自考结构力学 超静定结构的内力和位移

1、 第五章超静定结构的内力和位移第五章超静定结构的内力和位移 一、超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。一、超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。二、结构的超静定次数结构的多余约束数。二、结构的超静定次数结构的多余约束数。三、结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）三、结构超静定次数的判定方法（拆除约束法） 一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。结构）为止。）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除个约束；除个

2、约束；）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除个约束；除个约束；）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除个约束；除个约束；）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除个约）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除个约束。束。x1x1x2x2x3例例5-1-15-1-1判断图示结构的超静定次数。判断图示结构的超静定次数。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x64次超静定次超静定15次超静定次超静定3次超静定次超静定力法力法1EIqq1XP11X11q（a）（b）（c）（d）=满足变形条件吗？满足变形

3、 悬臂梁 1X基本思路基本思路0Xp111111111X0XP1111一、力法基本思路一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。 1=0 11 + 1P =0 11= 11x1 11x1+ 1P =0力法的基本体系力法的基本体系1 1、力法基本未知量、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。余力）。2 2、力法基本体系、力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的力法基本结构，是

4、原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。力共同作用的体系。3 3、力法基本方程、力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。一致的条件。方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。问题，显然，超静定转化为静定问题。注 意1、基本体系有多种选择；、基本体系有多种选择；1EIq（a）q

5、1X（b）1Xqqp11X111Xqq1X1Xp1)111X（c）2、系数和自由项的计算、系数和自由项的计算3、采用叠加法绘制内力图、采用叠加法绘制内力图例例1. 1. 求解图示单跨梁求解图示单跨梁原结构原结构待解的未知问题待解的未知问题A AB B基本结构基本结构已掌握受力、变形已掌握受力、变形基本体系基本体系 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程未知力的位移未知力的位移“荷载荷载”的位移的位移011111 P总位移等于已知位移总位移等于已知位移以掌握的问题以掌握的问题消除两者差别消除两者差别叠加作弯矩图叠加作弯矩图或或01111PX 011111 P1X 广义荷载位移广义荷载

6、位移ip 位移系数位移系数ij 自乘自乘PP1X2X 悬臂刚架 21X,X120 0 0022221211212111PPXXXX1X111211X22212PP1P221XXP2211MXMXMM多次超静定结构多次超静定结构二、二、力法典型方程力法典型方程0X.XX.0X.XX0X.XXnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn1212111）,iPij的物理意义；由位移互等定理ijji； 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ijij位移的地点产生位移的原因N N次次超超静静定定结结构构柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.对称方阵对称方阵系

7、数行列式之值系数行列式之值0主系数主系数0ii副系数副系数000ij系系 数数梁刚架：梁刚架：桁桁 架：架：iidsEIMi2EIyiidsEIMMjiEIyijijEAlNi2EAlNNjiiiijEIdsMMPiiPEAlNNPiiP自由项自由项梁刚架：梁刚架：桁桁 架：架：Pnn2211MXM.XMXMM例例 2. 2. 求解图示结构求解图示结构原原结结构构F FP P基基本本体体系系 一一F FP P基基本本未未知知力力PF FP P00222212112111pp 0022221211212111ppXXXX 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程016654096546

8、P21P21FXXFXX883114P2P1FXFXF FP PF FP Pa a883114P2P1FXFXF FP PF FP Pa aF FP P（F Fp pa a）PMXMXMM2211 用力法计算如图用力法计算如图a a所示的刚架，各杆的所示的刚架，各杆的EIEI 相等且为常数，绘制相等且为常数，绘制内力图。内力图。图图6.10 6.10 超静定刚架超静定刚架解解 1 1 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束，得到基本结构，如图处的两个多余约束，得到基本结构，如图B B所示。所示。 2 2 由已知点的位移条件，

