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1、电力系统分析电力系统分析河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院22022-5-9第四章第四章 电力系统潮流的计算机算法电力系统潮流的计算机算法n 4.1 电力网络的数学模型n 4.2 等值变压器的模型n 4.3 节点导纳矩阵的形成和修改n 4.4 功率方程和变量及节点分类n 4.5 迭代法潮流计算n 4.6 牛顿拉夫逊法潮流计算n 4.7 P-Q分解法潮流计算河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院32022-5-94 电力系统潮流的计算机算法电力系统潮流的计算机算法v潮流计算的计算机潮流计算的计算机算法的理论基础和基本思路的理论基础和基本思路？以电路

2、或电网络理论为基础的以电路或电网络理论为基础的应用数值计算方法求解一组描述电力系统稳态特性的方程应用数值计算方法求解一组描述电力系统稳态特性的方程v潮流计算的计算机潮流计算的计算机算法的的的基本步骤？建立数学模型建立数学模型确定计算方法确定计算方法编写计算程序。编写计算程序。 运行程序，计算潮流。运行程序，计算潮流。 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院42022-5-94 电力系统潮流的计算机算法电力系统潮流的计算机算法v对潮流计算的计算机对潮流计算的计算机算法有何要求？有何要求？ 计算速度快计算速度快 内存需要小内存需要小 计算结果有良好的可靠性和可信性计算结果有良好的可靠性和

3、可信性 适应性好，即：能处理变压器变比调整、适应性好，即：能处理变压器变比调整、系统元件的不同描述、与其他程序配合的能系统元件的不同描述、与其他程序配合的能力强力强河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院52022-5-94.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型数学模型是指能反映网络性能的数学方程式组数学模型是指能反映网络性能的数学方程式组v 数学模型数学模型节点电压方程节点电压方程回路电流方程回路电流方程割集电压方程，等等割集电压方程，等等在电力系统中，潮流计算中通常采用节点电压方程。在电力系统中，潮流计算中通常采用节点电压方程。网孔方程网孔方程河北科技大学电气信息学院河北科技大

4、学电气信息学院62022-5-9运用节点导纳矩阵表示的节点电压方程为：运用节点导纳矩阵表示的节点电压方程为： 4.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型 一、一、节点导纳矩阵的节点电压方程节点导纳矩阵的节点电压方程BBBIY U对于对于n个节点的网络，导纳方程的矩阵形式为：个节点的网络，导纳方程的矩阵形式为：ninnninniniiiinininiUUUUYYYYYYYYYYYYYYYYIIII.21212122222111121121节点注入电节点注入电流列向量流列向量节点导纳矩阵节点导纳矩阵说明：说明：节点注入电流为各节点电节点注入电流为各节点电源电流与负荷电流之和，且规定源电流与负荷电

5、流之和，且规定流入节点为正，流出节点为负。流入节点为正，流出节点为负。节点电压列向量节点电压列向量河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院72022-5-9一、一、节点导纳矩阵的节点电压方程节点导纳矩阵的节点电压方程ninnninniniiiinininiUUUUYYYYYYYYYYYYYYYYIIII.212121222221111211211iUv节点导纳矩阵的物理意义节点导纳矩阵的物理意义YB阵的第阵的第i 列元素列元素YB阵的第阵的第i 列元素等于在第列元素等于在第i 节点上加单位电压，其余节点全节点上加单位电压，其余节点全部接地时，在各节点所得到的节点注入电流。部接地时，在各

6、节点所得到的节点注入电流。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院82022-5-9一、一、节点导纳矩阵的节点电压方程节点导纳矩阵的节点电压方程自导纳自导纳Yii：等于节点等于节点i 加单位电压，其余节点全部接地时，加单位电压，其余节点全部接地时，从节点从节点i 注入网络的电流，即注入网络的电流，即 (0,)(1)jiiiiiUj iUIYU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院92022-5-9一、节点导纳矩阵的节点电压方程一、节点导纳矩阵的节点电压方程它等于连到它等于连到i 节点的各支路导纳之和，即：节点的各支路导纳之和，即： nijjiijiiyyY10 式中，式中，

7、表示只包括与表示只包括与i 节点直接相连的节点。节点直接相连的节点。ji)2 , 1(niiiijj iYy 或或01niijijj iIII河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院102022-5-9 此时，此时，当节点当节点i 与节点与节点 j 之间无之路连接时，之间无之路连接时， 4.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型互导纳互导纳Yij：等于节点等于节点i 加单位电压，其余节点全部接地时，加单位电压，其余节点全部接地时，从节点从节点j 注入网络的电流，即注入网络的电流，即 ), 0(ijUijijjUIY0jiijYY(0,)(1)jijjiIIUji U ijijYy 同

