信号处理基础 第五章 Z变换

1、信号处理基础信号处理基础第五章第五章 Z变换变换信号处理基础信号处理基础 概述概述 Z变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域 序列序列Z变换的基本特性变换的基本特性 Z变换的性质变换的性质 逆逆Z变换变换 系统分析系统分析信号处理基础信号处理基础4.14.1 概述概述 电路理论中的拉普拉斯变换是连续时间傅里叶变电路理论中的拉普拉斯变换是连续时间傅里叶变换的一种推广，它比傅里叶变换有着更广泛的适用换的一种推广，它比傅里叶变换有着更广泛的适用范围。范围。 许多信号的傅里叶变换不存在，却有拉普拉斯变许多信号的傅里叶变换不存在，却有拉普拉斯变换。换。 不稳定不稳定LTI系统不存在傅里叶变换，也有拉普

2、拉系统不存在傅里叶变换，也有拉普拉斯变换，并且通过拉氏变换对系统的不稳定性作分斯变换，并且通过拉氏变换对系统的不稳定性作分析，从而找出使系统稳定的措施或找出系统不稳定析，从而找出使系统稳定的措施或找出系统不稳定的原因，如在自动控制理论广泛应用拉氏变换。的原因，如在自动控制理论广泛应用拉氏变换。信号处理基础信号处理基础 由于离散信号和系统的数学抽象是序列，其变量是由于离散信号和系统的数学抽象是序列，其变量是离散的，因此拉普拉斯变换已不适用。作为序列傅里叶离散的，因此拉普拉斯变换已不适用。作为序列傅里叶变换的推广即是变换的推广即是Z变换。变换。 它可把描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简它可把

3、描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简化求解过程；化求解过程； 它还可用系统函数零极点分布，定性分析系统的时域它还可用系统函数零极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应和系统稳定性等问题；特性、频率响应和系统稳定性等问题； Z变换是离散信号与系统分析的重要方法。它在离散变换是离散信号与系统分析的重要方法。它在离散系统的作用与拉氏变化在连续系统的作用相类似。系统的作用与拉氏变化在连续系统的作用相类似。信号处理基础信号处理基础5.2 Z5.2 Z变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域 序列的傅里叶变换定义为：序列的傅里叶变换定义为：式中式中ej是是的的复函数，变量复函数，变量是实数。是实数。

4、也可看成是复数变量也可看成是复数变量j 的函数，这时的函数，这时ej 就是复变函数。就是复变函数。nnjnjnjenfenfeF)()()(DTFT信号处理基础信号处理基础 序列的傅里叶变换存在的充分条件为序列的傅里叶变换存在的充分条件为 由此可见，绝对可和的要求限制了某些序列傅里由此可见，绝对可和的要求限制了某些序列傅里叶变换的存在。为使更多的函数存在变换，引入一个叶变换的存在。为使更多的函数存在变换，引入一个衰减因子衰减因子e-n，使它与使它与f(n)相乘，于是绝对可和条件容相乘，于是绝对可和条件容易满足，从而有：易满足，从而有：( )nf n信号处理基础信号处理基础上式就是序列的上式就是

5、序列的Z变换。上式中对变换。上式中对n的求和是从的求和是从-到到+ ，即在时域坐标原点的两边范围内进行，所以上，即在时域坐标原点的两边范围内进行，所以上式定义的式定义的Z变换通常称为变换通常称为双边双边Z变换变换。() ( )( )()jnj njnnnF ef n eef n e 令令 , ,则上式成为：则上式成为：jeznnznfzF)()(Z变换变换信号处理基础信号处理基础展开有：展开有：.) 2 () 1 () 0 () 1() 2()(21012zfzfzfzfzfzFnnznfzF)()( 上式表明，序列的上式表明，序列的Z变换是复变量变换是复变量z-1的幂级数，的幂级数，其系数是

