每一个次数小于于n的数域的数域F上的多项式都可以被它们线性表上的多项式都可以被它们线性表出，所以出，所以 是是n维的，而维的，而 就是就是它的一组基。它的一组基。 在这组基下在这组基下,多项式多项

16、式 的坐标就是它的系数的坐标就是它的系数 。 12, 1nxxx1110)(nnxaxaaxf),(110naaa如何求坐标12, 1nxxx nF x nF x假设在V中另外一组基那么按泰勒展开公式因此，f(x)在基 下的坐标是.),),(, 1121nnaxax（.)()!1()()( )()(1)1(nnaxnafaxafafxf, , 21n).)!1()(,),( ),()1(nafafafn例例2 在在n维空间维空间Fn中，中，显然显然是一组基。对每一个向量是一组基。对每一个向量 ，都有都有所以所以 就是向量就是向量 在这组基下的坐在这组基下的坐标。不难证明，标。不难证明，) 1

17、, 0 , 0(01000121n），（），（),(21naaannaaa2211),(21naaa是 中n个线性无关的向量，在基 下，对于向量 ，有因此， 在基 下的坐标为) 1 , 0 , 0(11011121n），（），（, , 21n),(21naaa.)(121211nnnaaaaa（, , 21n).,(1121nnaaaaanF例3 假设把复数域K看作是本身的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基； 假设看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基。 维数是和所思索的数域有关的。在在n维线性空间维线性空间V中，向量中，向量 是是V的的一组基。一组基。设设 是是V

18、中任一向量，因此中任一向量，因此 可以被可以被基基 线性表出：线性表出：n,21n,211 122,nnxxx解方程组求出系数12,nx xx普通情况BACK3R1, 2,111,1,121,1,131,1,1例例4 4 试求试求 中向量中向量 在基 下的坐标基变换与坐标变换n基变换n坐标变换基变换 过渡矩阵n在n维线性空间中，恣意n个线性无关的向量都可以取作空间的基。对不同的基，同一个向量的坐标普通是不同的。 前面的例子曾经阐明了这一点。如今我们来看，随着基的改动，向量的坐标是怎样变化的。n设 与 是n维线性空间中两组基，它们的关系是n,21, , 21n设向量在这两组基下的坐标分别是 与

19、，即如今找出 与 的关系。 .) 1 (,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaa),(21nxxx) , , (21nxxx) 2(22112211nnnnxxxxxx),(21nxxx) , , (21nxxx 为了写起来方便，我们引入一种方式的写法。把向量写成nnxxx2211)3(,),(2121nnxxxn1可以写成) 4 (.),() , , (2122221112112121nnnnnnnnaaaaaaaaannnnnnaaaaaaaaaA212222111211矩阵称为由基 到 的过渡矩阵，它是可逆的。n,21, , 21n 在利用方式写法

20、来作计算之前，我们首先指出这种写法所具有的一些运算规律。 设 和 是V中两个向量组，是两个nn矩阵，那么n,21n,21)(),(ijijbBaA.),(),(),();)(,(),(),();)(,(),(221121212121212121AAABABAABBAnnnnnnnnn 如今回到本节所要处理的问题上来。由(2)有.) , , (2121nnxxx坐标变换公式用4代入，得与3比较，由基向量的线性无关性，得.),(2121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa)5(.2121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx或者(5)与(

21、6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式。)6(.21121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx.111011001),() , , (2121nn例例5 我们有我们有这里就是过渡矩阵。.111011001A.10000110001100011A因此也就是与3所得出的结果是一致的。,10000110001100012121nnxxxxxx)., 2(,111nixxxxxiiiBACK3R13,1,2 21,1,132,3,111,1,121, 2,332, 0,1例例6 6 在在 中, 求由基 到基 的过渡矩阵3 线性子空间n子空间的定义n有关 n子空

22、间的交n子空间的和n维数公式n两个子空间的直和n多个子空间的直和12(,)rL a子空间的定义定义定义9数域数域 F 上线性空间的一个非空上线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间或子集合称为的一个线性子空间或简称子空间简称子空间. 假设对于的两种运假设对于的两种运算也构成数域算也构成数域 F 上的线性空间上的线性空间. 下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足什么条件才干成为子空间。 设W是V的子集合。由于V是线性空间。所以对于原有的运算，W中的向量满足线性空间定义中的规那么1),2),5),6),7),8)是显然的。为了使W本身构成一线性空间，主要的条件是要求W对于V中原有运算的封锁性

