第10章 压杆稳定教学课件

1、第10章 压杆稳定压杆稳定性的概念10.1细长压杆的临界力欧拉公式10.2压杆的临界应力10.3压杆的稳定计算10.410.1 压杆稳定性的概念对于拉杆和短粗的压杆，当杆件横截面上的应力超过材料的抗拉、抗压极限应力时，就会发生破坏。这类杆件的破坏属强度问题。但对于细长压杆，在杆内的应力远未达到材料的抗压极限应力时，其直线的平衡形式就可能突然转变为弯曲形式，从而丧失承载能力而发生破坏。这类杆件的破坏属稳定问题。细长压杆，由于不能保持原有直线形状的平衡而突然发生弯曲破坏的现象，称为压杆的失稳或屈曲。稳定问题与前面研究过的强度、刚度问题一样，对杆件的设计是十分重要的，由于钢材强度高，在钢结构设计中更

2、要重视稳定问题。10.1 压杆稳定性的概念压杆的稳定，实质上是指受压杆件保持其原有直线平衡状态的稳定性。“稳定”和“不稳定”是针对物体的平衡性质而言的，一个小球可能处于的三种平衡状态如图所示。随遇平衡状态介于稳定与不稳定平衡状态之间也称为临界状态。10.1 压杆稳定性的概念当FFcr :加干扰，变为弯曲，扰动除去， 继续偏移、弯折，原直线平衡是不稳定的。当F=Fcr :加干扰变为弯曲平衡，扰动除去， 仍在微弯状态下平衡，则称临界平衡状态。10.1 压杆稳定性的概念 当FFcr 时，压杆处于不稳定平衡。丧失其直线形式的 平衡，称为失稳。 临界力是使压杆失稳的最小荷载，是使压杆保持直线平衡形式的最

3、大荷载。 压杆失稳后，改变了杆件的受力性质，弯曲变形明显增大,这时压杆丧失了承载能力，不能正常地工作。为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆正常工作时的荷载必须小于临界力（临界荷载）。10.2 细长压杆的临界力欧拉公式10.2.1 两端铰支理想压杆的临界力按照临界力作用下，压杆能在微弯状态下平衡这一概念，来导出求临界力的欧拉公式。截面弯矩：杆的挠曲线近似微分方程为令二阶常系数线性微分方程通解为12sincosvCkxCkxvFxMcr)(EIvFEIxMvcr )(EIFkcr202 vkv10.2 细长压杆的临界力欧拉公式边界条件 x=0，v=0 和 x=l，v=0

4、，确定待定系数C1 、 C2当 x=0，v=0 得 C2 =0。当 x=l，v=0得到1sin0Ckl 注意C2=0 ，C1不可能再等于零，否则v 0由此可知，必须sin0kl 0, 2kl，在kl0的最小解 kl 相应于最小的临界力2 222crFk llEI2cr2 EIFl两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式1sinxvCl两端铰支压杆的挠曲线为半波正弦曲线。10.2 细长压杆的临界力欧拉公式10.2.2 其他杆端约束下理想压杆的临界力前面推导了两端铰支理想压杆的临界力计算公式。对其它杆端约束下的压杆，由于支承形式不同，对杆件的变形有不同的约束作用，其挠曲线形状不同，临界力也不相同。其它杆端

5、约束下压杆临界力的推导方法与两端铰支压杆相同，不再一一推导。四种常见杆端约束下理想压杆的临界力及相关内容列于表10.1中，以便查阅。10.2 细长压杆的临界力欧拉公式10.2 细长压杆的临界力欧拉公式从表10.1可以看出，当材料、杆长和截面形状、尺寸一定时，理想压杆的临界力与杆端约束有关，杆端约束越强，临界力越大；各种支承情况下的临界力计算公式形式相似，只是分母中 前面的系数不同，因此其统一形式可写为22220()( )crEIEIFll式中的称为长度系数，反映了不同的杆端支承对临界力的影响，其值见表10.1；l0称为压杆的计算长度， l0= l。l10.3 压杆的临界应力欧拉公式适用于应力不

6、超过材料的比例极限p的情况。 细长压杆在临界状态可维持直线形式的平衡22cr22222cr()FEEIilAAlE 为压杆失稳时横截面对某一形心主惯性轴的惯性半径； =l /i 称为压杆的长细比或柔度，它反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的综合影响。/iIA临界应力10.3.1 临界应力和柔度10.3 压杆的临界应力10.3.2 欧拉公式的适用范围p22crEP2p= E或写作： 欧拉公式是由挠曲线微分方程推出来的，所以欧拉公式只可在crp的条件下使用，即 P 能使用欧拉公式的压杆的最小柔度，临界柔度。 不同的材料，不同的材料，P也不同。也不同。对于对于Q235钢，钢， E2