8、理同理jiijYy 也即也即ijjiijYYy 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院112022-5-9节点导纳矩阵是一个节点导纳矩阵是一个n阶对称方阵；阶对称方阵；节点导纳矩阵是一个稀疏矩阵；节点导纳矩阵是一个稀疏矩阵；网络变更时，节点导纳矩阵的修改速度很快，计算方便；网络变更时，节点导纳矩阵的修改速度很快，计算方便；在网络节点数不变的情况下，节点导纳矩阵的结构取决于在网络节点数不变的情况下，节点导纳矩阵的结构取决于节点编号顺序；节点编号顺序；根据节点导纳矩阵，可以作出一个无互感支路的与节点导根据节点导纳矩阵，可以作出一个无互感支路的与节点导纳矩阵相对应的网形网络；纳矩阵相对应的

9、网形网络；节点导纳方程求解较困难。节点导纳方程求解较困难。 4.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型r节点导纳矩阵的特点：节点导纳矩阵的特点：河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院122022-5-94.1 电力网络的数学模型电力网络的数学模型 二、二、节点阻抗矩阵的节点电压方程节点阻抗矩阵的节点电压方程BBBUYI 1BY将将 左乘左乘 得：得：BBBBBIZIYU1ninnninniniiiinininiIIIIZZZZZZZZZZZZZZZZUUUU.21212122222111121121得到节点阻抗的办法：1）求逆2）支路追加法河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信

10、息学院132022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型 一、双绕组变压器一、双绕组变压器 第二章已经介绍过：实际的变压器可以用如下的模型来表示第二章已经介绍过：实际的变压器可以用如下的模型来表示河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院142022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型（1） 采用标幺制，线路参数都和变压器参数都折算完毕。BBUUI II，压分别选为：折算时，两侧的基准电IIIIIIBBU UkU U这时，理想变压器的变比为：非标准变比IIIBBUU标准变比河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院152022-5-94.2 等值变压器的模型等

11、值变压器的模型（2） 采用有名制，线路参数都和变压器参数都归在了低压侧。IIINNUU归算时，变压器选定的变比为：IIIIIINNU UkUU这时，理想变压器的变比为：（标准变比）非标准变比河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院162022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型n（3） 采用有名制，线路参数都未经归算，变压器参数归在了低压侧。IIIUkU 这种情形，就是第二章基本条件下等值电路的计算。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院172022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型由图由图 (a)得：得： 12211TIKIUUI ZK121122

12、2TTTTUUIZKZUUIKZK Z 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院182022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型1211222TTTTUUIZKZUUIKZK Z 111122222122111111TTTTTTTTKIUUUUKZKZKZKZKIUUUUK ZK ZKZKZ111222 22121111TTTTKIUUUKZKZKIUUUK ZKZ111222 221211TTTTKYIY UUUKKKYIY UUUKK河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院192022-5-94.2 等值变压器的模型等值变压器的模型111222 221211TT

13、TTKYIY UUUKKKYIY UUUKK河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院202022-5-94.2 等值变压器模型及其应用等值变压器模型及其应用 二、三绕组变压器二、三绕组变压器 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院212022-5-94.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改 一、节点导纳矩阵的形成一、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的对角元素（自导纳）等于相应节点所连支节点导纳矩阵的对角元素（自导纳）等于相应节点所连支路的导纳之和，即路的导纳之和，即nijjiijiiyyY10 式中，式中，ji , 表示只包括与表示只包括与i 节节点直接相连的节

14、点。点直接相连的节点。节点导纳矩阵的非对角元素节点导纳矩阵的非对角元素Yij（互导纳）等于节点（互导纳）等于节点i 和和j 间间支路导纳的负值，即支路导纳的负值，即ijijjiijzyYY1河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院222022-5-94.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的阶数等于电力网络中除参考点（一般为大节点导纳矩阵的阶数等于电力网络中除参考点（一般为大地）以外的节点数；地）以外的节点数；节点导纳矩阵是对称方阵，因此一般只需求该矩阵的上三节点导纳矩阵是对称方阵，因此一般只需求该矩阵的上三角或下三角元素。角或下三角元素。河北科技大学电气信