23、，以及规那么3)与4)成立。如今把这些条件列在下面： 如何证明是子空间n1.假设假设W中包含向量中包含向量 ，那么，那么W就一定同时包含域就一定同时包含域F中的数中的数k与与 的数量乘积的数量乘积n2. 假设假设W中包含向量中包含向量 与与 ，那么，那么W就同时包含就同时包含 与与 的和的和 。n3. 0在在W中。中。n4. 假设假设W中包含向量中包含向量 ，那么，那么 也在也在W中中n不难看出不难看出3，4两个条件是多余的，它们曾经包含在两个条件是多余的，它们曾经包含在条件条件1中作为中作为k=0与与 1这两个特殊情形。因此，我这两个特殊情形。因此，我们得到们得到k 定理3 假设线性空间V的

24、非空子集合W对于V的两种运算是封锁的，也就是满足上面的条件1，2，那么W就是一个子空间。 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等。所以，任何一个线性子空间的维数不能超越整个空间的维数。例例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。间。例例2 线性空间线性空间V本身也是本身也是V的一个子空间。的一个子空间。 在线性空间中，零子空间和线性空间本身在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而

25、其它的线性子空间叫做非平凡子空间。它的线性子空间叫做非平凡子空间。例例3 在全体实函数组成的空间中，一切的实在全体实函数组成的空间中，一切的实系数多项式组成一个子空间。系数多项式组成一个子空间。例例4 是线性空间是线性空间 的子空间。的子空间。 nF x F x例5 在线性空间 中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间。不难看出，解空间的基就是方程组的根底解系，它的维数等于n-r,其中 r为系数矩阵的秩。nF. 0, 0, 0321123221211312111nnnnnnnnnaaaaaaxaxaxanF121,0naaaWnF例例6 6 在在 中，

26、一切形如 的向量的集合 构成 的一个子空间121121,1,nnnniVaaaaaaaaaRnR例例7 7 判别判别 能否构成 的一个子空间 子空间 设 是线性空间V中的一组向量。不难看出，这组向量一切能够的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封锁，因此是V的一个子空间，这个子空间叫做由 生成的子空间，记为 r,21rrkkk2211,21r,).,(21raL).,(21raL 由子空间的定义可知，假设V的一个子空间包含向量 ，那么就一定包含它们一切的线性组合，也就是说，一定包含 作为子空间。 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到。现实上，设W是V的一个子空间， W当然也是

27、有限维的。设 是W的一组基，就有 r,21).,(21raLWr,21),(21raL 求 的维数和基定理4 1两个向量组生成一样子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。2 的维数等于向量组 的秩.证明 1设 与 是两个向量组。假设那么每个向量 作为),(21raLr,21r,21s,21).,(),(2121srLaL), 2 , 1(rii),(21sL),(21raL中的向量都可以被 线性表出；同样每个向量 作为 中的向量也都可以被 线性表出，因此这两个向量组等价。 假设这两个向量组等价，那么凡是可以被 线性表出的向量都可以被 线性表出，反过来也一样，因此s,21), 2 , 1(sjj

28、),(21raLr,21,1r,2s,21).,(),(2121srLaL2设向量组 的秩是s, 而 是它的一个极大线性无关组，由于 与 等价，所以由定理1， 就是 的一组基，因此 的维数就是s.r,21s,21)(rs ,21r,s,21).,(),(2121srLaLs,21),(21raL),(21raLnF11, 0, 0e 20,1,0e 0, 0,1ne 12(,)nnFL eee21 (1,)nnF xLx xx例例8 8 在在中，取 , , 那么 例9 4F12,1,3,121, 2,0,131,1,3, 0 41,1,1,1例例10 10 在在 中, 求向量 张成的子空间的基