9、列出力法的典型方程：由已知点的位移条件，列出力法的典型方程： 1111221211222200PPXXXX 3 3 作基本体系的作基本体系的 图，利用图乘法求系数和自由图，利用图乘法求系数和自由项，并解方程求得项，并解方程求得X1和和X2。 12,PMMM23111232223121221241122422d112()233d1124()233d11()22d11()224d1135()32428PPPPMsll llEIEIEIMsll lll l lEIEIEIM Msll l lEIEIEIM Msqlqll lEIEIEIM Msqlqlqllll lEIEI EI 将各系数、自由项代

10、入典型方程，得将各系数、自由项代入典型方程，得 1232837XqlXql 4 4 由公式由公式 求各截面弯矩值，并绘制求各截面弯矩值，并绘制弯矩图，如图所示。弯矩图，如图所示。 1212PMM XM XM222230 721433 287228CBACqlqlMlqlqlqlMlqllql （上边受拉）（右边受拉）图图6.11 6.11 内力图内力图 5 5 根据最后弯矩图根据最后弯矩图 如图如图6.116.11(a)所示所示 ，取隔离体，由平衡条件求得各，取隔离体，由平衡条件求得各杆端剪力和轴力，并杆端剪力和轴力，并作作Q图图、N N图，如图所示。图，如图所示。 取取ACAC，如图，如图6

11、.12a6.12a所示，分别由所示，分别由MA=0 ，x=0 ，y=0 ，得得3 =28ACCAACCAqlQQNN ， 取取CBCB，如图，如图6.12b6.12b所示，分别由所示，分别由MB=0 ， x=0 ，得：，得：47328CBBCCBQqlNNql 取取C C结点，如图结点，如图6.126.12c 所示，所示，由由y00 得：得：47CACBNQql 取结点取结点B B，由，由X=0 ，已知，已知 得得 237xql37BCNql 图图6.12 6.12 求各杆轴力及剪力求各杆轴力及剪力支座移动时的计算支座移动时的计算hlab1X2XbaccXXXX222212112121110基

12、本方程的物理意义？基本方程的物理意义？ 基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。三、三、力法典型方程力法典型方程1X11lhlh1Rhl1l11X212RccXXXX222212112121110cRic11chablhbal lbblc122211XMXMM应用叠加法作应用叠加法作M图图（1 1）等号右端可以）等号右端可以 不等于零不等于零（2 2）自由项的意义）自由项的意义（3 3）内力仅由多余）内力仅由多余 未知力产生未知力产生（4 4）内力与）内力与EI 的的 绝对值有关绝对值有关特点特点: :例1.做弯矩图。x1x202222

13、1211212111ccxxxx1、取基本结构：2、典型方程：3、系数：x1=1x2=12211,3EIl2112,6EIl01c02clEIx41lEIx22x1=1x2=14、解方程得：5、作M图。EI基基本本体体系系解：解：典型方程：典型方程：kXXP/11111 最终解得：最终解得：)(32251qlX例例 2. 求作图示连续梁的弯矩图。求作图示连续梁的弯矩图。M图由图由 作出：作出： PMXMM11(c)1(1111kXP ,310lEIk 当当,k当当)(451qlX取基本体系，取基本体系，？EI温度内力的计算温度内力的计算1t1t2t1t1t2t1X1t1t2tt 1t2画出 图

14、2121N,N,M,M2211XMXMM0tNMtt AAhaa t2t1,计算特点特点: :（1 1）自由项的意义）自由项的意义（2 2）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（3 3）内力与）内力与EI EI 的绝对值有关的绝对值有关aa01t01t102t0t10t110t21X例例1. 1. 计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆EI 等于常数等于常数, ,矩矩形截面梁高为形截面梁高为h，材料温度胀缩系数为，材料温度胀缩系数为a a。01111tX1X1a1M1X111aaaahataaaEIa343111341521