15、息学院河北科技大学电气信息学院232022-5-9 二、节点导纳矩阵的修改二、节点导纳矩阵的修改4.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改原则：原则：nijjiijiiyyY10ijijjiijzyYY1河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院242022-5-9 二、节点导纳矩阵的修改二、节点导纳矩阵的修改r从原有网络中引出一条新的支路（支路阻抗为从原有网络中引出一条新的支路（支路阻抗为zij ），同时），同时增加一个新的节点增加一个新的节点j（见图（见图4-3a），则导纳矩阵增加一阶，），则导纳矩阵增加一阶， 1jjijijYyz；1ijjiijijYYyz ；iji

16、jiizyY14.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改111212122212iiiiiiYYYYYYYYY 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院252022-5-9r在原有节点在原有节点i 和和j 之间增加一条支路（见之间增加一条支路（见图图4-3b），节点导），节点导纳矩阵的阶数不变，各元素修正为：纳矩阵的阶数不变，各元素修正为： 1iiijijYyz；1jjijijYyz；ijijYy 4.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改1112112122221212ijijiiiiijjjjijjYYYYYYYYYYYYYYYY 1()ijijijij

17、ijYyyyz 1ijijijijYYYz jiijYY 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院262022-5-9r在网络原有节点在网络原有节点i 和和j 之间切除一条阻抗为之间切除一条阻抗为zij 的支路，相当的支路，相当于在节点于在节点i 和和j 之间增加一条阻抗为之间增加一条阻抗为 的支路（见的支路（见图图4-3c），），则各元素修正为：则各元素修正为： ijz1iijjijijYYyz ；4.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改111212122212iiiiiiYYYYYYYYY ijijYy 1()ijijijijijYyyyz 1ijijijijYYY

18、zjiijYY 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院272022-5-911iijjijijijijYYyyzz r原有网络原有网络i 和和j 之间的阻抗由之间的阻抗由zij 改变为改变为 ，相当于在节点，相当于在节点i 和和j 之间切除阻抗为之间切除阻抗为zij 的支路，并在节点的支路，并在节点i 和和j 之间增加阻抗为之间增加阻抗为 的支路（见的支路（见图图4-3d）。此时，节点导纳矩阵的阶数不变，各）。此时，节点导纳矩阵的阶数不变，各元素修正为：元素修正为： ijzijz4.3 节点导纳矩阵的形成和修改节点导纳矩阵的形成和修改111212122212iiiiiiYYYYYYY

19、YY ijjiijijijYYYYy 11ijjiijijYYzz 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院282022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类 一、功率方程一、功率方程何谓功率方程何谓功率方程？问题引出问题引出ninnninniniiiinininiUUUUYYYYYYYYYYYYYYYYIIII.21212122222111121121前面我们已经指出：描述电力系统稳态运行前面我们已经指出：描述电力系统稳态运行可以采用节点电压方程。可以采用节点电压方程。但电力系统给出的通常但电力系统给出的通常是功率，而不是电流。是功率，而不是电流。把电流换成

20、功率表达的把电流换成功率表达的形式，即成为功率方程形式，即成为功率方程功率方程功率方程就是以功率表示的电力系统的稳态运行方程。就是以功率表示的电力系统的稳态运行方程。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院292022-5-9一、功率方程一、功率方程 设有电力系统如图设有电力系统如图4-6所示。所示。111222GLGLSSSSSS、111222GLGLIIIIII、 母线母线1和和2 的注入功率；的注入功率； 母线母线1和和2 的注入电流。的注入电流。图中：图中：河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院302022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分

21、类jnjijiiiUYUjQP1*111112211*222221122IY UY USUIY UY USU则由则由 和和 得：得： *iiiISUjnjijiUYI1 对对n个节点的电力系统：个节点的电力系统：r若若 ， ，则功率方程为，则功率方程为iiijfeUijijijjBGYnjjijjijinjjijjijiinjjijjijinjjijjijiieBfGefBeGfQeBfGffBeGeP1111功率方程功率方程直角坐标形式直角坐标形式的功率方程的功率方程河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院312022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类r

22、若若 ，则功率方程为，则功率方程为iiiijiijUUeUUisincosnjijijijijjiinjijijijijjiiBGUUQBGUUP11cossinsincos极坐标形式极坐标形式的功率方程的功率方程其中，其中， 为为i 节点电压与节点电压与j 节点电压之间的相角差。节点电压之间的相角差。 jiij 二、变量的分类二、变量的分类 以上两种形式表示的功率方程中都包含了六个变量：以上两种形式表示的功率方程中都包含了六个变量：发电机发出的功率发电机发出的功率PGi 、 QGi；负荷功率负荷功率PLi 、 QLi ；母线节点电压母线节点电压ei 、 fi 或或Ui 、i 。 河北科技大学

