高频线路第二章-3

1、1n孤立导体的电容孤立导体的电容n两个导体间的电容两个导体间的电容n多导体间的电容多导体间的电容部分电容部分电容平行板电容平行板电容；同轴电容同轴电容；球型电容球型电容。 电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。2孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与导体孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与导体所带电量无关。所带电量无关。qC 孤立导体可将无穷远处零电位参考面作为系统一部分（双孤立导体可将无穷远处零电位参考面作为系统一部分（双导体电容的特例）导体电容的特例）, 导体的电位与电量成正比导体的电位与电量成正比 。 半径为

2、半径为a的导体球的电位：的导体球的电位： 定义定义孤立导体的电容为孤立导体的电容为：单位为单位为法拉法拉（F）。）。4qa导体球的电容：导体球的电容：aC 43n当线性介质中有两个当线性介质中有两个带等量异号电荷带等量异号电荷的导体时，两个导体的导体时，两个导体间的电位差与导体的带电量成正比。间的电位差与导体的带电量成正比。VqC 两个导体间的电容仅与导体的几何形状相对位两个导体间的电容仅与导体的几何形状相对位置和周围介质有关，与导体所带电量无关。置和周围介质有关，与导体所带电量无关。定义这两个导体间的电容为定义这两个导体间的电容为：4例例1：计算图示：计算图示平行板电容器的电容平行板电容器的

3、电容。解：解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电力线为平行的直线。力线为平行的直线。 211d2d1E2EV122121ddVSqs122121ddVE1111EDns122121ddV122121ddSVqC122112ddVE11221122E dE dVEE5解：解：设内导体带电设内导体带电q，根据高斯定理有：，根据高斯定理有：例例2：计算：计算同轴电容器的电容同轴电容器的电容。已知内外导体的半径分。已知内外导体的半径分别为别为a和和b，长度为，长度为L，它们之间介质的介电常数为，它们之间介质的介电常数为 。 2LqE baVE da

4、bLqln2abLVqCln2abL6解：导体球为等位体，带电量为解：导体球为等位体，带电量为q，电荷均匀分布在球面：，电荷均匀分布在球面：例例3：半径为：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为的导体球，球外包一层厚度为b，介，介电常数为电常数为 的介质，求的介质，求导体球与介质外界面的电容导体球与介质外界面的电容。barrqrrqE44202barabara baVE dl11()4qaab()4qa abCVb7n多导体系统间，多导体系统间，任何一个导体的电位都受到其余多任何一个导体的电位都受到其余多个导体电荷的影响个导体电荷的影响，其，其相互耦合相互耦合用用部分电容部分电容表示。表示。1n

5、孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的带电量均成线性关系。带电量均成线性关系。1112121111nnqqq取取 01n)(211nnqqqqn 设线性介质中有设线性介质中有 个带电导体，个带电导体， 总带电量为总带电量为0，它，它们的电位们的电位仅取决于它们中每个导体的带电量仅取决于它们中每个导体的带电量，而与它们之，而与它们之外的导体无关。该系统叫外的导体无关。该系统叫孤立带电系统孤立带电系统。81nkskssq 带电量与电位之间的关系为带电量与电位之间的关系为sk为电容系数（当为电容系数（当 时为自电容系数；当时为自电容系数；当 时，

6、时，称为互电容系数）称为互电容系数）sksk-111()()knkkskskkkksksss kqCCC ksC为部分电容（当为部分电容（当 时称为自部分电容，是导体时称为自部分电容，是导体k与地之间的部分电容；当与地之间的部分电容；当 时称为互部分电容）时称为互部分电容）sksk9kkC值为全部导体的电位都为一个单位时，第值为全部导体的电位都为一个单位时，第k个导体上个导体上的总电荷量值；的总电荷量值；ksC为第为第s个导体上的电位为一个单位，而其余导体都接个导体上的电位为一个单位，而其余导体都接地时，第地时，第k个导体上感应电荷的大小；个导体上感应电荷的大小；所有的所有的 0ksC ，即部

7、分电容具有对称性。，即部分电容具有对称性。ksCskC部分电容有以下特点：部分电容有以下特点：102-8 2-8 静电能量与力静电能量与力 一、一、 静电能量静电能量 将点电荷将点电荷q从无限远从无限远处处移到电位为移到电位为的位置的位置r处（设移动路径沿电场相反处（设移动路径沿电场相反方向），外力所做的功方向），外力所做的功：1q2q3qnqddrrWqqrqr E r 设静电系统从零开始被充电，最终电荷密度为设静电系统从零开始被充电，最终电荷密度为 。电荷密度按照比例因子电荷密度按照比例因子 （从（从0到到1）逐渐形成）逐渐形成。 在某一时刻的电荷密度为在某一时刻的电荷密度为 时，其电位为