6、序列的值。因此其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量是复变函数，复变量z代表代表Z平面中的点。平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且上述幂级数的项数等于序列的长度，且n0的序列值作为负次幂的序列值作为负次幂的系数。的系数。将将Z变换变换信号处理基础信号处理基础 与拉氏变换的定义类似，与拉氏变换的定义类似，Z变换也有单边和双边之变换也有单边和双边之分。将上式中对分。将上式中对n的求和范围从的求和范围从-到到+改为从改为从0到到+，可得序列的单边可得序列的单边Z变换：变换：0( )( )nnF zf n z用符号用符号“Z”表示表示Z变换，即变换，即)()(nfzFZ显然，如果

7、显然，如果f(n)为因果序列，则双边为因果序列，则双边Z变换与单边变换与单边Z变变换是等同的。换是等同的。信号处理基础信号处理基础Z平面：平面： Z平面是指图示平面，平面是指图示平面，其横轴表示复数变量其横轴表示复数变量z的的实部，纵轴表示复数变实部，纵轴表示复数变量的虚部。量的虚部。 在在Z平面中以坐标原平面中以坐标原点为圆心，以单位点为圆心，以单位1为半为半径的圆称为径的圆称为Z平面中的单平面中的单位圆，它在位圆，它在Z平面中的方平面中的方程为程为 jez Rez jIm z jez 单位圆单位圆 Z Z平面平面 0 信号处理基础信号处理基础序列的傅里叶变换和序列的傅里叶变换和Z Z变换公

8、式为变换公式为 即有即有: : jezjzFeF)()(njnjenfeF)()(nnznfzF)()( Rez jIm z jez 单位圆单位圆 Z Z平面平面 0 因此，序列的傅里叶变换是序列在因此，序列的傅里叶变换是序列在Z平面单位圆平面单位圆上的变换，上的变换，Z变换是将变换延拓到整个变换是将变换延拓到整个Z平面中。平面中。 表明表明Z变换适用的范围比傅里叶变换广泛，这就变换适用的范围比傅里叶变换广泛，这就是要引入是要引入Z变换分析的重要原因。变换分析的重要原因。信号处理基础信号处理基础DTFTDTFT与与Z Z变换的差别变换的差别：傅里叶变换将时间函数变换为频域函数，实现了时域和频傅

9、里叶变换将时间函数变换为频域函数，实现了时域和频域转换；域转换；Z Z变换则将时间函数变换为复变函数，实现了时域变换则将时间函数变换为复变函数，实现了时域和和Z Z域的转换。域的转换。从数学观点看，将函数乘以衰减因子使之满足绝对可积条从数学观点看，将函数乘以衰减因子使之满足绝对可积条件，从而存在傅里叶变换；傅里叶变换是件，从而存在傅里叶变换；傅里叶变换是Z Z变换的特例，后变换的特例，后者是前者的推广。者是前者的推广。从物理观点看，将函数分解为复指数序列形式，傅里叶变从物理观点看，将函数分解为复指数序列形式，傅里叶变换中的纯虚复指数序列仅描述了基本信号的振荡频率，而换中的纯虚复指数序列仅描述了

10、基本信号的振荡频率，而Z Z变换中的复指数函数还给出了振荡幅度的变化信息。变换中的复指数函数还给出了振荡幅度的变化信息。信号处理基础信号处理基础 Z变换的收敛性取决于：变换的收敛性取决于：序列序列和和z的取值范围的取值范围。如果。如果序列给定，则序列给定，则Z变换的收敛性取决于变换的收敛性取决于z的取值范围，我的取值范围，我们称所有使序列的们称所有使序列的Z变换绝对收敛的变换绝对收敛的z值的集合为序列值的集合为序列Z变换的变换的收敛域收敛域。 在的充分必要条件。变换存的，它是序列上式称为绝对可和条件Z)(nf变换才存在。时，级数收敛，即之和，显然只有当幂变换定义为无穷幂级数Z)(Znnznf收

