计算机控制系统 稳定性分析

1、复习：复习：1.Z传递函数的串联传递函数的串联 (掌握掌握)“开关隔开分别开关隔开分别Z，没有开关乘后，没有开关乘后Z” ( ()()(12zGzG, ,)(21zGG) ) 2.闭环闭环Z传递函数传递函数Gc(z)与输出与输出Y(z) (掌握掌握)3.离散系统的动态特性离散系统的动态特性 (掌握掌握)(kTy= =)(1zYZ= =)()(1zRzGZc 第第5 5章章 计算机控制系统特性分析计算机控制系统特性分析稳定性分析稳定性分析稳态误差稳态误差动态响应分析动态响应分析5.1计算机控制系统的稳定性分析计算机控制系统的稳定性分析 回顾：连续系统的稳定性回顾：连续系统的稳定性 所有特征根均具

2、有负实部；所有特征根均具有负实部；s平面左半部平面左半部 问题：离散系统的稳定性条件？问题：离散系统的稳定性条件？ 二二.s平面到平面到z平面的映射平面的映射 （理解）（理解）1.1.数学关系数学关系 Tsez jsTjTeezz的模的模TezTz z的相角 s22.映射关系映射关系 (1) 虚轴虚轴 单位圆周单位圆周r=1 0,(2)左半平面左半平面 单位圆内单位圆内r1 0,Tez1 TjTeez(4)左半平面上的竖直线左半平面上的竖直线 单位圆内的圆周单位圆内的圆周 SZ说明说明10 ezTez1(5)右半平面上的竖直线右半平面上的竖直线 单位圆外的圆周单位圆外的圆周 (6)平行于实轴的

3、直线（等频率线）平行于实轴的直线（等频率线）=c （Z平面的等幅角线）平面的等幅角线）:幅角幅角z=cT 从原点出发的射线从原点出发的射线特别地：Tsc2zTsc2zeg:在s平面上有三个点，分别是s1=-1，s2=-1+j10，s3=-1-j10，若s=10，试求它们在z平面上的点。 s平面上频率相差采样频率平面上频率相差采样频率s整数倍的所有点，映射到整数倍的所有点，映射到z平面上同一点。平面上同一点。 在在s平面虚轴上从平面虚轴上从-变化到变化到+时，时，z平面上相角将转无穷平面上相角将转无穷多圈。即每当多圈。即每当变化一个变化一个s时，时，z平面相角转了一周。平面相角转了一周。533.

4、 0628. 01eezT628. 052ST21021001020210210102Tzs平面上的主频区与辅频区的映射平面上的主频区与辅频区的映射vs平面上被分成了许多平行带子，其宽度为平面上被分成了许多平行带子，其宽度为s 。v 的带子（的带子（任意变化）称为主任意变化）称为主频区。其余部分，均称为辅频区。频区。其余部分，均称为辅频区。v主带映射为整个主带映射为整个z平面，而其余每一个旁带也都重平面，而其余每一个旁带也都重叠映射在整个叠映射在整个z平面上。平面上。 ss/ 2/ 2主频区主频区辅频区辅频区主频区映射主频区映射 辅频区映射辅频区映射 Tzs2vs平面的点沿主频区左半平面的周边

5、走平面的点沿主频区左半平面的周边走1圈时，圈时，其映射关系可用图其映射关系可用图5.1表示表示.vs平面的点沿主带右平面的周边走平面的点沿主带右平面的周边走1圈时，其映圈时，其映射关系可用下图表示。射关系可用下图表示。 TezTzs2三、线性离散系统的稳定条件三、线性离散系统的稳定条件 （掌握）（掌握）充要条件：充要条件：系统系统Z传递函数的全部极点，都分布在传递函数的全部极点，都分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内。平面上以原点为圆心的单位圆内。即，即，它们的模都小于它们的模都小于1注意：注意：是模，不是实部和虚部分别小于是模，不是实部和虚部分别小于1。说明：说明：设闭环系统的输出设闭环系统

6、的输出Y(z)没有重极点没有重极点。 离散系统的脉冲传递函数为离散系统的脉冲传递函数为10111011( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbC zG zR za za zaza( )1R z 若系统输入为若系统输入为函数（代表瞬时扰动），函数（代表瞬时扰动），系统输出为，系统输出为1212( )nnA zA zA zC zzpzpzp反变换后得反变换后得11221( )nkkkknniiic kA pA pA pA p1lim ( )lim0nkiikkic kA pk 根据系统稳定性定义，如果系统的根据系统稳定性定义，如果系统的函数响应函数响应c(k)，在，在时衰减为零，即时衰