8、时，其电位为 。n对于整个空间，外电源需要做的功，即系统增加的对于整个空间，外电源需要做的功，即系统增加的电场能量为电场能量为11(d)dVn将元电荷将元电荷 送入电位送入电位 处外电源做的功为处外电源做的功为(d)dVed(d)dVWV充电完成后，系统的总能量为充电完成后，系统的总能量为1e01ddd2VVWVV N个点电荷构成的系统个点电荷构成的系统:e1111d22NNiiiViiWVq12带电体的静电能带电体的静电能12eVWdV 12eSWdS 12eLWdl e为电荷的体密度为电荷的体密度e为电荷的面密度为电荷的面密度e为电荷的线密度为电荷的线密度13二、二、 静电能量的分布及能量

9、密度静电能量的分布及能量密度e1Dd2VWVe1d2VWV参考矢量恒等式：参考矢量恒等式：D( D)D e111()d()d()d222VVVWVVVDDDD E第一项应用散度定理，对第二项应用第一项应用散度定理，对第二项应用e11dd22SVWVDSD E 1r21Dr2d,Sr因为因为e1d2VWVD E故故12eeVVWdVw dVD E（焦耳）（焦耳）静电能量静电能量J21122ewED E 能量密度能量密度3mJ：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论结论各向同性的线性媒质中各向同性的线性媒质中22e1122DE15例例1 1 试求真空中体

10、电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 的的介质球产生的静电能量。介质球产生的静电能量。a201122eVVWD EdVE dV22262202240001(44)299aarar drr drrarr3aar3r2030E520a154应用高斯定理，得应用高斯定理，得 16例例2-162-16 平板电容器极板间距平板电容器极板间距d d, ,面积为面积为S S，填充，填充介质介电常数介质介电常数。若两极板间电位差为。若两极板间电位差为U U，并忽，并忽略极板边缘效应，试计算该电容器内的静电场略极板边缘效应，试计算该电容器内的静电场总能量。总能量。17三、三、 静电力静电力1. 1

11、. 由电场强度由电场强度E的定义求静电力的定义求静电力，即，即qfE ddqfE dqfE 2. 2. 由虚功原理求静电力由虚功原理求静电力，即，即ddeFxW ddeWFx n虚位移法：由虚位移法：由N个导体组成的系统，假设第个导体组成的系统，假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力F的作用下发生了虚位移的作用下发生了虚位移dx，则电场，则电场力做功为力做功为dAFdx，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，系统的功能关系根据能量守恒定律，系统的功能关系:18edddWF xWn可见，外电压源向系统提供的能量有可见，外电压源向系统提供的能量有一半一半用于静电

12、用于静电系统能量的增加系统能量的增加; 另一半另一半则用于电场力做功。则用于电场力做功。n故电场力做功故电场力做功等于等于静电能量的增加静电能量的增加:19eddF xW常量电场力为电场力为:eWFx常量1. 各带电导体的各带电导体的电位不变电位不变外电压源向系统提供的能量外电压源向系统提供的能量:系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量:11dd()dNNiiiiiiWqqe11dd2NiiiWq此时，此时，所有带电体都所有带电体都和外电源相连接和外电源相连接，则则2. 各带电导体的各带电导体的电荷不变电荷不变20此时，此时，所有带电体都所有带电体都不和外电源相连接不和外电源相连接，则，则d

13、W0第第i个带电导体发生虚位移个带电导体发生虚位移dx时时eddqF xW 常量故电场力为故电场力为eWFx 常量212-9 恒定电场恒定电场n1 电流和电流密度电流和电流密度n2 恒定电场方程恒定电场方程n3 恒定电场边界条件恒定电场边界条件n4 恒定电场和静电场恒定电场和静电场22J导体中的恒定电场分析导体中的恒定电场分析在静电场中的在静电场中的导体，导体，内部无恒定电流，内部无恒定电流，导体导体表面产生表面产生感应电荷，感应电荷激发的感应电场抵消原电场，内感应电荷，感应电荷激发的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。部总电场为零。若连接外部电源，导体内部出现恒定电流，若连接外部电源，导体内

14、部出现恒定电流，导体导体表面表面的感应电荷激发的感应电场无法抵消原电场，内部电的感应电荷激发的感应电场无法抵消原电场，内部电场不为零，这种由恒定电流引发的电场称为场不为零，这种由恒定电流引发的电场称为恒定电场恒定电场。EE230limtqdqItdt 1. 电流强度电流强度：单位时间流过某：单位时间流过某横截面的电荷量。安培（横截面的电荷量。安培（A）2 电流密度电流密度：描述电流的空间分布。：描述电流的空间分布。单位时间内垂直穿过的单位单位时间内垂直穿过的单位面积的电量。安面积的电量。安/米米2（A/m2）SIJ dS 电流强度是电流密度的通量：电流强度是电流密度的通量：00/limlims

