椭圆的简单几何性质课时学习教案

1、会计学1椭圆的简单几何椭圆的简单几何(j h)性质课时性质课时第一页，共66页。椭圆椭圆(tuyun) 简单的几何性质简单的几何性质12222byax范围范围(fnwi)：, 122ax得：得：122 by -axa, -byb 椭圆椭圆(tuyun)落在落在x=a,y= b围成的矩形中（如图）围成的矩形中（如图） oyB2B1A1A2F1F2cab1. 观察：观察：x,y的范围？的范围？2. 思考：如何用代数思考：如何用代数方法解释方法解释x,y的范围？的范围？ -axa, -byb 一一.范围范围第2页/共66页第二页，共66页。22221(0)，xyabab在中令令 x=0 x=0，得，

2、得 y= y=？，说明椭圆？，说明椭圆(tuyun)(tuyun)与与 y y轴的交点轴的交点（ ），）， 令令 y=0 y=0，得，得 x= x=？, , 说明椭圆说明椭圆(tuyun)(tuyun)与与 x x轴的交点轴的交点（ ）。）。* *顶点：椭圆与它的对称轴的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点四个交点(jiodin)(jiodin)，叫做，叫做椭圆的顶点。椭圆的顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0* *长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的长分别叫做椭圆的长轴和短轴。轴和短轴。a a、b

3、 b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长半轴长长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !第3页/共66页第三页，共66页。YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)换成换成(-X),方程方程(fngchng)不变不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(Y)换成换成(-Y),方程方程(fngchng)不变不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(X)换成换成(-X), (Y)换成换成(-Y),方程方程(fngchng)还是不变还是不变,说说明椭圆关于明椭圆关于( )对称；对称；Y X 原点原点 所以所以

4、(suy)(suy)，坐标轴，坐标轴是椭圆的对称轴，是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对原点是椭圆的对称中心。称中心。第4页/共66页第四页，共66页。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关练习：根据前面所学有关(yugun)知识画出下列图形知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 第5页/共66页第五页，共66页。ace 离心率离心率(xn l)：椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆叫做椭圆(tu

5、yun)的离心率。的离心率。11离心率的取值范围：离心率的取值范围：1 1）e e 越接近越接近 1 1，c c 就越接近就越接近 a a，从而，从而 b b就越小，就越小，椭圆就越扁椭圆就越扁因为因为 a c 0a c 0，所以，所以0e 10e b)(ab)cea知识知识(zh shi)归纳归纳a2=b2+c2 ) 0(ba，第7页/共66页第七页，共66页。标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的的关系关系22221(0)xyabab关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；

6、关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴长短半轴长为为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0 , c)(0 , c)、(0, -c)(0, -c)关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(

7、ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba第8页/共66页第八页，共66页。)5,0(),5,0(21FF例题例题1: 1: 求椭圆求椭圆 9 x2 + 4y2 =36 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心离心 率、焦点率、焦点(jiodin)(jiodin)和顶点坐标。和顶点坐标。椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的的长轴长是长轴长是: :离心率离心率(xn (xn l):l):焦点坐标是焦点坐标是: :四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)3

8、 , 0(),3, 0(),0 , 2(),0 , 2(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：解题步骤：1 1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a a、b b：2 2、确定焦点的位置或长轴的位置、确定焦点的位置或长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程19422yx549,2,3cba第9页/共66页第九页，共66页。练习练习: :求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400 16 x2 + 25y2 =400的长轴和的长轴和短轴的长、离心率、焦点短轴的长、离心率、焦点(jiodin)(jiodin)

9、和顶和顶点坐标。点坐标。解：把已知方程解：把已知方程(fngchng)化成标化成标准方程准方程(fngchng)1452222yx31625,4,5cba椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的长的长轴长是轴长是: :离心率离心率: :6.053ace焦点坐标是焦点坐标是: :)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是: :2a=102b=8第10页/共66页第十页，共66页。例例2: 2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(fngchng)(fng

10、chng)：（1 1）经过点（）经过点（-3-3，0 0）、（）、（0 0，-2-2）；）；22194xy22194xy23解：解： 方法方法(fngf)(fngf)一：设椭圆方程为一：设椭圆方程为mx2mx2ny2ny21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），将点的坐标代入方程，求出），将点的坐标代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所以椭圆的标准方程为。所以椭圆的标准方程为 方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x x轴上，且