11、敛域的概念：收敛域的概念：信号处理基础信号处理基础例例: : 解：解： 表明表明F(Z)为一无穷等比级数。当为一无穷等比级数。当|Z-1|1时，上时，上述级数收敛。述级数收敛。变换。的求Z)()(nunf)()(nfzFZ32101)(zzzzznunnnn 所以单位阶跃序列所以单位阶跃序列u(n)的收敛域为：的收敛域为：|Z|1。对所。对所有收敛域中的有收敛域中的Z值，阶跃序列的值，阶跃序列的Z变换为：变换为： ,)(1zzzF1z信号处理基础信号处理基础例例:求求-u(-n-1)的的Z变换。变换。110( )(1)1nnnnnnnnF zu nzzzz 1( ) 1,11zF zzz 1z

12、 解解:当当|Z|1时，上述级数收敛，可得序列的时，上述级数收敛，可得序列的Z变换为：变换为： 可见，双边变换时，不同的序列在不同收敛域条可见，双边变换时，不同的序列在不同收敛域条件下，可能对应于相同的件下，可能对应于相同的Z变换式。因此，为了单值地变换式。因此，为了单值地确定确定Z变换所对应的序列，必须在给出序列的变换所对应的序列，必须在给出序列的Z变换式变换式的同时说明它的收敛域。的同时说明它的收敛域。 对于单边变换，序列与变换式唯一对应，同时也对于单边变换，序列与变换式唯一对应，同时也有唯一的收敛域。有唯一的收敛域。信号处理基础信号处理基础1、有限长序列、有限长序列 若序列若序列f(n)

13、的非零值点仅分布在有限整数集合上，的非零值点仅分布在有限整数集合上，则称此序列为则称此序列为有限长序列有限长序列，即：，即： f(n)=0当当nn2时，这里时，这里n2n1 。这类序列的。这类序列的Z变换为变换为:21)()()(nnnnnnznfznfzF5.3 序列序列Z变换的基本特性变换的基本特性 信号处理基础信号处理基础对于：对于：要使这个和式收敛，在序列要使这个和式收敛，在序列f(n)有界的条件下，有界的条件下，Z变换的收敛域就取决于变换的收敛域就取决于|z|-n ，nn1, n2的的取值，现在分几种情况来讨论：取值，现在分几种情况来讨论：21)()(nnnnznfzF信号处理基础信

14、号处理基础 1） n1 0 这时，这时，Z变换可以写成变换可以写成: 在这种情况下，有限长序列的在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为变换收敛域为0|z| ，即除了，即除了z=0和和z=外，序列外，序列Z变换在整个变换在整个Z平面上收敛。平面上收敛。2101)()()(nnnnnnznfznfzFnf(n)n2n1f(n)示意图示意图Re zIm zjROC图示图示信号处理基础信号处理基础 2) n1 0，n20 这时序列这时序列Z变换为变换为 在这种情况下，有限长序列的在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为变换收敛域为|z|0 这时序列这时序列Z变换为变换为 在这种情况下，有限长序列的在

15、这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为变换收敛域为|z|0，即除了，即除了z=0外，序列外，序列Z变换在整个变换在整个Z平面上收平面上收敛。敛。nf(n)n2n1f(n)示意图示意图21)()(nnnnznfzF信号处理基础信号处理基础 4) n1=n2=0 即即f(n)=A(n) ，A为常数，序列的为常数，序列的Z变换为变换为 它是一个常数，所以无论它是一个常数，所以无论z取何值均收敛，即这取何值均收敛，即这时序列的时序列的Z变换收敛于整个变换收敛于整个Z平面。平面。 AznAzFnn00)()(信号处理基础信号处理基础2、右边序列、右边序列 若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有若序列

16、的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 f(n)=0 nn1 则此序列称为则此序列称为右边序列右边序列，其，其Z变换为变换为1)()(nnnznfzF 设序列设序列f(n)为有界序列，假定我们已知这个序列的为有界序列，假定我们已知这个序列的Z变换变换F(z)在在z=z1处收敛，有：处收敛，有：1|)(|1nnnznf信号处理基础信号处理基础现分两种情况讨论收敛域：现分两种情况讨论收敛域：1） n1 0，当，当|z|z1|时，时， 即即F(z)至少在至少在|z|z1|的区域内是的区域内是收敛的，这是一个收敛的，这是一个圆外区域圆外区域，包，包含了含了z=处，如图示。处，如图示。 Rez jImz

