ch多维随机变量学习教案

1、3.1 二维随机变量(su j bin lin)的联合分布一、 多维随机变量(su j bin lin)1.1.定义定义(p41)(p41)将将n n个随机变量个随机变量X1X1，X2X2，.,Xn.,Xn构成一个构成一个(y (y )n)n维向量维向量 (X1,X2,.,Xn) (X1,X2,.,Xn)称为称为n n维随机变量。维随机变量。一维随机一维随机(su j)变量变量XR1上的随机上的随机(su j)点坐标点坐标二维随机二维随机(su j)变量变量(X,Y)R2上的随机上的随机(su j)点点坐标坐标n维随机维随机(su j)变量变量(X1,X2,Xn)Rn上的随上的随机机(su j

2、)点坐标多维随机点坐标多维随机(su j)变量的研究方法也与变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律述其统计规律第1页/共54页第一页，共55页。设(X, Y)是二维随机变量(su j bin lin)，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二二. . 联合分布联合分布(fnb)(fnb)函数函数00, yx00,yyxxyx几何意义：分布(fnb)函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：第2页/共54页第二页，共55页。对

3、于(duy)(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)第3页/共54页第三页，共55页。分布函数F(x, y)具有(jyu)如下性质：且0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性 对任意(rny)(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,第4页/共54页第四页，共55页。 (2)单调(

4、dndio)不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 (3)右连续(linx) 对任意xR, yR, 第5页/共54页第五页，共55页。(4)矩形不等式 对于(duy)任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之(fnzh)，任一满足上述四

5、个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。第6页/共54页第六页，共55页。例 已知二维随机变量(X,Y)的分布(fnb)函数为)3()2(),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数(chngsh)A，B，C。 2)求P0X2,0YY211010 xdydxYXP第13页/共54页第十三页，共55页。求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域(qy)D(qy)D：x x0, y0, y0, 2X+3y0, 2X+3y6 6 内的概率。内的概率。

6、 其它, 00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例 设解(1)由归一性6 A101032)32()1)(1 (6) 1 , 1 ()2(eedxdyeFyx(23 )0 0( , )1xyf x y dxdyAedxdy 第14页/共54页第十四页，共55页。(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域(qy)D(qy)D：x x0, y0, y0, 0, 2X+3y2X+3y6 6 内的概率。内的概率。解dxdyeDYXPDyx)32(6),(303220)32(6dyedxxyx671e第15页/共54页第十五页，共55页。其它，的面积,0),(1)

7、,(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从(fcng)均匀分布，对D内任意区域G，有第16页/共54页第十六页，共55页。例例 设设(X,Y)(X,Y)服从服从(fcng)(fcng)如图区域如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 ),(),(222121NYX(2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(su

8、j bin lin)(X, Y)的密度函数为(P101),e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 第18页/共54页第十八页，共55页。分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为(chn wi)的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。nnnbxabxaxxD,.:,.111DnnndxdxxxfDXXP.),.,x(.1211定义定义(dngy

9、) n(dngy) n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(x1,x2,.xn)f(x1,x2,.xn)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体第19页/共54页第十九页，共55页。定义定义 若若(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为的全部可能取值为RnRn上上的有限的有限(yuxin)(yuxin)或可列无穷多个点，称或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)为为n n维离散型的，称维离散型的，称PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn PX1=x1,X2=x2,.Xn=

10、xn ，(x1,x2,.xn)(x1,x2,.xn)为为n n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)为为n n维连续型随机变量维连续型随机变量(su j (su j bin linbin lin) )，称，称f(x1,x2,.xn)f(x1,x2,.xn)为为(X1,X2,.Xn)(X1,X2,.Xn)的概率密度。的概率密度。第20页/共54页第二十页，共55页。求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 othersyxeyxfy

11、00),(例例 随机变量随机变量(su j bin lin(su j bin lin) )（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=011011edyedxXPxy000000000yydyedxyYPyxyy第21页/共54页第二十一页，共55页。FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘(binyun)分布函数. )y,x(Flimy )y,x(Flimx 3.2 3.2 边缘分布边缘分布(fnb)(fnb)与独立性与独立性一、边缘分布一、边缘分布(fnb)(fnb)函数函数FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机

12、变量(su j bin lin)(X, Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。第22页/共54页第二十二页，共55页。例 已知(X,Y)的分布(fnb)函数为 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第23页/共54页第二十三页，共55页。二、边缘二、边缘(binyun)分布律分布律若随机变量X与Y的联合分布(fnb)律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1

13、, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布(fnb)律； 1jijp 1iijpPY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于(guny)Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。第24页/共54页第二十四页，共55页。例 已知(X,Y)的分布(fnb)律为xy10 11/103/100 3/10 3/10求X、Y的边缘分布(fnb)律。解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于(guny)X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5第25页/共54页第二十五页，共55页。三、边缘三、边缘(binyu

14、n)密度函数密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度的边缘密度(md)函数。函数。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称 (p48)(p48) 为(X, Y)关于X的边缘密度(md)函数； 同理，称易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N( 1, 12)的密度函数，而fX(x)是N( 2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。第26页/共54页第二十六页，共55页。例例 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常

15、数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于(guny)X(guny)X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性1021xxcdydx6 cdyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622xxxdyxx第27页/共54页第二十七页，共55页。例例 设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布， 求关于求关于(guny)X(guny)X的和关的和关于于(guny)Y(guny)Y的边缘概率密的边缘概率密度度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(第28页/共54页第二

16、十八页，共55页。四、随机变量四、随机变量(su j bin lin)的相互独立的相互独立性性定义定义 称随机变量称随机变量X X与与Y Y独立独立(dl)(dl)，如果对任意实，如果对任意实数数ab,cdab,cd，有，有 paXpaXb,cYb,cYd=paXd=paXbpcYbpcYd d 即事件即事件aXaXbb与事件与事件cYcYdd独立独立(dl)(dl)，则称，则称随机变量随机变量X X与与Y Y独立独立(dl)(dl)。定理定理 随机变量随机变量X X与与Y Y独立独立(dl)(dl)的充分必要条件是的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) F(x,y)=FX(x)

17、FY(y) 第29页/共54页第二十九页，共55页。定理定理 设设(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量，X X与与Y Y独立的独立的充分必要条件是充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y)=fX(x)fY(y)定理定理 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布是二维离散型随机变量，其分布(fnb)(fnb)律为律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则，则X X与与Y Y独立的充分独立的充分必要条件是对任意必要条件是对任意i,j i,j，Pi,j=PiPi,j=Pi.P .