11、点轴上，且点P P、Q Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a a3 3，b b2 2，所以椭，所以椭圆的标准圆的标准(biozhn)(biozhn)方程为方程为 （2 2）离心率为）离心率为 ，经过点（，经过点（2,02,0）第11页/共66页第十一页，共66页。练习练习(linx)(linx)： 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 , ,其长其长轴长是短轴长的轴长是短轴长的2 2倍，求椭圆的标准方程倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目分析：题目(tm)没有指出焦点的位置，要考虑两种位置没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标准方程为： ；11422yx

12、椭圆的标准方程为： ；116422yx解：解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当 为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是 或 11422yx116422yx第12页/共66页第十二页，共66页。第13页/共66页第十三页，共66页。标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、

13、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于(guny)x(guny)x轴、轴、y y轴成轴对称；关于轴成轴对称；关于(guny)(guny)原点成中心对称原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴长短半轴长为为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba第14页/共66页第十四

14、页，共66页。162x82y1.1.直接直接(zhji)(zhji)算出算出a a、c c带入公式求带入公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2的正弦值的正弦值第15页/共66页第十五页，共66页。3. 3. 已知已知a2a2、c2c2直接直接(zhji)(zhji)求求e2 e2 222cea221bea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 第16页/共66页第十六页，共66页。题型二：方程(fngchng)法例2.根据(gnj)条件，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可

15、。注意椭圆离心率范围是0e00直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2) (2)=0 =0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3) (3)0 k-3366-k33当 =时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点第44页/共66页第四十四页，共66页。例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? lmm第45页/共66页第四十五页，共66页。 oxyml解：设直线 平行于 ，2245

16、01259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk则 可写成：12k25k25解得=，=-25.k 由图可知例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? 第46页/共66页第四十六页，共66页。 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考(sko)：最大的距离是多少？max22402565414

17、145d例例 2 2: :已知椭圆已知椭圆221259xy, ,直线直线45400 xy, ,椭圆椭圆上是否存在一点上是否存在一点, ,到直线到直线l的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? 第47页/共66页第四十七页，共66页。设直线设直线(zhxin)(zhxin)与椭圆交于与椭圆交于P1(x1,y1)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P2(x2,y2)两点，直线两点，直线(zhxin)P1P2(zhxin)P1P2的斜率为的斜率为k k弦长公式弦长公式(gngsh)：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式(gngsh)可推广到

18、任意二次曲线第48页/共66页第四十八页，共66页。例例3 3：已知斜率：已知斜率(xil)(xil)为为1 1的直线的直线L L过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A A，B B两点，求弦两点，求弦ABAB之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85第49页/共66页第四十九页，共66页。第50页/共66页第五十页，共66页。第51页/共66页第五十一页，

19、共66页。例例5 ：已知椭圆：已知椭圆(tuyun) 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理(dngl)斜率斜率韦达定理韦达定理(dngl)法：利用韦达定理法：利用韦达定理(dngl)及中点坐标公式来构造及中点坐标公式来构造知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题第52页/共66页第五十二页，共66页。例例 5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点引一弦，使弦在这点(zh din)被被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线点差法：利用端点

20、在曲线(qxin)上，坐标满足方程，作差上，坐标满足方程，作差构造构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差第53页/共66页第五十三页，共66页。知识点知识点3：中点：中点(zhn din)弦问题弦问题点差法：利用点差法：利用(lyng)端点在曲线上，坐标满足方端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率程，作差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,

21、), (,)A x yB xy在椭圆上，第54页/共66页第五十四页，共66页。2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆(tuyun)相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 第55页/共66页第五十五页，共66页。例例5已知椭圆已知椭圆(tuyun) 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点引一弦，使弦在这点被被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在

22、直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有两点的直线有且只有(zhyu)一条一条解后反思：中点弦问题求解解后反思：中点弦问题求解(qi ji)关键在于充分利用关键在于充分利用“中中点点”这一这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，第56页/共66页第五十六页，共66页。第57页/共66页第五十七页，共66页。例例6、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆(tuyun) 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆与椭圆(tuyun)中中心连线的心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2

23、2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 第58页/共66页第五十八页，共66页。练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)

24、与椭圆的位置与椭圆的位置(wi zhi)关系关系,并求以并求以A为中为中点点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长第59页/共66页第五十九页，共66页。练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线的直线(zhxin)被椭圆截得的弦长被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线椭圆的弦所在的直线(zhxin)方程方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:59140 xy第60