15、111haaEIXta11XMM 一一 杆端位移与杆端力正负规定杆端位移与杆端力正负规定2 杆端相对位移杆端相对位移1 杆端转角杆端转角A、Bl弦转角弦转角AB以以顺时针转动顺时针转动为正为正MABMBAFQABFQBA1 杆端弯矩杆端弯矩MAB、MBA对杆端对杆端以顺时针为正以顺时针为正2 杆端剪力杆端剪力FQAB、FQBA使分离体有顺时针转动趋势时为正使分离体有顺时针转动趋势时为正MABMBAFQABFQBAM ABMBA以以顺时针转动顺时针转动为正为正l 位移法位移法由单位杆端位移所引起的杆端力（刚度系数）由单位杆端位移所引起的杆端力（刚度系数）二二 等截面直杆的形常数等截面直杆的形常数

16、=1A=1EIEI3i3ili 3=1A=1EIEI4i4i2i2ili6li6等截面直杆的形常数等截面直杆的形常数三三 等截面直杆的载常数等截面直杆的载常数由荷载作用所引起的杆端力（固端力）由荷载作用所引起的杆端力（固端力）四四 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程AMABFQABFQBAl lEIEIABMAi 3li 3FABMQABFAli323liFQABF表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式ABFBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624FABBAQABFlililiF21266

17、位移法的基本概念位移法的基本概念一一 位移法基本思路位移法基本思路qLLABCEIEIEIEIEIEILABEIEILBCq1 1 位移法基本未知量位移法基本未知量 B：设顺时针方向转动设顺时针方向转动2 各杆各杆转角位移方程转角位移方程BBAlEIM30ABM832qllEIMBBC0ABM3 3 建立位移法方程建立位移法方程0BCBABMMM0862qllEIBEIqlB483BBAMBCMqLLABCEIEIEIEI4 4 作弯矩图作弯矩图1648323qlEIqllEIMBA168483223qlqlEIqllEIMBC162qlCDCD 位移法基本结构与未知量数目位移法基本结构与未知

18、量数目C一一 位移法基本未知量位移法基本未知量1 1 结点角位移结点角位移为了减小计算工作量、简化计算，引入如下假定：为了减小计算工作量、简化计算，引入如下假定：忽略轴力产生的轴向变形，忽略轴力产生的轴向变形，结点转角、各杆弦转角都很微小结点转角、各杆弦转角都很微小受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变2 2 独立结点线位移独立结点线位移C C、D D对应一个独立结点线位移对应一个独立结点线位移铰接链杆体系铰接链杆体系几何可变体系几何可变体系几何不变体系几何不变体系附加链杆的附加链杆的数目数目=独立结点线位移的数目独立结点线位移的数目独立结点线位移数目

19、的确定独立结点线位移数目的确定 位移法基本结构与未知量数目位移法基本结构与未知量数目1 1 附加刚臂附加刚臂2 2 附加链杆附加链杆将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体控制结点线位移控制结点线位移CDCDC控制结点转动控制结点转动基本结构基本结构二二 位移法基本结构位移法基本结构CDCDCZ1Z2基本结构基本结构结点角位移的数目结点角位移的数目=刚结点的数目刚结点的数目=附加刚臂附加刚臂的数目的数目三三 位移法基本结构与未知量数目位移法基本结构与未知量数目Z3独立结点线位移的数目独立结点线位移的数目= =附加链杆的数目附加链杆的数目Z1Z2Z1Z5Z

20、7Z6 内力静定杆，不需要加附加约束使其成为超静定杆内力静定杆，不需要加附加约束使其成为超静定杆 带链杆、曲杆的结构带链杆、曲杆的结构ADCBEAEA 带无限刚梁的结构带无限刚梁的结构EIEI=EI= 位移法基本体系与位移法方程位移法基本体系与位移法方程一一 位移法基本体系位移法基本体系Z1Z2基本结构在基本结构在荷载荷载和结点位移和结点位移Z Z1 1、Z Z2 2共同作用下，受力与变形共同作用下，受力与变形与原结构相同与原结构相同 位移法基本体系位移法基本体系CCCZ1Z2C二二 位移法方程位移法方程基本结构在基本结构在荷载荷载和结点位移和结点位移Z Z1 1、Z Z2 2共同作用下，附加

