正四面体与正方体的相关问题归纳学习教案

1、会计学1正四面体与正方体的相关正四面体与正方体的相关(xinggun)问题问题归纳归纳第一页，共33页。2一、正方体高考(o ko)十年 十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体. 其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人(yu rn)说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.第1页/共33页第二页，共33页。3解 析外接球的表面积，比起内接正方体的全面积

2、来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等(xingdng)，否定(A)，正确答案只能是(B) .考题(ko t) 1 （正方体与其外接球）第2页/共33页第三页，共33页。4考题(ko t) 2 （正方体中的线面关系）小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要(zhyo)知道棱AD与后侧面垂直就够了.说 明11EDAFV（1997年）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED

3、面A1FD1；（4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 . 第3页/共33页第四页，共33页。5考题 3 （正方体的侧面(cmin)展开图）考查(koch)空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是C.解 析（2001年）右图是正方体的平面展开(zhn ki)图在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）第4页/共33页第五页，共33页。6考题4 （正方体中主要(zhyo)线段的关系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂

4、线定理知其正确答案为A.平移(pn y)法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.解 析第5页/共33页第六页，共33页。7 考题(ko t) 5 （正方体与正八面体）解 析将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的 ，再乘 得 .答案选C.213161第6页/共33页第七页，共33页。8 考题(ko t) 6 （正方体中的三角形）解 析在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得 ，所以选C. 38C2438C第7页/共33页第八页，共33页。9在三棱锥OA

5、BC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直(chuzh)，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是 考题(ko t) 7 2006年四川卷第13题正方体的一“角”如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证(qizhng)：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）求三棱锥PDEN的体积. 考题8 2006年四川卷第19题两正方体的“并”P第8页/共33页第九页，共33页。10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的

6、一点，CP=m. ()试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3 ；()在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.2分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为m=1/3；对第()问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第()小题成了大题(d t)，第()小题成了大难题. 考题(ko t)9 （2006年湖北卷第18题）第9页/共33页第十页，共33页。11NoImage多面体上，位于同一条(y tio)棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧

7、，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_.（写出所有正确结论的编号）第10页/共33页第十一页，共33页。12二、正四面体(zhn s min t)与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考(sko)：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥

8、？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？第11页/共33页第十二页，共33页。13考 题 1 （正四面体(zhn s min t)化作正方体解）说 明本题如果(rgu)就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.第12页/共33页第十三页，共33页。14拙解 硬碰正四面体(zhn s min t)第13页/共33页第十四页，共33页。15联想(linxing) 、 、 的关系正四面体的棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？2则三棱锥BA1C1D是棱长为 的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.2为此，

9、在棱长为1的正方体BD1中，（1）过同一(tngy)顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点A1，C1，D依次(yc)首尾连结.A1C1DBACA1B1D1C1DB第14页/共33页第十五页，共33页。16妙解 从正方体中变出正四面体(zhn s min t)以 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径为 ，则其外接球的表面积为S=4R2=4( )23以 为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.答案为A.2323232第15页/共33页第十六页，共33页。17

10、寻根 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 .这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 -12=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.48C第16页/共33页第十七页，共33页。18按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间. 所以，十年来立几考题哪怕是解答题也没有(mi yu)出现在压轴题中. 从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考

11、题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！三、正方体成为(chngwi)十年大难题第17页/共33页第十八页，共33页。19命题(mng t) 将正方体一分为二2003年全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题. 其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱(lngzh).图中的点E正是正方体的中心.第18页/共33页第十九页，共33页。20考题(ko t)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.侧棱AA1，D、E分别是CC1与A1

12、B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的大小(dxio)(结果用反三角函数值表示)；()求点A1到平面AED的距离.第19页/共33页第二十页，共33页。21解 析（转下页）考场反馈：按出题人给出的图形(txng)（右上），答题时无法作辅助线.第20页/共33页第二十一页，共33页。22（转下页）解 析（续上）考场反馈：按出题(ch t)人给出的这种解析，无法在原图上显示.第21页/共33页第二十二页，共33页。23解 析（续上）（解毕）阅卷人说：在见到的答卷(d jun)中，几乎没有看到这种“标准答案”.第22页/共33页第二十三页，共33页。24

13、难点突破(tp)：斜二测改图法，把问题转到正方体中.本题难在哪里(n li)？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！第23页/共33页第二十四页，共33页。25难题(nnt)（0318）的题图探究正方体立体图常见(chn jin)的画法有两种：（1）斜二测法（图右）此法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致(dozh)“三线”重合（2）正等测法（图右）此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图右）：将正方体的对角面置于正前面.第24页/共33页第二十五页，共33页。26四、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单. 像数学(s

14、hxu)中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！第25页/共33页第二十六页，共33页。27正方体，（ ）个面， 线面距转（ ）面距，（ ）个顶点（ ）棱。 寻找（ ）要根据。顶点连线（ ）条， 异面直线求距离，一顶（ ）线来相交。 确定（ ）是难题。三顶确定三角形， 正方体，是个宝，要求三顶不共（ ）。 各种关系藏得巧。四顶确定四面体， 正四面体（ ）条棱，要求四顶不共（ ）。 选自6面（ ）线；三种线段结数缘， 正八

15、面体（ ）个顶，根1、根2和（ ）。 6面（ ）对得准。68 12 28 7 线 面点射影(shyng)垂足(chu z)6对角(du jio)6中心根3关于正方体 你已经知道了多少？关于正方体 还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有（ ）个，4顶异面的（ ）个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。第26页/共33页第二十七页，共33页。28五、解正四面体(zhn s min t)统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了. 其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方

16、体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法(ji f)，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！第27页/共33页第二十八页，共33页。29正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为底面正三角形高为（ ）； 底面正三角形的外半径为（ ）；正三角形的内半径为（ ）； 正四面体的斜高为（ ）；斜高在底面上的射影为（ ）； 斜面与底面成角余弦值（ ）；正四面体高为（ ）； 外接球半径为（ ）；内切球半径为（ ）.22一句话小结 正四面体与正方体的对应量只相差一个系数： （或 ）2224612623336323633136第28页/共33页第二十九页，共33页。30 （2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A. B. C. D.222323.PDA1P.C1B22A1PC1妙解 （找老子(lo zi)解儿子）2答案(d n)为C第29页/共33页第三十页，共33