29、和维数基的扩展基的扩展定理定理5 设设W是数域是数域 F 上上n维线性空间维线性空间V的一个的一个m维子空间，维子空间， 是是W的一组基，那么这的一组基，那么这组向量必定可扩展为整个空间的基。也就是说，组向量必定可扩展为整个空间的基。也就是说，在在V中必定可以找到中必定可以找到n-m个向量个向量 使得使得 是是V的一组基。的一组基。证明证明 对维数差对维数差n-m作归纳法。当作归纳法。当n-m=0，定，定理显然成立，由于理显然成立，由于 曾经是曾经是V的基。的基。如今假定如今假定n-m=k时定理成立，我们思索时定理成立，我们思索n-m=k+1的情形。的情形。 既然既然 还不是还不是V的一组基，

30、它又是的一组基，它又是m,21nmm,21n,21m,21m,21线性无关的，那么在V中必定有一个向量 不能被 线性表出，把 添加进去 必定是线性无关的。由定理4,子空间 是m+1维的。由于, 由归纳法假设， 的基 可以扩展为整个空间的基。根据归纳法原理，定理得证。k1-1k1-m)-(n1)(m-nm,211m1m12,mm,1),(121mmaL),(121mmaL,211,mmBACK子空间的交1212( ,)(,)stL aL n子空间的交n求1212,VVVV 子空间的交10, ,aWa b cFcb2, ,0acWa b cFb120,0aWWa bFb例例 11 11 设设 那么

31、 2 2F定理定理6 假设假设V1，V2是线性空间是线性空间V的两个子空的两个子空 间，那么它们的交间，那么它们的交 也是也是V的子空间。的子空间。证明证明 首先，由首先，由 ，可知，可知 ， 因此因此 是非空的。其次是非空的。其次,假设假设 , 即即 ，而且，而且 ，那么，那么 ， 因此因此 。对数量乘积。对数量乘积 可以同样地证明。所以可以同样地证明。所以 是是V的子空间。的子空间。210 ,0VV210VV 21VV 21VV 21,VV 1,V2,V,1V2V.21VV 21VV 1212( ,)(,)stL aL 求P344 习题8复习题A组 习题8复习题B组 习题1 由集合的交的定

32、义可以看出，子空间的交适宜以下运算规律： (交换律), (结合律)。 多个子空间的交定义： 它也是子空间。1221VVVV)()(321321VVVVVV,121isisVVVV 子空间的和n子空间的和n如何求1212( ,)(,)stL aL 子空间的和子空间的和定义定义11 设设 是线性空间是线性空间V 的子空的子空间间,所谓所谓 与与 的和的和,是指由一切能表是指由一切能表示成示成 ，而，而 的向量的向量组成的子集合，记作组成的子集合，记作12,VV21,11V22V.21VV 1V2V定理定理7 假设假设 是是V子空间子空间,那么它们的和那么它们的和 也是也是V的子空间的子空间21VV

33、 12,VV 子空间的和子空间的和证明证明 首先，首先， 显然是非空的。其次，显然是非空的。其次，假设假设 即即那么那么因此因此 同样同样 所以，所以， 是是V的子空间。的子空间。 21VV ,21VV .,221121221121VVVV).()(2211.,222111VV.21VV .2121VVkkk21VV n子空间的和适宜以下运算规律：n我们定义多个子空间的和n它是由一切表示成n 的向量组成的子空间。n关于子空间的交与和有以下结论：1.设V1，V2，W都是子空间，那么由 与 可推出 1VW ), 2 , 1(,21siViissiisVVVV121.结合律）。）（交换律），)(32

34、13211221VVVVVVVVVV2VW ;21VVW 而由 与 可推出2.对于子空间V1与V2，以下三个结论是等价的： 这些结论的证明留给读者。例12 在三维几何空间中，用V1表示一条经过原点的直线，V2表示一张经过原点而且与V1垂直的平面，那么， V1与V2的交是0，而V1与V2的和是整个区间。1VW 2VW .21VVW121211221). 2). 3).VVVVVVVV例例13 在线性空间在线性空间Fn中，用中，用V1 与与V2分别分别表示齐次方程组表示齐次方程组. 0, 0, 0321123221211312111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa. 0, 0