17、0 z1 收敛域 1( )( )nn nF zf n z11| |( )|( ) |nnnnnnf n zf nz1| |1|( ) |nn nf nznf(n)n1f(n)示意图示意图11|( )|nn nf n z 信号处理基础信号处理基础2) n1|z|z1| ，这是一个不包，这是一个不包括括z=处的处的圆外区域圆外区域。 0|1|)()()(1nnnnnznfznfzF Rez jImz 0 z1 收敛域 nf(n)n1f(n)示意图示意图信号处理基础信号处理基础例：已知序列例：已知序列 ，求，求X(z)。 当当 ROC: 此例收敛域是以此例收敛域是以X(z)的极点的极点b为半径的圆外

18、区域。为半径的圆外区域。推论推论：在：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛域是以绝对值最大的极点为收敛半径的边序列的收敛域是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外区域圆外区域。 )()(nubnxn010nnnnnbzzbzX)()(1|1bzbzzzX)(bz |信号处理基础信号处理基础 3、 左边序列左边序列 若序列的非零值点仅分布在某一点的左边，若序列的非零值点仅分布在某一点的左边，即有即有 f(n)=0 nn2 称此序列为称此序列为左边序列左边序列。其。其Z变换为变换为 用类似于右边序列的讨论，假定用类似于右边序列的讨论，假定F(z)在

19、在z=z2处处收敛，即有：收敛，即有：2)()(nnnznfzF1|)(|2nnnznf信号处理基础信号处理基础现分两种情况讨论这个和式的收敛域：现分两种情况讨论这个和式的收敛域：1) n20，当，当|z|z2|时，时， 有：有： 可见，可见，F(z)的收敛域是个的收敛域是个圆内区域圆内区域，且包含了，且包含了z=0处。处。RezjImezz2收敛域2( )( )nnnF zf n z22| |( )|( ) |nnnnnnf n zf nz22| |22|( ) |( )|nnnnnnf nzf n z nf(n)n2f(n)示意图示意图信号处理基础信号处理基础2） n20 这时序列的这时序

20、列的Z变换可以写成变换可以写成20|1|)()()(nnnnnznfznfzF 序列序列Z变换的收敛域为变换的收敛域为0|z|z2| ，这是一个不包，这是一个不包括括z=0处的处的圆内区域圆内区域。 nf(n)n2f(n)示意图示意图信号处理基础信号处理基础例：已知序列例：已知序列 ，求，求X(z)。 此例收敛域是以此例收敛域是以X(z)的极点的极点b为半径的圆内。为半径的圆内。推论推论：在：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则左的封闭表示式中，若有多个极点，则左边序列的收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的边序列的收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内圆内。) 1()(nubnxn

21、11)(nnnnnnzbzbzXzbzbnnn101111bzz|bz ROC:信号处理基础信号处理基础4、双边序列、双边序列 若序列若序列f(n)的非零值点分布在整个整数集上，则的非零值点分布在整个整数集上，则此序列称为此序列称为双边序列双边序列。 双边序列的双边序列的Z变换为：变换为： nnznfzF)()(01)()(nnnnznfznf右边序列右边序列左边序列左边序列信号处理基础信号处理基础 第一个和式是左边序列，它的收敛域为圆内区域，第一个和式是左边序列，它的收敛域为圆内区域，设为设为|z|R- 。 当当R+R时，两个和式有公共的收敛区域且为时，两个和式有公共的收敛区域且为R-|z|