7、06 GPa，p=200MPa，有，有229p6p206 10100200 10E欧拉公式的适用条件 p的压杆（用欧拉公式求临界力），称为大柔度杆或细长压杆，压杆发生弹性失稳； p的压杆（不能使用欧拉公式），称为中小柔度杆或中长压杆、短粗杆，发生弹塑性失稳或强度破坏。10.3 压杆的临界应力10.3.3 临界应力总图 a、b是与材料有关的常数，由试验测定，其量纲同应力。当cr=s 或b时，其相应的柔度0为中长杆柔度的下限。 又称中柔度杆，失稳时，横截面上的应力比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线型经验公式：crab0P 中长杆0P0()sbab 0

8、62Q235钢，有10.3 压杆的临界应力将发生强度破坏。s短粗杆crsb()或小柔度杆：同一种材料制成的压杆，根据柔度可将压杆分为三类：大柔度压杆或细长压杆（ p）中柔度压杆或中长压杆（0 p）小柔度压杆或短粗压杆（ 0）22crcr22,()EEIFl,crcrcrabFA(),crsbcrcrFA或临界应力总图：临界应力与柔度的关系曲线。 短粗杆的临界应力与柔度无关； 细长压杆、中长压杆越细长越容易失稳。中长短粗细长10.3 压杆的临界应力【例10.1】如图所示圆钢压杆，由Q235钢制成，已知杆长l=2m，直径d=100mm。已知钢材的弹性模量E=200GPa，试计算此压杆的临界力。【解

9、】：查表得Q235钢的=100。该压杆为圆截面杆件，圆截面杆件对其任一形心轴的惯性半径均相同，其值为42d100mm6425mm444IdiAd压杆一端固定一端自由，其长度系数=2。故压杆的柔度为32 2 1016010025plmmimm 该压杆属大柔度杆，其临界力采用欧拉公式计算3429222(100 10)200 10 Pa64605kN()(2 2m)crmEIFl10.3 压杆的临界应力【例10.2】矩形截面钢压杆由Q235钢制成，如图所示。已知压杆长度l=6m，截面为bh=40mm90mm，弹性模量E=200GPa。计算此压杆的临界应力。【解】：查表得Q235钢的p=100。截面对

10、y轴、z轴的惯性半径分别为压杆一端固定一端铰接，其长度系数=0.7，故该压杆属大柔度杆，其临界力采用欧拉公式计算40mm11.55mm2 32 3yyIbiA90mm25.98mm2 32 3zzIhiA30.7212110011.55 10ypylmim22922200 10 Pa135MPa121cryE10.4 压杆的稳定计算10.4.1 压杆的稳定条件当压杆中的应力达到临界应力cr时，压杆将丧失稳定。为了保证压杆能安全工作，压杆应满足的稳定条件为 NcrststFAn式中：st为稳定许用应力；nst为稳定安全系数。若令 st NFA上式为压杆稳定条件的实用计算式。式中为压杆材料的许用压

11、应力；称为稳定系数，当材料一定时，由于临界应力cr和稳定安全系数nst均随变化，所以是的函数；式中A为压杆的横截面面积，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳确定的，所以在稳定计算中，A按杆件的毛截面面积计算，不考虑钉孔等对截面局部削弱的影响。10.4 压杆的稳定计算钢结构中的轴心受压构件除了短粗杆或截面有较大削弱的杆有可能发生强度破坏外，一般情况下均是整体失稳破坏。国内外因压杆突然失稳导致结构物倒塌的重大事故屡有发生，并且往往是在其强度有足够保证的情况下突然失去整体稳定，故须特别加以重视。我国钢结构设计规范根据国内常用轴心受压构件的截面形式、尺寸以及加工条件等，将截面分为a、b、c、d四种类型，

12、并考虑钢材品种和压杆柔度，以表格的形式给出了压杆稳定系数，表10.3、10.4为部分值。我国木结构设计规范按照树种的强度等级规定了稳定系数值的计算公式：TC17、TC15和TB20级：75211807523000TC13、TC11和TB17及TB15级：9121165912280010.4 压杆的稳定计算10.4 压杆的稳定计算10.4 压杆的稳定计算【例10.3】如图所示三角架中，BC为圆截面钢杆（Q235钢a类），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的许用应力=160MPa。试：校核BC杆的稳定性；从BC杆的稳定考虑，求结构所能承受的最大荷载F1max；从BC杆的强度考虑，求结