35、, 0321123221211312111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb与的解空间。. 0, 0, 0, 03211121211132111312111ntnttnnnsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa那么的解空间。12VV就是例14 在一个线性空间V中，我们有).,(),(),(112121tstsLLLn定理定理7 维数公式假设维数公式假设V1，V2 是线是线性空间性空间 V 的两个子空间，那么的两个子空间，那么n 维维(V1)+维维(V2)=维维(V1 +V2)+维维( ).21VV n证明证明 设设V1，V2的维数分别是的维数分别是n1

36、,n2， 的维数是的维数是m,取取 的一组基的一组基n由定理由定理5，它可以扩展成，它可以扩展成V1的一组基的一组基n也可以扩展成也可以扩展成V2的一组基的一组基21VV .,21m.,1121mnm.,2121mnmn我们来证明，向量组n是V1 +V2的一组基。这样， V1 +V2的维数就等于n1+n2-m,因此维数公式成立。n由于n所以n如今来证明向量组(1)是线性无关的。设) 1 (,211121mnmnm).,(),(2112121211mnmmnmLVLV).,(21112121mnmnmLVV. 02211111111mnmnmnmnmmqqppkkn令n由第一个等式 ，而由第二个

37、等式看出 于是 ，即 可以被 线性表示。令 n那么n由于 线性无关,得 n 因此 .2211111111mnmnmnmnmmqqppkk;1V2V21VV m,21,2211mmlll. 0221111mnmnmmqqllmnm2,121mll1, 011mnqq0从而有由于 线性无关，又得这就证明了 线性无关，因此它是V1 +V2的一组基，故维数公式成立. 0111mnmppkkmnm1,110111111mnmnmmppkkmnmnm21,111n从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小，例如，在三维几何空间中，两张经过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4。由

38、此阐明这两张平面的交是一维的直线。n普通地我们有n推论 假设n维线性空间V中两个子空间V1 ,V2的维数之和大于n,那么V1 ,V2必含有非零的公共向量。n证明 由假设 维(V1 +V2)+维( )=维(V1)+维(V2)n.但因V1 +V2是V的子空间而有 所以 维( )0. 这就是说， 中含有非零向量。21VV 12(VV)n,维21VV 21VV BACK两个子空间的直和子空间的直和的定义直和的充要条件直和补的存在性子空间直和的定义o子空间的直和是子空间的和的一个重要的特殊情形。o定义12 设V1，V2 是线性空间V的子空间，假设和V1+V2中每个向量 的分解式是独一的，这个和就称为直和

39、，记为221121,VV21VV 直和的充要条件直和的充要条件定理定理9 和和 是直和的充分必要条件是直和的充分必要条件 是等式是等式)2 , 1( ,021iVii只需在 全为零向量时才成立。i12VV证明 定理的条件实践上就是：零向量的分解式是独一的。因此这个条件显然是必要的。下面来证这个条件的充分性。 设 ，它有两个分解式于是其中 。由定理的条件，应有这就是说，向量 的分解式是独一的。211VV ).2 , 1(,2121iViii. 0)()(2211)2 , 1( iViii)2 , 1(0iiiiin推论推论 和和V1+V2为直和的充分必要条件是为直和的充分必要条件是n证明证明 先

40、证条件的充分性。假设有等式先证条件的充分性。假设有等式n 那么那么 由假设由假设n 这就证明了这就证明了V1+V2是直和。是直和。n再证必要性。任取向量再证必要性。任取向量 于是零向量于是零向量可以表成可以表成n 由于是直和，所以由于是直和，所以 。这就证明了。这就证明了.021VV ).2 , 1(, 021iVii.2121VV . 021.21VV .,)(021VV0.021VV n定理定理10 设设V1，V2是是V的子空间，令的子空间，令W= V1+V2,那么那么 的充分必要条件为的充分必要条件为 维维(W)=维维(V1)+维维(V2). (1)n证明证明 由于由于 维维(W)+维维

41、(V1 V2)=维维(V1)+维维(V2)，(2) 而由前面定理而由前面定理8的推论知的推论知V1+V2为直和的充为直和的充要条件是要条件是 。所以维。所以维 也就是也就是 维维(W)=维维(V1)+维维(V2) 。21VVW.021VV 021）（VV n nFSTn nTSBFBBn nTTCFCC 例例1 1 证明证明 , ,其中其中 n直和补的存在性直和补的存在性n 定理定理11 设设U是线性空间是线性空间V的一个子的一个子空间，那么一定存在一个子空间空间，那么一定存在一个子空间W使使n证明证明 取取U的一组基的一组基 ，把它扩，把它扩展为展为V的一组基的一组基 。n 令令W即满足要求