23、电气信息学院河北科技大学电气信息学院322022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类 根据系统运行变量的性质可分为三类：根据系统运行变量的性质可分为三类：不可控变量（扰动变量）：不可控变量（扰动变量）：负荷功率负荷功率PLi 、 QLi 取决于用户，取决于用户，是不可控的，在潮流计算中根据负荷预测当作已知量，即是不可控的，在潮流计算中根据负荷预测当作已知量，即 LiLiQPd可控变量：可控变量：发电机发出的功率发电机发出的功率PGi 、 QGi 可由运行人员根据可由运行人员根据需要来决定和改变，为可控变量，即需要来决定和改变，为可控变量，即 GiGiQPu河北科技大

24、学电气信息学院河北科技大学电气信息学院332022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类状态变量：状态变量：母线节点电压（母线节点电压（Ui 和和i）是受控制变量的因变）是受控制变量的因变量，其中母线电压的幅值量，其中母线电压的幅值Ui主要受主要受QGi的控制，母线电压的相的控制，母线电压的相角角i主要受主要受PGi的控制，故的控制，故Ui 和和i为系统的状态变量，即为系统的状态变量，即iifexiiUx或或 三、节点的分类三、节点的分类 对对n个节点的电力系统，计算潮流的功率方程有个节点的电力系统，计算潮流的功率方程有2n个，而个，而每个节点都有每个节点都有4个运行

25、变量（个运行变量（Pi 、Qi 、Ui 、i 或或Pi 、Qi 、ei 、fi )，因此全系统共有，因此全系统共有4n个变量。在每个节点的个变量。在每个节点的4个变量中，一个变量中，一般给定两个，求解另外两个。般给定两个，求解另外两个。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院342022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类 在电力系统中，常把节点分为以下三类：在电力系统中，常把节点分为以下三类：PQ节点：节点：已知节点注入功率已知节点注入功率Pi和和Qi，待求节点电压幅值，待求节点电压幅值Ui和相角和相角i 。系统中降压变电所的母线都是这类节点。系统中降压变

26、电所的母线都是这类节点。PV节点：节点：已知已知Pi和和Ui ，待求，待求Qi和角和角i。这类节点必须有足。这类节点必须有足够的可调无功电源以维持给定的节点电压幅值。对有一定无够的可调无功电源以维持给定的节点电压幅值。对有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所，都可作功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所，都可作为为PV节点。节点。10U，平衡节点（平衡节点（V节点）：节点）：已知已知Ui和和i ，待求，待求Pi和和Qi 。平衡节。平衡节点在潮流计算结束后担当功率平衡的任务，一般将平衡节点点在潮流计算结束后担当功率平衡的任务，一般将平衡节点和电压基准节点合选成一个节点，通常取

27、和电压基准节点合选成一个节点，通常取 。一般。一般选择主调频发电厂的母线作为平衡节点。选择主调频发电厂的母线作为平衡节点。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院352022-5-94.4 功率方程和变量及节点分类功率方程和变量及节点分类 四、四、约束条件约束条件 为保证系统正常运行而必须满足的条件，叫约束条件。为保证系统正常运行而必须满足的条件，叫约束条件。电压数值的约束条件：电压数值的约束条件：为保证供电电压质量，任何节点电为保证供电电压质量，任何节点电压都应满足：压都应满足： iUminUmaxU 有功功率和无功功率的约束条件：有功功率和无功功率的约束条件：电源设备都有最小功率电

28、源设备都有最小功率和最大功率的限制，因此，运行中电源发出的功率应满足：和最大功率的限制，因此，运行中电源发出的功率应满足： min.GiPmax.GiPGiP .minGiQ.maxGiQGiQ 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院362022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算 一、迭代法的概念一、迭代法的概念 0)(xf 对于形如对于形如 的非线性的非线性方程组总可以写成方程组总可以写成 这种这种适合迭代的形式。适合迭代的形式。 ( )xg x(2)(1)()xg x，(1)( )()kkxg x(0)0 xx，设设 (1)(0)()xg x，则则 当当)() 1(kk

29、xx 时迭代收敛，时迭代收敛，打印结果打印结果输出输出 输入输入 0k 1kk是是否否启动启动x, ,( (0 0) )()()1(kkxfx)()1(kkxx ? (1)kx。即可得到方程的解为即可得到方程的解为河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院372022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算 二、雅可比迭代法二、雅可比迭代法 设有设有n个联立的非线性方程组个联立的非线性方程组11221212(,)0(,)0(,)0nnnnfxxxfxxxfxxx1112221212(,)(,)(,)nnnnnxgxxxxgxxxxgxxx 对对g(x)中的各个变量分别给定初值中的各个

