图像的旋转点的计算

1、 图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针或顺时针方向旋转一定的角度。通常是绕图像的起始或顺时针方向旋转一定的角度。通常是绕图像的起始点以逆时针旋转。点以逆时针旋转。 其本质是以图像的中心为原点，将图像上的所有像其本质是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。素都旋转一个相同的角度。 与图像平移一样，图像旋转也是图像的位置变换，与图像平移一样，图像旋转也是图像的位置变换，对于旋转后超出源图像范围的区域要处理为不显示。对于旋转后超出源图像范围的区域要处理为不显示。 旋转后的图像不会变形，但是其垂直对称轴和水平对称轴旋转后的图像不

2、会变形，但是其垂直对称轴和水平对称轴都发生了改变，旋转后像素的坐标需要经过较复杂的数学运算都发生了改变，旋转后像素的坐标需要经过较复杂的数学运算得出。而且图像在经过旋转变换后，其宽度和高度都要发生变得出。而且图像在经过旋转变换后，其宽度和高度都要发生变化，所以原始图像的中心点和输出图像的中心点的坐标是不同化，所以原始图像的中心点和输出图像的中心点的坐标是不同的。的。旋转旋转100度度旋转旋转250度度基本原理：基本原理： 图像的旋转不再是由一个矩阵变换就能获得坐标图像的旋转不再是由一个矩阵变换就能获得坐标的映射关系，它涉及多次矩阵变换。的映射关系，它涉及多次矩阵变换。 下面具体分析源图像与旋转

3、后图像的对应像素之间下面具体分析源图像与旋转后图像的对应像素之间的关系。的关系。基本原理：基本原理：1、旋转公式：、旋转公式： 下面在数学坐标系中推导旋转公式。将坐标为下面在数学坐标系中推导旋转公式。将坐标为 的像的像素点顺时针旋转素点顺时针旋转角度后，其坐标为角度后，其坐标为 ，如图，如图1所示。所示。00(,)xy( , )x yy轴轴x轴轴r( , )x y00(,)xy图图1 旋转示意图旋转示意图 其中其中r表示像素坐标距离原点表示像素坐标距离原点的距离，的距离，表示旋转前像素点与原表示旋转前像素点与原点连线夹角的度数。点连线夹角的度数。基本原理：基本原理：y轴轴x轴轴r( , )x

4、y00(,)xy图图1 旋转示意图旋转示意图旋转前有如下等式成立：旋转前有如下等式成立：00cossinxrayra旋转后则有：旋转后则有：cos()sin()xrayracos()cos cossin sinaaa因为sin()sincoscos sinaaa带入旋转后的公式，得带入旋转后的公式，得0000cos cossin sincossinsincoscos sinsincosxraraxyyraraxy 得：得：其矩阵表示为：其矩阵表示为： 00cossin011sincos0001xyxy其逆变换为：其逆变换为： 00cossin011sincos0001xyxy2、坐标变换：、坐

5、标变换： 图像的坐标系与数学中的坐标系不一样。在数字图像的坐图像的坐标系与数学中的坐标系不一样。在数字图像的坐标系中，标系中，y轴在下方；而在数学坐标系中，轴在下方；而在数学坐标系中，y轴在上方，如图轴在上方，如图2所示。所示。坐标原点坐标原点y轴轴x轴轴x轴轴y轴轴坐标原点坐标原点输入图像的坐标系输入图像的坐标系数学坐标系数学坐标系图图2在旋转过程中，需要进行两次坐标变换。在旋转过程中，需要进行两次坐标变换。（1）旋转操作前）旋转操作前 图像的旋转是按照图像的中心点旋转指定角度，为了转换方图像的旋转是按照图像的中心点旋转指定角度，为了转换方便，需要以图像的中心作为坐标原点，故在进行旋转操作前

6、需要便，需要以图像的中心作为坐标原点，故在进行旋转操作前需要先对坐标进行变换，即将图像坐标系转换为数学坐标系，如图先对坐标进行变换，即将图像坐标系转换为数学坐标系，如图2右图所示。右图所示。 设原始图像的宽度和高度分别为设原始图像的宽度和高度分别为W和和H，则第，则第1次变换的映射次变换的映射关系为：关系为：000.50.5xxWyyH 000.50.5xxWyyH 其矩阵表达如下：其矩阵表达如下： 00100110100.50.51xyxyWH其逆运算为：其逆运算为： 00100110100.50.51xyxyWH（2）旋转操作后）旋转操作后 如图如图3所示，图像经过旋转后需要再次进行坐标转

7、换，将数所示，图像经过旋转后需要再次进行坐标转换，将数学坐标系转换为数字图像的坐标系。转换方式与第学坐标系转换为数字图像的坐标系。转换方式与第1次坐标变换次坐标变换相似，唯一不同的是输出图像的中心不再是（相似，唯一不同的是输出图像的中心不再是（0.5W，0.5H）。）。 newnewWH如果设和分别表示输出图像的宽度和高度，0.50.5newnewWH那么输出图像的中心为（，）。x轴轴y轴轴坐标原点坐标原点数学坐标系数学坐标系坐标原点坐标原点y轴轴x轴轴输出图像的坐标系输出图像的坐标系图图3故第故第2次坐标变换的映射关系为：次坐标变换的映射关系为：00+0.50.5newnewxxWyyH 其

8、矩阵表达如下：其矩阵表达如下：其逆运算为：其逆运算为： 00100110100.50.51newnewxyxyWH 00100110100.50.51newnewxyxyWH（3）旋转公式）旋转公式图像的每个像素需要经过如下图像的每个像素需要经过如下3步完成旋转。步完成旋转。由输入图像的坐标系转换为数学坐标系。由输入图像的坐标系转换为数学坐标系。通过数学旋转坐标系计算指定像素旋转后的坐标。通过数学旋转坐标系计算指定像素旋转后的坐标。由旋转坐标系转换为输出图像的坐标系。由旋转坐标系转换为输出图像的坐标系。则图像的旋转公式可由如下矩阵计算：则图像的旋转公式可由如下矩阵计算： 00100 cossi

9、n010011010sincos00100.50.51001 0.50.51newnewxyxyWHWH00cossin01sincos00.5 cos0.5 sin0.50.5 sin0.5 cos0.51newnewxyWHWWHH其逆运算为：其逆运算为： 00100cossin010011010sincos00100.50.510010.50.51newnewxyxyWHWHcossin01sincos00.5cos0.5sin0.50.5sin0.5cos0.51newnewnewnewx yWHWWHH这就是旋转后映射的矩阵关系。这就是旋转后映射的矩阵关系。可以用两个变量来表示与可以用两个变量来表示与x、y无关的表达式：无关的表达式：10.5cos0.5sin0.520.5sin0.5cos0.5newnewnewnewnumWHWnumWHH 则有：则有：00cossin1sincos2xxynumyxynum 这就是图像旋转的核心公式。这就是图像旋转的核心公式。 通过这个公式能够求得输出图像任意像素映射在原始图像的通过这个公式能够求得输出图像任意像素映射在原始图像的坐标位置。坐标位置。（4）利用插值进行图像的旋转）利用插值进行图像的旋转 通过前面介绍的旋转公式