18、Pj j 。由上述定理可知，要判断由上述定理可知，要判断(pndun)(pndun)两个随两个随机变量机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对的边缘分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可的每一对可能取值点能取值点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布边缘分布的乘积都等于联合分布即可即可第30页/共54页第三十页，共55页。例 已知随机变量(su j bin lin)(X,Y)的分布律为x1200.15 0.151ab且知X与Y独立(dl)，求a、b的值。例例 甲乙约定甲乙约定(yudng)8:00(yudng)8:009:009:00

19、在某地会在某地会面。设两人都随机地在这期间的面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待任一时刻到达，先到者最多等待1515分钟过时不候。求两人能见面分钟过时不候。求两人能见面的概率。的概率。第31页/共54页第三十一页，共55页。定义. 设n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布(fnb)函数为F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1k0, 则称同理，对固定(gdng)的i, pi. 0, 称,.2 , 1,|.|jppxXyYPPiijiji j为X xi的条件下，Y的条件分布律;第37页/共54页第三十七页，共55页。例 设某昆虫的产卵数X X服从参数为50

20、50的泊松分布(fnb)(fnb)，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X X与下一代只数Y Y的联合分布(fnb)(fnb)律. .第38页/共54页第三十八页，共55页。二 连续型随机变量(su j bin lin)的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定(gdng)的正数0，极限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布(fnb)函数.记作|)|(|yYxXPyxFYX可证当 时 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX第39页/共54页第三十九页，共55页。若记 为

21、在Y=y条件(tiojin)下X的条件(tiojin)概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . )|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(|yfyxfxyxFyxfYYXYX类似定义，当 时0)(xfX)(),()|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY第40页/共54页第四十页，共55页。例 已知(X,Y)的概率密度为其它01421),(22yxyxyxf(1)求条件(tiojin)概率密度)|(|xyfXY(2)求条件(tiojin)概率31|31XYPxy1解:dyyxfxfX),()(othersxydyxx011421122第41页/共54页第四十一页，共55页。

22、多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布(fnb)一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布(fnb)律律设二维离散(lsn)型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj)或第42页/共54页第四十二页，共55页。 例 设随机变量X X与Y Y独立，且均服从(fcng)0-1 (fcng)0-1 分布

23、，其分布律均为 X 0 1 X 0 1 P q p P q p (1) (1) 求W WX XY Y的分布律; ;(2) (2) 求V Vmax(X, Y)max(X, Y)的分布律；(3) (3) 求U Umin(X, Y)min(X, Y)的分布律。(4)(4)求w w与V V的联合分布律。第43页/共54页第四十三页，共55页。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)2qpqpq2p011201110001VW0 10 1 22q000pq22p第44页/共54页第四十四页，共55页。二、多个随机变量函数二、多个随机变量函数(

24、hnsh)的密度函的密度函数数(hnsh)1、一般的方法：分布(fnb)函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布(fnb)函数: y)X,.,X( gPyYP)y(Fn1Y ;.),.,(.11),.,(1nnyxxgdxdxxxfn.dy)y(dF)y(F)y(fYYY 然后再求出Y的密度(md)函数:第45页/共54页第四十五页，共55页。2、几个常用(chn yn)函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。

25、 或.),(),()(dxxzxdyyyzfzfZz x+y=z x+y z 若X与Y相互(xingh)独立，则ZXY的密度函数 .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(fYXYXZ 或第46页/共54页第四十六页，共55页。例 设随机变量X与Y独立(dl)且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般(ybn)地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则),(21211iniiniiiniiiaaNXa第47页/共54页第四十七页，共55页。例 卡车装运(zhungyn)(zhungyn)水泥, ,设每袋

26、水泥的重量X(kg)X(kg)服从2)2)分布, ,该卡车的额定载重量为2000kg,2000kg,问最多装多少袋水泥, ,可使卡车超载的概率不超过0.05.0.05.解:设最多装n袋水泥(shun),Xi为第i袋水泥(shun)的重量.则05. 020001niiXP由题意(t y),令)5 . 2 ,50(21nnNXnii05. 0)5 . 2502000(120001nnXPnii95. 0)5 . 2502000(nn查表得645. 15 . 2502000nn39 n第48页/共54页第四十八页，共55页。YX (2)商的分布(fnb) 已知(X, Y)f(x, y), (x, y

27、)R2, 求Z 的密度。.),(|)(dyyyzfyzfZy G1 0 x G2特别(tbi)，当X，Y相互独立时，上式可化为 ,dy)y(f )yz(f |y|)z(fYXZ第49页/共54页第四十九页，共55页。 3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数相互独立，其分布函数(hnsh)分别为分别为F1(x1),F2(x2), , Fn(xn)，记，记MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，则，M和和N的分布函数的分布函数(hnsh)分别为：分别为： FM(z)F1(z) Fn(z).)(1 1)(1niiNzFzF第50页/共54页第五十页，共55页。 特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(