30、变量分别给定初值 ，代入，代入各个方程求出各个方程求出 ，再将，再将 代入各代入各个方程求出个方程求出 ，如此继续下去，迭代公式为：，如此继续下去，迭代公式为： )0()0(2)0(1,nxxx)1()1(2)1(1,nxxx)1()1(2)1(1,nxxx)2()2(2)2(1,nxxx河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院382022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算(1)()()()1112(1)()()()2212(1)()()()12(,)(,)(,)kkkknkkkknkkkknnnxgxxxxgxxxxgxxx 当当 时，停止迭代。时，停止迭代。)()1(ki

31、kixxk为迭代次数为迭代次数(k=0,1,2) 三、高斯三、高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法 高斯迭代法是把雅可比迭代法所求得的最新估计值直接高斯迭代法是把雅可比迭代法所求得的最新估计值直接代入求解下一个变量的方程中，因此，其收敛速度明显加快。代入求解下一个变量的方程中，因此，其收敛速度明显加快。迭代公式为：迭代公式为： 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院392022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算(1)( )( )( )1112(1)(1)( )( )2212(1)(1)(1)(1)( )121(,)(,)(,)kkkknkkkknkkkkknnnnxgxxxxgxx

32、xxgxxxx 通式为：通式为： ),()()()1(1)1(2)1(1)1(knkikikkikixxxxxgx 例例4-1 用高斯迭代法解非线性方程组用高斯迭代法解非线性方程组:112112212212(,)21(,)21fxxxx xfxxxx x1211220.520.52x xxx xx 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院402022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算 解：设初值解：设初值 ，则，则 0, 0)0(2)0(1xx(1)10.500.5x，5 . 0205 . 05 . 0)1(2x625. 02)5 . 0(5 . 05 . 0)2(1x656

33、. 02)5 . 0(625. 05 . 0)2(2x k=0： k=1： k=2： 705. 02)656. 0(625. 05 . 0)3(1x731. 02)656. 0(705. 05 . 0)3(2x如此迭代下去，直到和接近真正解如此迭代下去，直到和接近真正解+1和和-1为止。为止。1211220.520.52x xxx xx 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院412022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算 四、用高斯四、用高斯赛德尔迭代法计算潮流赛德尔迭代法计算潮流 设系统中设系统中n有个节点，节点有个节点，节点1个是平衡节点，其余全部是个是平衡节点，其余全

34、部是PQ节点。平衡节点不参加迭代，因此共有节点。平衡节点不参加迭代，因此共有n-1个复数方程。个复数方程。 jnijjijiiijnjijiiiiUYUYUYIUjQP11*可得网络中任意节点可得网络中任意节点i 的电压为：的电压为： 根据根据 jnijjijiiiiiiUYUjQPYU1*1因此，高斯因此，高斯-塞德尔迭代法潮流计算的迭代公式为：塞德尔迭代法潮流计算的迭代公式为：河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院422022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算式中，式中，Pi - jQi为节点注入功率的共轭值；为节点注入功率的共轭值； 为节点为节点个数；个数； 为迭代次

35、数。为迭代次数。2,3,4in2 , 1 , 0k 如果系统内存在如果系统内存在PV节点，假设节点节点，假设节点p为为PV节点，由于节点，由于 PV节点的无功功率是未知量，用迭代公式求节点的无功功率是未知量，用迭代公式求PV节点的电压时必节点的电压时必须先计算无功功率，它是须先计算无功功率，它是 的虚部，即的虚部，即pS1*( )( )( )( )(1)( )1ImImpnkkkkkkpjpjppppjjjjpQUIUYUYUPQ节点的节点的迭代公式迭代公式111)()1()()1(1ijnijkjijkjijkiiiiikiUYUYUjQPYU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院

36、432022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算 将求出的无功功率将求出的无功功率 根据约束条件根据约束条件 进行检查：进行检查： ( )kpQ.minpQ( )kpQ.maxpQ 若若 ，则令，则令 往下迭代；往下迭代； ( ).minkppQQ.minpQ( )kpQ.maxpQ 若若 ，则令，则令 往下迭代；往下迭代； ( )kpQ( ).maxkppQQ 若若 ，所求，所求 就是就是PV节点的无功功率，节点的无功功率，则则PV节点电压为：节点电压为：( )kpQ.minpQ( )kpQ.maxpQ注意：注意：这两种情况表明无功功率已达到极限值，不能再用调这两种情况表明无功功率已