21、刚臂中共同作用下，附加刚臂中的约束力矩的约束力矩F F1 1，附加链杆中的约束力，附加链杆中的约束力F F2 2F1F2CZ1=1k11k21CZ2=1k12k22CF1PF2PPPFZkZkFFZkZkF2222121212121111二二 位移法方程位移法方程CZ1=1k11k21CZ2=1k12k22CF1PF2PPPFZkZkFFZkZkF2222121212121111CZ1Z2CF1F200基本结构在基本结构在荷载荷载和结点位移和结点位移Z Z1 1、Z Z2 2共同作用下，附加刚臂中共同作用下，附加刚臂中的约束力矩的约束力矩F F1 1等于零，附加链杆中的约束力等于零，附加链杆中

22、的约束力F F2 2等于零等于零AECDBlEIi 2i2ii i无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算AECDBEI4m2m4m2mEI2EI2EI30 kN/m40 kN10kN.m解：解：1 确定位移法基本体系Z1Z22 列位移法方程k11Z1+ k12Z2+ F1P=0k21Z1+ k22Z2+ F2P=0位移法基本体系位移法基本体系ECDAB2i2ii iECDAB2i2ii i 计算系数和自由项Z1=1Z2=14i2i8i4iM1M2k11=12i4i4i8i8ik110 00 04i4ik21k22=18i4i2i4i8i6i0 04i4ik124i4i6i6i8i8ik12=4ik2

23、2k21=4ik11Z1+ k12Z2+ F1P=0k21Z1+ k22Z2+ F2P=0MP（kN.m）0 030304040F1PF2P301PF101PF12iZ1+ 4iZ2 - 30=04i4iZ1+ 1818iZ2+10=00 040401010 求Z1、Z2i9 . 21Zi2 . 12Z5 作弯矩图PMZMZMM2211D30 kN/m40 kN10kN.mECD404030ECD4i2i8i4iM1M24i2i4i8i6iECDECD404030AECDB30 kN/m40 kN10kN.m11.611.65.85.821.621.642424.84.82.42.437.23

24、7.221.421.4MP（kN.m）M（kN.m）i9 . 21Zi2 . 12ZZ1=1Z2=1一一 位移法方程位移法方程 基本结构在结点位移、荷载共同作用下，附加刚臂中的基本结构在结点位移、荷载共同作用下，附加刚臂中的 约束力矩等于零约束力矩等于零0022221211212111PPFZkZkFZkZkkij 基本结构在基本结构在Zj=1作用下，附加刚臂作用下，附加刚臂i中产生的中产生的约束力矩约束力矩Fip 基本结构在荷载作用下，附加刚臂基本结构在荷载作用下，附加刚臂i中产生的中产生的约束力矩约束力矩二二 系数和自由项的计算系数和自由项的计算由结点力矩平衡，求附加刚臂中的约束力矩由结点

25、力矩平衡，求附加刚臂中的约束力矩先绘制先绘制 图、图、MP图图Mi位移法方程实质上平衡方程 kijFiP位移法计算无侧移结构位移法计算无侧移结构有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算3kN/m2iiiZ1Z2解：解：1 确定位移法基本体系2 列位移法方程k11Z1+ k12Z2+ F1P=0k21Z1+ k22Z2+ F2P=0 计算系数和自由项3kN/m8m4m2iiiABCD2iii2iiiZ1=14i2i6iM1k11=10iZ2=1k11k21k21FQBAFQC4i2iFQC02346iiFBAQ23iFFCDQBAQ21k43i23i23iM1iABBCiCDk114i4i6i6iBk1