15、tqtJnS 电流密度：体电流密度矢量电流密度：体电流密度矢量J（单位（单位 A/m2）、面电流密度）、面电流密度Js（单位（单位 A/m），线电流密度等情况。），线电流密度等情况。 电流电流：电荷的定向移动形成电流，方向为正电荷运动的方：电荷的定向移动形成电流，方向为正电荷运动的方向。向。 一、一、 电流和电流密度电流和电流密度24n体电流密度矢量体电流密度矢量J 为垂直穿过单位面积的电流。为垂直穿过单位面积的电流。 数值为数值为 A/m2，方向为电流的方向。，方向为电流的方向。通过任意曲面的电流为：通过任意曲面的电流为： ddIJSJdSdSIJS体电流密度体电流密度线电流密度线电流密度:

16、 : 即是线电流本身。即是线电流本身。 25n面电流密度矢量面电流密度矢量Js（单位（单位 A/m）为为垂直穿过垂直穿过单位单位线段的电流。线段的电流。 面电流密度面电流密度ddsIJl数值为数值为 A/m，方向为电流的方向。，方向为电流的方向。 SJ通过任意曲线通过任意曲线l 的电流的电流的电流为的电流为 dSSI Jl263 欧姆定律欧姆定律ESJSlSIElU 欧姆定理的推导：欧姆定理的推导：SlIIRSdJIS欧姆定理微分式：欧姆定理微分式：导体任一点上电流密度与电场强度成正比。导体任一点上电流密度与电场强度成正比。 是媒质的是媒质的电导率电导率，单位，单位 1/欧欧.米米 描述媒质的

17、导电特性，理想导体描述媒质的导电特性，理想导体为趋于无穷大。为趋于无穷大。lSJE电阻率电阻率（实验表明）EJ)(1mEJIRU 27n电流密度与电荷平均速度的关系：电流密度与电荷平均速度的关系：vJdt时间内流过时间内流过S面的电量及电流分别为：面的电量及电流分别为：dtvSdqvSI dtvSvJ28二、二、 恒定电场方程恒定电场方程1 电流连续性方程电流连续性方程2 基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律291 电流连续性方程：电流连续性方程： tqSdJSdVJSdJVS0)(VdVtJ0tJ0tdVtV对于恒定电流场，电荷的空间分布不随时间变化对于恒定电流场，电荷的空间分布不随时间变化:0

18、SSdJ 电流连续性方程：电流连续性方程：电荷守恒定理电荷守恒定理：在单位时间从任意闭和曲面流出的电：在单位时间从任意闭和曲面流出的电量等于此闭和曲面包围体积中电荷的减少量。量等于此闭和曲面包围体积中电荷的减少量。电流连续性方程：电流连续性方程：恒定电场恒定电场没有散度源没有散度源，其电流必须在回路里流动，自行闭合。，其电流必须在回路里流动，自行闭合。0 J30 2 基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电流定律：设电路中一节点为设电路中一节点为a，在它，在它周围作一个小的闭和曲面：周围作一个小的闭和曲面：0SdJSa1J2J3J0332211321SdJSdJSdJSSS0321III313. 导电媒质

19、中的恒定电场导电媒质中的恒定电场恒定电流连续性方程的微分形式恒定电流连续性方程的微分形式 0 J0EEE 0 均匀媒质：0 E在均匀导体内部虽然有恒定电流在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有恒定电荷但没有恒定电荷, 恒定电荷恒定电荷（静电荷静电荷）只能分布在导体的表面上。）只能分布在导体的表面上。（1） 均匀导电媒质中恒定电场的均匀导电媒质中恒定电场的无散性无散性32（2） 恒定电场的恒定电场的无旋性无旋性在导体内部电荷分布保持动态恒定在导体内部电荷分布保持动态恒定, 电场分布也为恒定。电场分布也为恒定。 不变不变电荷产生稳恒场，所以恒定电场与静电场相同。电荷产生稳恒场，所以恒定电场与静电场相同。0E恒定电场也是位场。恒定电场也是位场。这个特性只在电源外的导体中满足。这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部在电源内部, 不仅有电荷产生的电场（不仅有电荷产生的电场（库仑场）库仑场）, 还有其它局外还有其它局外电场（非静电力（如化学力），电场（非静电力（如化学力），非库仑场非库仑场) ) 。 lldE033(3) 均匀介质中恒定电场的电位均匀介质中恒定电场的电位在电源外的导体内：0, 0EJEJ0)(2E电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方