37、达到极限值，不能再用调节无功功率来保持节无功功率来保持PV节点的电压值，即电压幅值不能保证是节点的电压值，即电压幅值不能保证是常数，此时常数，此时PV节点变成了节点变成了PQ节点，以后的迭代应按节点，以后的迭代应按PQ节点节点进行。进行。河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院442022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算(1)(1)kpjkpUe 此时求出的此时求出的 一般不等于已知的节点电压幅值一般不等于已知的节点电压幅值Up，因此，必须对因此，必须对 进行修正，使进行修正，使 ，用，用 组成新的电压初值。所以组成新的电压初值。所以PV节点的迭代过程是在不断地改变节点的迭

38、代过程是在不断地改变电压相位。电压相位。(1)kpU(1)kpU(1)kppUU(1)kpjpU e 当当 时停止迭代。时停止迭代。)()1(kikiUUPV节点的节点的迭代公式迭代公式111)()1()()()1(1pjnpjkjpjkjpjkpkppppkpUYUYUjQPYU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院452022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算高斯法潮流计算的步骤如下：高斯法潮流计算的步骤如下：根据已知的网络参数，形成节点导纳矩阵；根据已知的网络参数，形成节点导纳矩阵；)0(iU)0(iQ)0(i设定除平衡节点以外的所有节点电压初值（设定除平衡节点以外的

39、所有节点电压初值（PQ节点设节点设 ；PV节点设节点设 和和 ），并给定迭代误差判据；），并给定迭代误差判据；对于对于PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；程式求出新值；对于对于PV节点，先求出其无功功率，并判断是否越限，如越节点，先求出其无功功率，并判断是否越限，如越限则将限则将PV节点转化为节点转化为PQ节点；节点；判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，则回到第误差，如不小于，则回到第3步，继续进行计算，否则转到下步，继续进行计算，否则转到下一步

40、；一步；河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院462022-5-94.5 迭代法潮流计算迭代法潮流计算求平衡节点注入功率；求平衡节点注入功率；*111111njjjSPjQUY U求各条线路中的潮流（图求各条线路中的潮流（图4-7）。）。各条线路上流动的功率为：各条线路上流动的功率为：各段线路上的功率损耗为：各段线路上的功率损耗为：将将i =1代入功率方程得：代入功率方程得：因假设节点因假设节点1为平衡节点为平衡节点ijjiiiiijiijijijyUUyUUIUjQPS*0*jiijjjjjijjijijiyUUyUUIUjQPS*0*jiijijijijSSQjPS河北科技大学电

41、气信息学院河北科技大学电气信息学院472022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算 一、牛顿法的原理一、牛顿法的原理 用泰勒级数在用泰勒级数在 附近展开：附近展开：)0(x)0(x)0(x 设设 是一维非线性方程的初值，它与真实解的偏差为是一维非线性方程的初值，它与真实解的偏差为 （修正量）。其真实解可表示成（修正量）。其真实解可表示成 ，所以，所以原非线性方程可表示为原非线性方程可表示为)0()0(xxxyxxf)()0()0( ! 2)()()()()(2)0()0()0()0()0()0()0(xxfxxfxfxxfynxxfnn!)()()0()0(河北科技大学电气

42、信息学院河北科技大学电气信息学院482022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算 忽略二次项及以上的高次项，则此方程可简化为：忽略二次项及以上的高次项，则此方程可简化为：则一次近似解为：则一次近似解为： 不断进行上述迭代，第不断进行上述迭代，第k+1次的修正方程为：次的修正方程为：修正方程修正方程yxxfxfxxf)0()0()0()0()0()()()()()()0()0()0(xfxfyx)0()0()1(xxx 它与真实解的偏差为它与真实解的偏差为 。因此其真实解又可表示成。因此其真实解又可表示成 )1(x)1()1(xxx( )( )( )()()kkkf xfxx

43、y河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院492022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算修正量为：修正量为： 近似解为：近似解为： 迭代过程的收敛判据：迭代过程的收敛判据： )(kx2 或或 若不等式满足要求，迭代收敛，即可用得到的近似解若不等式满足要求，迭代收敛，即可用得到的近似解 作为真实解。作为真实解。)1( kx（ 、 为预先规定的任意小数）为预先规定的任意小数） 12牛顿牛顿拉夫逊法可用拉夫逊法可用几何图形几何图形做如下解释：做如下解释： )()()()()(kkkxfxfyx)()()()()()()() 1(kkkkkkxfxfyxxxx1)()(