22、R+，它是个园环如下图，即是双边序列，它是个园环如下图，即是双边序列Z变换的变换的收敛域。收敛域。 如果如果R+1120200cossin)()(sinzzznunZ信号处理基础信号处理基础5.5 Z变换的性质变换的性质1 1、 线性特性线性特性)()(11zXnx)()(22zXnx如果如果：收敛域为收敛域为R1收敛域为收敛域为R2)()()()(2121zbXzaXnbxnax则有：则有：ROC至少为至少为RR1 R2信号处理基础信号处理基础变换。的求例：Zn5当线性组合中出现零极点相消时，当线性组合中出现零极点相消时，Z变换的收敛域可能扩大。变换的收敛域可能扩大。这时收敛域为整个这时收敛

23、域为整个z平面，显然收敛域扩大了平面，显然收敛域扩大了。1( )( )111zX zY zzz( ) ( )| 11zX zZ u nzz1( ) (1)| 11Y zZ u nzz解：解：信号处理基础信号处理基础变换。的双边和求例：Z)()(232nunn2、 时移特性时移特性)()()()()()()(zXzmnxZzXzmnxZznxzXnxZmmnn1 1）双边）双边Z Z变换变换式中式中m为为正整数，序列位移后的正整数，序列位移后的z变换除了在变换除了在z=0或或z=处收敛情况与原序列处收敛情况与原序列z变换收敛情况可能不同外，其它变换收敛情况可能不同外，其它区域的收敛情况完全相同。

24、区域的收敛情况完全相同。信号处理基础信号处理基础2）单边）单边Z变换变换 左移序列的单边左移序列的单边Z变换：变换：10( )( )mmkkzX zx k z()0()()mnmmknkmzx nm zzx k z100( )( )mmkkkkzx k zx k z0()()()nnZ x nm u nx nm z信号处理基础信号处理基础右移序列的单边右移序列的单边Z变换变换:()0()( )mn mmknkmzx nm zzx k z0 () ( )()nnZ x nm u nx nm z10( )( )mkkkkmzx k zx k z1( )( )mkkmzX zx k z信号处理基础信

25、号处理基础若若x(n)为因果序列，则为因果序列，则)()()(zXznumnxZm1( )0kkmx k z10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ因此，右移序列的单边因此，右移序列的单边Z变换变为变换变为左移序列的单边左移序列的单边Z变换仍为变换仍为信号处理基础信号处理基础例：求下列序列的单边及双边例：求下列序列的单边及双边Z变换变换z2/(z-1 ), 1 |z|11/(z-1)z, |z|0z-1(n-1)(n+1)u(n-1)u(n+1)信号处理基础信号处理基础用单边用单边Z变换解差分方程变换解差分方程 x(n-r),y(n-k)均为右移序列均为右移序列 两边取单边两边取单

26、边Z变换变换为为)()(00rnxbknyaMrrNkkMrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(初始状态初始状态若因果信号若因果信号此项为零此项为零信号处理基础信号处理基础)()(zXdzdznnxZnnznxzX)()( )( )( )nnnndddX zx n zx nzdzdzdz111( )( )( )nnnnnx n zznx n zznx n Z)()(zXdzdznnxZ3、Z域微分特域微分特性性证明：证明：上式两边对上式两边对Z求导有：求导有：所以所以信号处理基础信号处理基础11( )1na u nazza211 2d1()d1(1)az

27、zazaz ( )( )nx nna u n11( )(1)azX zazza例：已知例：已知求求x(n)解：解：2111)()(azazdzzdXz2信号处理基础信号处理基础注：注：a 可为实数、虚数、复数。可为实数、虚数、复数。例：求例：求f(n)=2nu(n+1)-u(n-1)的双边的双边Z变换。变换。)()(azXnxanZnnnnznxanxa)()(Z)()(azXaznxnnna)(az4、Z域尺度变换特性域尺度变换特性证明证明：尺度变换特性表明，序列乘上指数序列尺度变换特性表明，序列乘上指数序列后，相当于后，相当于z平面的尺度变化为平面的尺度变化为信号处理基础信号处理基础5 5