7、减为零，即 则离散系统是稳定的。为此，要求每一个分量则离散系统是稳定的。为此，要求每一个分量都要衰减为零，即都要衰减为零，即lim0kiikA p| 11, 2,ipin例： T=1秒，秒， 判断稳定性判断稳定性。 )(sR) 1(5ss解：解：)(zGZ) 1(5ss Z155ss=)(zGc=)(1)(zGzG= 368. 0792. 116. 32zzz 特征方程：特征方程： 0368. 0792. 12zz特征根：特征根：p1=-0.237, p2=-1.555 不稳定不稳定 如果，T=0.1秒不稳定吗不稳定吗？Tezzzz1515368. 0368. 116. 32zzz 四四. 系

8、统稳定性判别方法系统稳定性判别方法 （掌握）（掌握） 1劳斯判据劳斯判据： （1）双线性变换）双线性变换令wwz11，则 11zzw z、w 均均为为复复数数,设设jyxz jvuw jvu =11jyxjyx=2222) 1(1yxyxj22) 1(2yxy + +122 yx，Z平面单位圆内；Rewu 0，W的右半平面。(2)劳斯判据的表述劳斯判据的表述 稳定的充要条件是稳定的充要条件是w劳斯表劳斯表第一列元素均为正。第一列元素均为正。 劳斯表？jvu =11jyxjyx=2222) 1(1yxyxj22) 1(2yxy + +例例：确定图示系统的稳定性条件。：确定图示系统的稳定性条件。)

9、(sR)(sY)(zY) 1(1sTsK 被控对象的被控对象的Z传递函数传递函数 闭环传函：闭环传函： )(zGc=)(1)(zGzG=特征方程：特征方程： )(zA=mmmKzz)1 ()1 (2 )(1()1 (mzzzmK )(zG=Z) 1(1sTsK=)(1()1 (11TTTTezzzeK=mmmKzzzmK)1 ()1 ()1 (2 作 W 变换：wwz11 )(wA0)1 ()1 (2)1 ()1 (22mKwmwmKm 稳定条件：稳定条件： 0)1 ()1 (2mKm，mmK112 0)1 ( mK，01 m（m=11TTe） 稳定条件：1120K1TTe 1TTe讨论：讨论

10、：(1)离散系统中，稳定的二阶系统的增益取值与离散系统中，稳定的二阶系统的增益取值与 采样周期有关采样周期有关:当1TT ，01TTe，2K 当1TT ，11TTe，K当采样周期比系统时间常数小得多时，当采样周期比系统时间常数小得多时， 离散系统离散系统还原成连续系统还原成连续系统； （2）减小采样周期，有利于系统稳定。）减小采样周期，有利于系统稳定。 2. 舒尔科恩判据舒尔科恩判据 322130)(azazazazA3z 0a 1a 2a 3a 3a 2a 1a 0a 2b 1b 0b 1z 022000bbbbbc1c 0c 0z 011000cccccd 032011aaaaab0310

11、22aaaaab2z 033000aaaaab021011bbbbbc（理解）（理解）判据判据：舒尔科恩表中第一列舒尔科恩表中第一列单数行单数行各元素为正。各元素为正。 例：例：A(z) =z3+0.7z2+0.5z-0.3z3 1 0.7 0.5 -0.3 -0.3 0.5 0.7 1z2 0.91 0.85 0.71 0.71 0.85 0.91z1 0.356 0.187 0.187 0.356 z0 0.2583.二阶系统的稳定性判据二阶系统的稳定性判据 0) 1(0) 1 (1)0(AAA 说明：说明： )()(21pzpzzA=21212)(ppzppz (1) A(0)=p1p2

12、, (2) A(1)=(1-p1)(1-p2), 0)1 (1 p, 0)1 (2 p, (3) A(-1)=(-1-p1)(-1-p2),0)1(1p, 0)1(2p, )1(1p0) 1()1(2Ap )1 (1p0) 1 ()1 (2Ap （掌握）（掌握）11)0(21ppA必要条件！必要条件！若两根均为正，且若两根均为正，且p11,，p21必要条件！必要条件！若两根为负，均处于单位圆内的条件为若两根为负，均处于单位圆内的条件为 必要条件！必要条件！?0232zz首一化！例：教材例例：教材例5.3求系统稳定时求系统稳定时k的取值范围的取值范围 (无需进行无需进行W变换变换)0)264. 0368. 0()368. 1368. 0(2kzkz:1)0(A1264. 0368. 0k39. 2k:0) 1(A0)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1kk3 .26k0104. 0736. 2k:0) 1 (A0)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1kk0k0632. 0k 2.劳斯判据劳斯判据 （掌握）（掌握） 双线性变换双线性变换z=(1+w)/(1-w)