42、。即满足要求。.WUVm,1nmm,11).,(1nmLW直和补是不独一的直和补是不独一的1112(,)mmnWL也是也是 U 的一个直和补的一个直和补, 且且 1WW多个子空间的直和n多个子空间的直和的定义n等价条件v定义定义13 设设 都是线性空间都是线性空间v V的子空间，假设和的子空间，假设和 v 中每个向量中每个向量 的分解式的分解式sVVV,21sVVV21), 2 , 1(,21siViis是独一的，这个和就称为直和,记为.21sVVVn定理定理12 是是V的一些子空间，的一些子空间，下面这些条件是等价的。下面这些条件是等价的。n 1 是直和；是直和； 2零向量的表示法独一；零向

43、量的表示法独一； 3 ；n 4n这个定理的证明和这个定理的证明和s=2的情形根本一样。的情形根本一样。sVVV,21), 2 , 1(0siVVijji).()(iVW维维iVWBACKBACK12VVV11112VVV11122VVVV例例3 3 证明证明: : 假设假设 证明: 4 映射 线性空间的同构同构的定义同构的定义同构的性质同构的性质同构的运算同构的运算同构的条件同构的条件映射n映射的定义n特殊的映射n一一对应n逆映射n映射的乘法映射a 设M 与 N 是两个集合，所谓集合 M 到集合N 的一个映射就是指一个法那么，它使 M 中每一个元素 都有 N 中一个确定的元素 与之对应。假设映

44、射 使元素 与元素 对应, 那么就记为 aNMa( )aaa映射a 称为 在映射 下的象，而 称为 在映射 下的一个原象。 M到M本身的映射，有时也称为到本身的变换。aaa例1 M是全体整数的集合，P是全体偶数的集合，定义这是M到 P 的一个映射。例2 M是数域 F 上全体 n 级矩阵的集合，定义这是M到 F 的一个映射。例3 M 是数域 F 上全体 n 级矩阵的集合，定义.,2)(Mnnn.|,|)(1MAAA2( ),.aaEaFE是n级单位矩阵，这是F到M的一个映射。例4 对于 定义 这是Fx到本身的一个映射。例5 设M, N是两个非空集合，a0是N中一个固定的元素，定义即 把 M 的每

45、个元素都映到 , 这是 M 到 N 的一个映射。( ) ,f xF x).( )(xfxf.,)(0Maaa0a即 把每个元素都映到它本身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1M. 在不致引起混淆时，也可以简单地记为1.例7 恣意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x)都是实数集合到本身的映射，因此，函数可以以为是映射的一个特殊情形。.,)(Maaa例例6 设设M是一集合，定义是一集合，定义映射的乘法。设映射的乘法。设 分别是集合分别是集合M到到N，N 到到 P的映射，乘积的映射，乘积 定义为定义为,),()(Maaa是 M 到 P 的一个映射例如，上面例2与例3中映射的乘积 就把每个n级矩

46、阵A映到数量矩阵|A|E，它是全体n级矩阵的集合到本身的一个映射。12又如，对于集合 M 到 N 的恣意一个映射 显然都有 映射的乘法适宜结合律。设 分别是集合M到N，N到P，P到H 的映射，映射乘法的结合律就是.11MM,).()(等式是 M 到 H 的映射.即证明由定义 设 是集合M到N 的一个映射，我们用 代表M在映射 下象的全体，称为M在映射 下的象集合。显然.),)()()(Maaa对每个).()()(),()()()()(aaaaaa)(M()MN满射映上的假设 ，映射 就称为映上的。 如例1、2、4、6中的映射， 是映上的。而例3中的映射当 时那么不是映上的。 ()MN2n单射1