28、、 时域反转时域反转（仅适用于双边（仅适用于双边Z Z变换）变换）( )( )x nX z1()()xnX z 信号在时域反转，会引起信号在时域反转，会引起 的零极点分的零极点分布按倒量对称发生改变。布按倒量对称发生改变。 如果如果 是是 的零的零/ /极点极点, ,则则 就是就是 的零的零/ /极点。极点。( )X ziz1/iz1()X z即即 ： 与与 的零极点呈共轭倒量对称。的零极点呈共轭倒量对称。( )X z( )X z1()X z zROC :/:11 zROC信号处理基础信号处理基础例：例：( )X z的的ROC为为1322z则则 的的ROC为为1()X ziz1iz*iz*1i

29、zRe0 0jIm2z32信号处理基础信号处理基础)()()()(zYzXnynxZ1 ( ) ( )( ) ( )2cz dvx n y nX v YjvvZ6、时域卷积特性、时域卷积特性这是个重要特性，它将时域中的卷积关系转换为这是个重要特性，它将时域中的卷积关系转换为z域中的域中的乘积关系。乘积关系。注：如果两个序列在时域中是乘积的关系，则这两个序列在注：如果两个序列在时域中是乘积的关系，则这两个序列在z域域中是复数卷积的关系（不是一般的卷积），即中是复数卷积的关系（不是一般的卷积），即信号处理基础信号处理基础7 7、单边、单边Z Z变换的特殊性质变换的特殊性质1 1）初值）初值定理：若

30、定理：若x(n)为为因果序列，则因果序列，则)(lim)0(zXxz0nnznxzX)()(证：321) 3() 2() 1 () 0(zxzxzxxz上式两边在上式两边在时取极限得：时取极限得：)(lim)0(zXxz信号处理基础信号处理基础2 2）终值定理：若终值定理：若x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(Z)在在Z=1处有处有一阶极点外，全部其它极点都在单位圆内，则一阶极点外，全部其它极点都在单位圆内，则)() 1(lim)(lim1zXznxzn)()()()(nxnxzXzzX1Z证：nkknzkxkxzXz1)()1(lim)()1(111lim(1)( )lim (1)( )

31、|nkzznkzX zx kx k zlim (0) 0 (1)(0) (2)(1) (1)( )nxxxxxx nx n lim (0)(0) (1)(1) (2)(2) (1)nxxxxxxx n)(lim) 1(limnxnxnn由于序列为因果序列，则由于序列为因果序列，则nnznxnx)() 1(信号处理基础信号处理基础5.6 5.6 逆逆Z Z变换变换CndzzzXjnx1)(21)()()(1zXnx Z在复变函数理论中逆在复变函数理论中逆z变换的定义公式为：变换的定义公式为：这是个围线积分，这是个围线积分，C表示收敛域内逆时针包围表示收敛域内逆时针包围z平面坐平面坐标原点的闭合曲

32、线。逆标原点的闭合曲线。逆z变换通常也可记为变换通常也可记为逆逆z变换一般采用以下介绍的三种方法求解。变换一般采用以下介绍的三种方法求解。信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础RezjImzz=aC信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础 -a-1z-a-2z2-a-3z-3-a-4z-4+ -a+z z z-a-1z2 a-1z2 a-1z2-a-2z-3 a-2z3 a-2z3 a-

33、3z4 a-3z4 信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础 3 + 32z-1 +32z-2+ z-1 3z - 37 3z 3 32 32- 32z-1 32z-1 32z-1 - 32z-2 32z-2 信号处理基础信号处理基础 617 + 125z -245z2+ 2+z 317 - 2z 317617z 65z 65z + 125z2 - 125z2 - 125z2 - 245z3 245z3 信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础信号处理基础2( )10.5zX zzz15 .0)