26、2=-3i/2k123i/23i/20 0Bk22FQBAFQC3i/23i/243iFBAQiABBCiCD03i/4163iFCDQ161516343iii22kFQC3kN/m44MP F1P=4F2PFFQBAFQC04462qlFFQBA62FFPCDQBAQFFFBCAB4m3kN/m 求Z1、Z2061615230423102121ZiZiZiiZiiZiiZ58. 71914474. 01914215 作弯矩图PMZMZMM22111Z1=14i2i6iM1iZ2=143i23i23iM13kN/m44MPiZiZ19144191421M图 (kN.m)13.624.425.6

27、9试用位移法分析图示刚架。试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量基本未知量 1 (B )、 2 (C)（2）基本体系）基本体系4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I01 12 计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43, 1, 1CFBECDBCiiii（3 3）位移法方程）位移法方程k11 1+ k12 2+F1P=0 k21 1+ k22 2+F2P=0 （4 4）计算系数：）计算系数：k11、k12、k21、k22 1=14

28、m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/23241.53ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=1k11=3+4+3=10k12=k21=2k22=4+3+2=9（5 5）计算自由项：）计算自由项：F1P、F2P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7（6 6）将系数和自由项代入位移法方程，得）将系数和自由项代入位移法方程，得07 .419207 . 1210CBCB89. 415. 121CB( (相对

29、值相对值) ).9 .467 .4189. 4215. 147 .41245 .434015. 13403mkNMmkNMCBBCBBA(7)杆端弯矩及弯矩图杆端弯矩及弯矩图mkNMmkNMCCCFBBBE8 . 9)89. 4(2221445. 315. 133434AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图图)(mkN 一一 位移法方程位移法方程基本结构在结点位移、荷载共同作用下，附加约束中的基本结构在结点位移、荷载共同作用下，附加约束中的约束力（矩）等于零约束力（矩）等于零0022221211212111PPFZkZkFZkZkkij 基本结构在基本结

30、构在Zj=1作用下，附加约束作用下，附加约束i中产生的中产生的约束力约束力Fip 基本结构在荷载作用下，附加约束基本结构在荷载作用下，附加约束i中产生的中产生的约束力约束力二二 系数和自由项的计算系数和自由项的计算由结点力矩平衡方程、截面投影方程，求附加约束中的约由结点力矩平衡方程、截面投影方程，求附加约束中的约束力束力先绘制先绘制 图、图、MP图图Mi 本节主要介绍了计算超静定结构的渐近法本节主要介绍了计算超静定结构的渐近法-力矩力矩分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。用力矩分配法计算连续梁和无侧

31、移刚架。 通过本节的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力通过本节的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态即固定状态和放松状态。即固定状态和放松状态。本节提要本节提要65 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐

32、进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。66 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数 劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知 远端固定时：

33、A AB BEIEIL L1 1MMABAB4i4iMMBABAA AB BEIEI1 1MMABAB3i3iS SABABMMABAB4i4i远端铰支时：S SABABMMABAB3i3iSAB=3iA AB B1 1远端滑动支撑时：EIEIMMABABiiMMBABAS SABABMMABABiiSAB=i远端自由时：A AB B1 1MMABABooEIEIS SABABMMABAB00SAB=0SAB=4i67(2) 传递系数CijA AB BEIEIL L1 1MMABAB 4iA AB BEIEI1 1MMABAB=3iSAB=MAB=4iS SABABMMABAB3i3iA AB

34、 B1 1EIEIMMABAB=iMMBABA=-iSAB=MAB=iA AB B1 1MMABABEIEISAB=MAB=0 0 当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数传递系数，用CAB表示。即ABBAABMMC或 MBACABMAB远端固定时：CAB0.5远端铰支时：CAB0远端滑动支撑： CAB1由表右图或表101可得MMBABA 2i682. 力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1 12 23 34 4 P Paa1 12 23 34 4bbMP图F2