44、yxfk河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院502022-5-9 可见，牛顿可见，牛顿拉夫逊法是用切线来寻找真实解的，因此拉夫逊法是用切线来寻找真实解的，因此又叫切线法。又叫切线法。)(kx( )( )0m xf xyxyo)1( kx)(kx下一步下一步迭代迭代第第k+1步步迭代迭代)2( kx( )()km x4.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算( )( )( )( )()()kkkm xm xxm x ( )( )( )()()0kkkm xxm x ( )( )( )()()kkkm xxm x ( )0m x 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院5

45、12022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院522022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算将牛顿将牛顿拉夫逊法推广到多变量非线性方程：拉夫逊法推广到多变量非线性方程： 设多变量方程组的初值为设多变量方程组的初值为 ，各变量的修正，各变量的修正量分别为量分别为 ，则原非线性方程组可表示为，则原非线性方程组可表示为)0()0(2)0(1,nxxx)0()0(2)0(1,nxxx 将这将这n个方程都用泰勒级数在初始值附近展开，并忽略二个方程都用泰勒级数在初始值附近展开，并忽略二次项及以上的高次项，则有次项及以

46、上的高次项，则有3)0()0()0(2)0(2)0(1)0(12)0()0()0(2)0(2)0(1)0(121)0()0()0(2)0(2)0(1)0(11),(),(),(yxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxfnnnnnnnyi),(21nixxxf河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院532022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算求出修正量求出修正量 ，则可得到新的近似解为：，则可得到新的近似解为：)0()0(2)0(1,nxxx雅可比矩阵雅可比矩阵 ，)0(1)0(1)1 (1xxx，,)0(2)0(2)1(2xxx)0()0()1(nnnxx

47、x)0()0(2)0(1002010202201201021011)0()0(2)0(1)0()0(2)0(122)0()0(2)0(111),(),(),(nnnnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy第第k+1次迭代时的修正方程为：次迭代时的修正方程为： 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院542022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算第第k+1次迭代求出的解为：次迭代求出的解为： (,1,2)in)()()1(kikikixxx)()(2)(1212221212111)()(2)(1)()(2)(122)

48、()(2)(111),(),(),(knkkknnknknknkkknkkknkknnknkkknkkxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy或缩写成或缩写成 式中，式中， 为雅可比矩阵。为雅可比矩阵。)(kJ)()()1(kkkXXX)()()()(kkkXJXF河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院552022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算迭代收敛条件：迭代收敛条件：)1( kix若不等式满足要求，则若不等式满足要求，则 就是方程组的解。就是方程组的解。)( kx2或或121),(knkkixxxfy河北科技大学电气信息学

49、院河北科技大学电气信息学院562022-5-9直角坐标下牛顿直角坐标下牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算3)()()(2)(2)(1)(12)()()(2)(2)(1)(121)()()(2)(2)(1)(11),(),(),(yxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxfknknkkkknknknkkkkknknkkkk)()(2)(1212221212111)()(2)(1)()(2)(122)()(2)(111),(),(),(knkkknnknknknkkknkkknkknnknkkknkkxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy河北科技大学电气信息

50、学院河北科技大学电气信息学院572022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算njjjijjijijijjijiieBfGffBeGeP1)()(njjjijjijijijjijiieBfGefBeGfQ1)()(PQ节点对应于y=f(x)形式的方程为：（这里假定节点数量为m-1个)PV节点对应于y=f(x)形式的方程为：（n-m个)njjjijjijijijjijiieBfGffBeGeP1)()(222iiifeU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院582022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算),()()(1211211nnnjjjij

51、jijijijjijiifffeeeeBfGffBeGePiF),()()(1211211nnnjjjijjijijijjijiifffeeeeBfGefBeGfQiG(m-1+n-m=n-1个)(m-1个),(121121222nniiifffeeefeUiH(m-1个)河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院592022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算,2121ffeeiiiiFFFF,2121ffeeiiiiGGGG对应于修正方程式，雅克比矩阵中会出现如下的形式：,2121fPfPePePiiii,2121fQfQeQeQiiii,2121ffeeiiii

52、HHHH,22122212fUfUeUeUiiii河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院602022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算1211211111111111111122111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000100000000mmmmnnnnmnmnmnmnnnmmmmnmnmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnnmmmmnnmmmmeUeUfPePfPePfPePfPePfUeUfPePfPePfPePePePfQeQfQe

53、QfQeQfQeQfPePfPePfPePfPePfQeQfQeQfQeQfQeQfPePfPePfPePfPePJ河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院612022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算21121111nnmmmmUPUPQPQPF111111nnmmmmfefefefeX收敛条件为：收敛条件为：iFmax河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院622022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算n当当 时，雅可比矩阵中的非对角元素为：时，雅可比矩阵中的非对角元素为： ji iijiijjifBeGePjiiijiijjif