13、构所能承受的最大荷载F2max，并与F1max比较。【解】：1. 校核BC杆的稳定性计算BC杆的受力0yF 0sin450NBCFF049.5kNsin45NBCFF计算杆的柔度0.04m0.01m44IdiABC杆为两端铰支压杆1 12 1m141.40.01mli查表10.3得0.376 10.4 压杆的稳定计算【例10.3】如图所示三角架中，BC为圆截面钢杆（Q235钢a类），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的许用应力=160MPa。试：校核BC杆的稳定性；从BC杆的稳定考虑，求结构所能承受的最大荷载F1max；从BC杆的强度考虑，求结构所能承受的最大荷载F2max，并与

14、F1max比较。【解】：（3） 校核BC杆的稳定性BC杆的横截面面积 BC杆的稳定性满足要求。10.4 压杆的稳定计算【例10.3】如图所示三角架中，BC为圆截面钢杆（Q235钢a类），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的许用应力=160MPa。试：校核BC杆的稳定性；从BC杆的稳定考虑，求结构所能承受的最大荷载F1max；从BC杆的强度考虑，求结构所能承受的最大荷载F2max，并与F1max比较。【解】：2. 按BC杆的稳定条件，求结构所能承受的最大荷载F1max ,max3260.376 1.26 10 m160 10 Pa75.8kNNBCFA001max,maxsin45

15、75.8kN sin4553.6kNNBCFF10.4 压杆的稳定计算【例10.3】如图所示三角架中，BC为圆截面钢杆（Q235钢a类），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的许用应力=160MPa。试：校核BC杆的稳定性；从BC杆的稳定考虑，求结构所能承受的最大荷载F1max；从BC杆的强度考虑，求结构所能承受的最大荷载F2max，并与F1max比较。【解】：3. 按BC杆的强度条件，求结构所能承受的最大荷载F2max ,max3261.26 10 m160 10 Pa201.6kNNBCFA02max,max0sin45201.6kN sin45142.6kNNBCFFF1ma

16、x与F2max比较可知，BC杆的稳定承载力比强度承载力小的多，忽略压杆的稳定问题将是十分危险的。10.4 压杆的稳定计算10.4.2 提高压杆稳定性的措施选择合理的截面形式在截面面积相同的情况下，应尽可能将材料布置在远离中性轴的地方，以提高惯性矩I的值，增大惯性半径i，从而减小压杆的柔度，提高压杆的临界应力。例如，采用空心圆截面比用实心圆截面合理；四根角钢分散布置在截面的四角比集中布置在截面形心附近合理。10.4 压杆的稳定计算(2)减小压杆的长度柔度与杆长l成正比，为减小柔度，提高临界应力，应尽可能减小压杆的长度l。如可在压杆中点增设支座，使其计算长度减为原来的一半，这时临界应力为原来的4倍

17、。10.4 压杆的稳定计算加强杆端约束杆端约束越强，压杆长度系数越小，柔度越小，临界应力越大，所以应尽可能加强杆端约束。如将两端铰支的压杆改为两端固定时，其计算长度会减少一半，临界应力为原来的4倍。应该指出，临界应力也与材料的性能有关。对细长杆，由欧拉公式可知，临界应力与材料的弹性模量E成正比，但对同类材料，如钢材，由于各种钢材的弹性模量E大致相同，所以采用高强度钢材并不能有效提高压杆的临界应力，因此为提高压杆稳定性而采用价格较高的高强度钢材是不合适的；对中长杆和短粗杆，由于临界应力与材料强度有关，选用强度较高的优质材料可以明显提高压杆的临界应力。p 本章小结 受压杆件的稳定问题，在结构设计中占有重要的地位。压杆稳定是指压杆能保持其原有直线平衡形式的稳定性。压杆失稳是指压杆不能保持原有直线平衡形式的稳定而发生弯曲破坏。压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力界限值，称为临界力。 细长压杆失稳时，横截面上的应力远小于材料的强度极限应力。因此，仅按强度要求设计压杆是十分危险的。 计算临界力Fcr和临界应力cr的欧拉公式分别为 只有对大柔度杆（细长杆），即 P的杆，才能应用欧拉公式