47、-1的假设在映射 下，M中不同元素的像也一定不同，即由 一定有 ，那么映射 就称为1-1的。 21aa )()(21aa 如例1中 当 时有 所以 是1-1的。同样证明例3，6中的映射是1-1的，而例2，4中的映射那么不是。mnMmn,mn22 )()(mn 1-1的映上的映射称为1-1对应。如例1和例6中的映射都是1-1对应。 1-1对应 对于M到 N 的1-1 对应 我们定义它的逆映射，记为 。显然， 是 N 到M的一个1-1对应，并且 不难证明，假设 分别是M到N，N到P的1-1对应，那么乘积 就是M到P的一个1-1对应。.)(,) (1aaaa当1,111MM,11BACK线性空间的同

48、构n线性空间同构的定义n数域 F 上 n 维线性空间都与 同构nF数域F上的 n 维线性空间n设 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成 的元素。因此，向量与它的坐标之间的对应本质上就是V 到 的一个映射。显然，这个映射是1-1的与映上的，换句话说，坐标给出了线性空间V与 的一个1-1对应。这个对应的重要性表如今它与运算的关系上。设n,21nFnFnFn即向量 的坐标分别是n那么n于是向量 的坐标分别是.2211nnbbb,2211nnaaa,),(),(2121nnbbbaaa.,)()()(2211222111nnnnnkakakakbaba

49、bak,).,(),(),(),(),(212121212211nnnnnnaaakkakakabbbaaabababa定义定义20 数域数域F上两个线性空间上两个线性空间V与与 称称为同构的，假设由为同构的，假设由V到到 有一个有一个1-1的映上的映上的映射的映射 ，具有以下性质：，具有以下性质： 其中其中 是是V中恣意向量，中恣意向量，k是是F中恣意数。中恣意数。这样的映射这样的映射 称为同构映射。称为同构映射。 ,),()()2);()()() 1kkVV 前面的讨论阐明在前面的讨论阐明在n维线性空间维线性空间V中取定中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就一组基后，向量与它的坐标之间

50、的对应就是是V到到 的一个同构映射。因此，数域的一个同构映射。因此，数域F上上任一个任一个n维线性空间都与维线性空间都与 同构。同构。nFnF 同构映射具有以下根本性质：1. 在定义20的2)中分别取k=0,-1即得。2.3.V中向量组 线性相关的充分必要条件是：它们的象 线性相关。 由于由).()(, 0)0(aa).()()()(22112211rrrrakakakakakakraaa,21)(,),(),(21raaa02211rrakakak 可得 反过来，由 有 由于 是1-1的，只需 ，所以 由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有一样的维数。0)()()(2211rrakaka

51、k0)()()(2211rrakakak. 0)(2211rrakakak0)0(02211rrakakakn5. 同构映射的逆映射是同构映射。n设 是线性空间V到 的同构映射，显然逆映射 是 到V 的一个1-1的映上的映射。我们来证 还适宜条件1,2。n 令 是 中恣意两个向量，于是11,VVVn 两边用 作用，即得n 条件2)可以同样地证明).() () () () (111111).() () (111n6. 两个同构映射的乘积还是同构映射n再设 和 分别是线性空间V到V和V到V的同构映射，我们来证乘积 是V到V的一个同构映射。n显然 是1-1的映上的。由)()()(),()()()()

52、(kkk是同构映射 性质5，6阐明，同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传送性。既然数域F上恣意一个n维线性空间都与Fn同构，由同构的对称性与传送性即得，数域F上恣意两个n维线性空间都同构。综上所述，我们有定理定理13 数域数域F上两个有限维线性空间同构上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有一样的维数。的充分必要条件是它们有一样的维数。特别地，每一个数域特别地，每一个数域F上上 n 维线性空间都与维线性空间都与n 元数组所成的空间元数组所成的空间 同构，而同构的空同构，而同构的空间有一样的性质。由此可知，我们以前所间有一样的性质。由此可知，我们以前所得到的关于得到的关于

53、 n 元数组的一些结论，在普通元数组的一些结论，在普通的线性空间中也是成立的，而不用要一一的线性空间中也是成立的，而不用要一一重新证明。重新证明。nFBACKBACK线性空间上的函数n线性函数n双线性函数n对称双线性函数n二次型函数线性函数VFfVFf)()()(fff)()(kfkf,VkFfV定义定义21 设设 是数域 上的一个线性空间，是到 的一个映射，假设满足2式中 是 中恣意元素， 是 中恣意数，那么称 为 上的一个线性函数.1线性函数的性质fV)()(,0)0(fffs,21sskkk2211)()()()(2211ssfkfkfkf(1) 设是上的线性函数，那么(2) 假设是的线