54、PfGeBeQ02jieUjiiijiijjiePfBeGfQiijiijjifGeBfP02jifU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院632022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算iijiijjifBeGeP1 ()()j niiijjijjiijjijjjPe G eB ff G fB e推导其中的一个，类似地可以推导其它的河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院642022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算iiiiiinjjijjijiifGeBeBfGfP1iiiiiinjjijjijiifGeBeBfGeQ1iiiii

55、injjijjijiifBeGfBeGfQ1iiieeU22iiiffU22n当当 时，雅可比矩阵中的对角元素为：时，雅可比矩阵中的对角元素为： ji iiiiiinjjijjijiifBeGfBeGeP1河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院652022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算v雅可比矩阵具有以下特点：雅可比矩阵具有以下特点： 雅可比矩阵中的各元素都是节点电压的函数，因此，在迭雅可比矩阵中的各元素都是节点电压的函数，因此，在迭代过程中，它们将随着节点电压的变化而不断改变，即每迭代过程中，它们将随着节点电压的变化而不断改变，即每迭代一次，雅可比矩阵中的

56、各元素要改变一次。代一次，雅可比矩阵中的各元素要改变一次。雅可比矩阵不是对称矩阵。雅可比矩阵不是对称矩阵。当导纳矩阵中的非对角元素当导纳矩阵中的非对角元素 时，雅可比矩时，雅可比矩阵中与之相对应的非对角元素也为零，且阵中与之相对应的非对角元素也为零，且 ，因，因此，雅可比矩阵是非常稀疏的。此，雅可比矩阵是非常稀疏的。0ijijijjBGY022jijifUeU河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院662022-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算v牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算的步骤拉夫逊法潮流计算的步骤 根据网络参数，形成节点导纳矩阵。根据网络参数，形成节点导纳矩阵。)

57、0(ie)0(if给定各节点电压初值给定各节点电压初值 和和 。将各节点电压初值代公式中，求出修正方程中各节点功率将各节点电压初值代公式中，求出修正方程中各节点功率和节点电压的偏移量和节点电压的偏移量 。2)0()0()0()( ,iiiUQP求雅可比矩阵中的各元素。求雅可比矩阵中的各元素。求解修正方程，求出各节点电压的修正量求解修正方程，求出各节点电压的修正量 。 )0()0(,iife求新的电压初值：求新的电压初值： 求出求出2)1()1()1()( ,iiiUQP，)0()0()1(iiieee)0()0() 1 (iiifff河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院672022

58、-5-94.6 牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算检查是否收敛。当电压趋向于真实解时，其功率偏移量将检查是否收敛。当电压趋向于真实解时，其功率偏移量将趋于零，因此，收敛条件为：趋于零，因此，收敛条件为： )(max)(maxmax)(,)(kkkiQPxf 若不收敛，返回到第若不收敛，返回到第4步重新迭代；若收敛，做下一步计算。步重新迭代；若收敛，做下一步计算。计算各条线路中的功率分布及平衡节点功率，并输出结果。计算各条线路中的功率分布及平衡节点功率，并输出结果。v牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算的框图：如拉夫逊法潮流计算的框图：如图图4-9所示。所示。 河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气

59、信息学院682022-5-9输入原始数据输入原始数据形成节点导纳矩阵形成节点导纳矩阵按公式计算雅可比矩阵各元素按公式计算雅可比矩阵各元素计算平衡节点功率及全部线路功率计算平衡节点功率及全部线路功率输出输出 给定节点电压初值给定节点电压初值 (0)(0),iief0k 用公式计算用公式计算 解修正方程式，求解修正方程式，求( )( ),kkiief(1)( )( )(1)( )( ),kkkkkkiiiiiieeefff 1kk是是否否启动启动?,max)()(kikiQP2)()()()( ,kikikiUQP河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院692022-5-9牛顿牛顿拉夫逊法

60、的极坐标形式拉夫逊法的极坐标形式和直角坐标形式类似，同样从功率方程的基本形式出发和直角坐标形式类似，同样从功率方程的基本形式出发ijijijjBGYiiiijiijUUeUUisincosnjijijijijjiinjijijijijjiiBGUUQBGUUP11cossinsincos河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学院702022-5-9牛顿牛顿拉夫逊法的极坐标形式拉夫逊法的极坐标形式比之直角坐标的形式，有何新的特点？对PV节点，V是已知的，待求。所以，对极坐标形式的PV节点，只需要求解即可。iiiijiijUUeUUisincos河北科技大学电气信息学院河北科技大学电气信息学