34、(21zAzAzzX11)()5 .0(5 .05 .01zzzzzzXzA25 . 0)() 1(112zzzzzzXzA5012.)(zzzzzX)()5 . 02()(nunxn例：已知例：已知解：解：1)当当 |z|1时，求时，求x(n)。2)当收敛域分别为：当收敛域分别为：|z|0.5和和0.5 |z|1，x(n)是因果序列，可得：是因果序列，可得：信号处理基础信号处理基础011( )()jNLjijijiB zA zX zAzdzczR若，()()LLzczcBXzz)()!1()1()2)(1()()()(110nucBjjnnnnudAnAnxnLjjNiniiiA式中式中的确

35、定方法与前相同，而的确定方法与前相同，而其他系数其他系数Bj可由待定系数法求出。可由待定系数法求出。对应的逆对应的逆z z变换为：变换为：)(zXc2）如果）如果除了除了N个个单阶极点外，还有一个单阶极点外，还有一个L阶的高阶阶的高阶，那么可以展开成部分分式：，那么可以展开成部分分式：极点极点信号处理基础信号处理基础MmmNnnmkfbnkyaN00)()(的的一一般般形形式式为为阶阶线线性性常常系系数数差差分分方方程程M0m1N0n00上式可简化为上式可简化为时，时，考虑到考虑到)()()(,)(zFzbzryzYzakfkmmnrrnn)()()()(1M0m1N0nmssmmnrrnnz

36、sfzFzbzryzYzazz变换位移特性得变换位移特性得变换，利用变换，利用将等式两边取单边将等式两边取单边1 1、差分方程的变换域求法、差分方程的变换域求法 5.7 5.7 系统分析系统分析信号处理基础信号处理基础NnnnNnnrrnnNnnnMmmmzazryzazFzazbzY00100)()()(将上式整理得将上式整理得)()()()(kykykykyzzizs变变换换。可可以以求求得得全全响响应应对对上上式式进进行行逆逆零零状状态态响响应应)(zYzs零零输输入入响响应应)(zYzi信号处理基础信号处理基础例：例：bzbzbzbzazazbabzbyzXzYbyzXzYbzzXzy

37、zYbzzY211) 1()()() 1()()(1 )()1()()(111)(2)(1)()(1111nubbabazYZnynnn完全解完全解里面已含有里面已含有初始条件初始条件?)()()()()()()(nyynuanxnxnbynyn211信号处理基础信号处理基础零零状状态态响响应应和和全全响响应应。求求系系统统的的零零输输入入响响应应、初初始始状状态态已已知知激激励励差差分分方方程程为为例例：若若描描述述离离散散系系统统的的,)(,)(),()()()()()(02112221121yykukfkfkykykyk)()()()()()()()()()()()()(zYzYzFzz

38、zzyzyzYzFyyzzYzyzYzzYzzszi212111212121112121122111212121121将将上上式式整整理理，得得得得变变换换解解：将将差差分分方方程程两两边边取取信号处理基础信号处理基础216113221112121211212121112102112211zzzzzzzzzzzzzzzzYzYyyzYzizizi)()()()()()()(,)()(表达式中得表达式中得代入代入将将求求21 1( )( 1)( ) ( )36 2kkziyku k 信号处理基础信号处理基础)()()()()()()()()()()()()()()()(),(),(),(kuky

39、kykykukyzzzzzzzzzzzzFzzzYzzzFkykyzYzYkkkzszikkkzszszszs29221181194298219119229821911922212121211122221全响应为全响应为故故，得，得代入零状态响应象函数代入零状态响应象函数将将及及同理可求同理可求信号处理基础信号处理基础011122)(,)()()()()(:yoykukykykyz已已知知的的解解变变换换法法求求差差分分方方程程用用例例0214314112114314111111112101101222211223200102kkkyzzzzzzzzBzzBzzAzzzzzzYzzzYzYzz

40、YzyyzzzYznyzYzznyzYzzknnnn)()()()()()()()()()()(,)()()()()()(故故代入上式，整理得代入上式，整理得将将变换，得变换，得解：将方程两边取解：将方程两边取信号处理基础信号处理基础2 2、系统函数、系统函数 )()()()()()()()()()mkxbkxbkxbNkyakyakyNzXzYzHmmN0101111一般形式为一般形式为阶离散系统的差分方程阶离散系统的差分方程描述描述定义定义)()()()()()()()()()()()()()()(,)(zXzHzXzDzNzXzazazbzbbzYzXzbzbbzYzazazNNyyyk