54、性组合：那么例题),(21nxxxXnF121()( ,)nf Xf x xxx例例1 是 中的向量.函数 也是一个线性函数也是一个线性函数例题AFnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211AnnaaaATr2211)(例例2 是数域上一个级矩阵，设那么的迹Fnn nF是上全体级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数 3.设 为一个线性函数， 为:f VF12,n V1 122,nnVkkk (),1,2,iifa in 的一组基，1122( )()()()nnfk fk fk f 那么1 122nnk ak ak a 即 f 可由V 的基的值确定而 为 V 的一组基.12,n 那

55、么 为线性函数，且:f VF1 122,nnVkkk 1( ),niiifk a 令(),1,2,iifa in 反之， 设 是 n 个数12,naaa是 到 F 的一个线性函数.nF例例3 设设1212,(,)nnna aaFx xxF 1( )niifa 那么一组基， 是 上的一个线性函数，知 fV132312()1,(2)1,()3fff 求求1 12233().f xxx 解：解： 132312()()1()2 ()1()()3ffffff 1 12233123()473.f xxxxxx 所以所以 123()4()7()3fff 例4 设 V 是数域 F上的 3 维线性空间, 是12

56、3,一个线性函数，知131312()(2)0,()1,fff求求 .f131312()()0()2 ()0()()1ffffff 解：解： 那么那么 1 12233,xxxV123()0()1()0fff 222( )().fx fx 例5 设 V 是数域 F上的 3 维线性空间, 是V上的 f 1,2, .iifain ，为为V的一组基，的一组基，12,n 为 F中12, , ,na aa恣意 n 个数. 那么存在独一的V上线性函数 f 使设 是数域 上的 维线性空间，映射VFn:f VVF 为 上的二元函数.V,V 即对即对根据 独一地对应于 中一个数 fF( ,) ,f 假设( ,)f

57、具有性质:11221122(1)( ,)( ,)( ,)fkkk fk f 11221122(2)(,)(,)(,)f kkk fk f 其中121212,V k kP 那么 称为 上的一个双线性函数.( ,)f V 对于线性空间对于线性空间V 上的一个双线性函数上的一个双线性函数当固定一个向量当固定一个向量 (或或 )不变时，可以得出一不变时，可以得出一个线性函数个线性函数.( ,)f 例例6. 线性空间线性空间 上的内积即为一个双线性函数上的内积即为一个双线性函数. V:,( ,)( ,),f VVFfV 例例7. 上两个线性函数上两个线性函数V12,:,ffVF12:,( ,)( )(

58、)f VVFfff 定义证明: f 是V上的一个双线性函数. 1122121122( ,)( )()fkkffkk 1122( ,)( ,),k fk f 1122111222(,)()()f kkf kkf 11222(,)(,)k fk f 证：证： 例例8.设设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，nFFn.n nAF 1122,nnxyxyXYVxy: fVVF令 那么 为 上的一个双线性函数.(,)f X YnF(,).TX YX AY(),ijn nAa 假设假设 11112121(,)nTnnnnnyaayf X YX AYxxxaay ,1nijiji ja x y

59、 那么那么 现实上，或是数域现实上，或是数域 上恣意上的上恣意上的 维线性维线性空间空间 上双线性函数上双线性函数 的普通方式的普通方式.FVn( ,)f 设 为数域 上线性空间V 的一组基，12,n F设121 12212()nnnnxxxxxx 12()nX 121 12212()nnnnyyyyyy 12()nY 那么11( ,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfx x 1111nnnnaaAaa (,), ,1,2, ,ijijafi jn 令 1212( ,),nnyyfxxxAy 1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff 那么那么其中其中 设设 是数域是数域 上恣意上的上恣意上的 n 维线性维线性空间空间V上一个双线性函数，上一个双线性函数， 为为V的一组的一组基，那么矩阵基，那么矩阵( ,)f F12,n 111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)nnnnnnffffffAfff 称为 在 下的度量矩阵.( ,)f 12,n 结论结论1 在给定基下在给定基下, 上全体双线性函