41、xkkxNNmmmmmmNN0110110110111102100由由上上式式可可得得变变换换，得得取取两两边边阶阶离离散散系系统统的的差差分分方方程程。对对下下，。同同时时，在在零零状状态态情情况况时时为为因因果果序序列列，即即若若信号处理基础信号处理基础)()()()()()()()(zXzHZkyzDzHzDzNzH10对上式求逆变换可得对上式求逆变换可得程，其根称为特征根。程，其根称为特征根。称为离散系统的特征方称为离散系统的特征方仅由系统的特性所决定仅由系统的特性所决定其中其中)()()()()()()()()zXzHzYkhkxkxkhkyzszs再再由由时时域域卷卷积积定定理理，

42、得得知知道道由由第第二二章章的的学学习习，我我们们数数单单位位样样值值响响应应与与系系统统函函2)()(21)()()()()()(1)(,)(11zHZkhkhkhZzHzHZkykhzXkzs、转换为求零输入响应的求解方法和时当输入为信号处理基础信号处理基础)()()()()()(LTIkhkfkfkykyky求系统的单位样值响应因果系统的差分方程为例：描述某12261161)()()()()(zFzzFzYzzYzzYzzszszs12126161变变换换，得得为为零零，对对方方程程两两边边取取解解：设设系系统统的的初初始始状状态态)()()()()()()(kukhzzzzzzzzzz

43、zzFzYzHkkzs31221331221361612616112122211故单位样值响应为由上式可得信号处理基础信号处理基础)()()()()()(LTI1261165kfkfkykykykh和单位阶跃响应。应值响因果离散系统的单位样描述的例：求下列差分方程所211616511zzzzHzH)()(解：求系统函数)()()()()(kukhzHkk213314逆变换得求1zzzHzFzHzYzYnuzszs)()()()()()(时的零状态响应求输入为)()()()()(kukyzYkkzs213312逆变换求信号处理基础信号处理基础3 3、Z Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变

44、换的关系 sTze复变量复变量z和和s有下列关系：有下列关系：sjsTze将将代入代入得得jTTj Tjzeeez eTezT其中其中信号处理基础信号处理基础TezezeeeezTjTjTTjsT,)(由此得出由此得出s平面和平面和Z平面的映射关系：平面的映射关系：0,sj1）s平面的虚轴平面的虚轴映射为映射为Z平面上的单位圆平面上的单位圆02 2）左半）左半s s平面平面（）映射为）映射为Z Z平面上单位圆内的部分平面上单位圆内的部分03 3）右半）右半s s平面（平面（）映射为）映射为Z Z平面上单位圆外的部分平面上单位圆外的部分);(1z);(1z。)(1z信号处理基础信号处理基础4 4

45、、系统的因果稳定性、系统的因果稳定性1）因果性）因果性 由因果系统的时域条件由因果系统的时域条件n0，h(n)=0及及H(z)的定义，的定义，可知因果系统的可知因果系统的H(z)只有只有z的负幂项，其收敛区为的负幂项，其收敛区为RH-|z|。因此收敛区包含无穷时，必为因果系统。因此收敛区包含无穷时，必为因果系统。 信号处理基础信号处理基础2）稳定性）稳定性 由系统稳定的时域条件由系统稳定的时域条件 ，可知系统的傅氏变换存，可知系统的傅氏变换存在，在，H(z)收敛区必定包含单位圆。因此当收敛区必定包含单位圆。因此当H(z)的收敛域包含单位的收敛域包含单位圆时，为稳定系统。圆时，为稳定系统。 与连续时间系统当虚轴上有一阶极点时，定义系统为临界稳与连续时间系统当虚轴上有一阶极点时，定义系统为临界稳定的情况类似，当定的情况类似，当H(z)的单位圆上有一阶极点时