35、1MF12MF14MF41M 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b, 可求得自由项为R1PFj1F14F13F12MMMMSR1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和Fj1MS，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。R R1P1P1 1F12MF13MF14MR R1P1P69r11=式中S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。1 12 23 34 4cc1M图1Z12i2i12124i4i12123i3i1313i i14141M绘出结构的

36、图（见图c， 计算系数为：解典型方程得Z1=111rRP 然后可按叠加法 M=11PZMM 计算各杆端的最后弯jFjSM11SS弯矩。4i12+3i13+i14 S12+S13+S14 S1j70M12F12MM13)M(SSMFj1j113F13SSM14)M(SSMFj1j114F14SS以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，m12 、m13 、 m14等称为分配系数分配系数，其计算公式为m1jj1j1SSS101结点1的各近端弯矩为：F12M)M(MFj113F13S

37、m)M(MFj114F14Sm)M(Fj1Sj112SSS)M(Fj1S12m71m1j =j1j1SSS101显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即 m1j =1 。各远端弯矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31SmM41=)M(CMFj11414F41Sm各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。)M(Fj1S12m12CF21M)M(Fj1Sj11212SSCS72得出上述规律后，便可不必绘 MP 、1M 图，也不必列出典 和求解 型方程，而直接按

38、以上结论计算各杆端弯矩。 ，其过程分为两步：(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。73例 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。A AB BC C 30kN/m30kN/m50kN50kNaa解：(1)计算各杆端分配系数mAB445. 0942131414mAC333. 093mA222. 09

39、2mAB0.445mAC0.333mA0.222(2)计算固端弯矩据表101）FBAMFABMFADMFADMEIEI2EI2EIEIEI4m4m2m2m2m2m4m4mmkN4012430212L2mkN4012430212L2mkN758450383PLmkN2584508PLmkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为SFAjMmkN357540A AC C 杆 端ABABACACAABABACACAAA0.445 0.3330.222分配系数固端弯矩4040075250-35-35分配弯矩 +15.5 11.77

40、.87.807.832.2+55.5最后弯矩11.767.232.80B B55.555.5606011.711.767.267.232.832.8 M M图图kN.mkN.mbb32.232.2(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。+35+3574 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。75例 用力矩分配法

41、计算图示连续梁。0 01 12 23 325kN/m25kN/m400kN400kN25kN/m25kN/m解： 固定1 2 结点。列表计 算如下:12m6m6m12m分配系数mm1050i 4i 4i 4m1250i 4i 4i 4m215710i 3i 4i 4m234290i 3i 4i 3固端弯矩MFmkN300121225M2F01300300mkN300121225M2F10300300mkN600812400MF12600600mkN600812400MF21600600-300-300mkN45081225M2F234504500MF320 0+150+150结点1分配传递+1

42、50+150 +150+150+75+75+75+75结点2分配传递-129-129 -96-96-64-640 0结点1分配传递+32+32 +32+32+16+16+16+16结点2分配传递-9-9 -7-7-5-50 00.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429结点1分配传递+2+2 +3+3+1+1+1+1结点2分配传递-1-10 0最后弯矩最后弯矩MM-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530 0EIEIEIEIEIEI+225+225-225-22576例 用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m1.5kN/m8

43、kN8kN4kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m1.5kN/m8kN8kN4kN4kN4kNmm m0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MMF F0 04.694.69 8888 9.389.385.625.62 2244分分 配配 及及 传传 递递4.764.76 2.862.862.382.380 0A AB BC C E EF FI I2I2I2I2II I0.8i0.8ii ii i0.8i0.8i1mA AB BC C E E1.241.24 2.072.070 01.031.031.371.37 1.361.360.680.680.680.680.43

44、0.43 0.250.250.210.210.250.250.430.430.210.217.627.623.313.312.732.730.420.420.210.21 0.210.210.110.110.110.110.040.04 0.070.070.030.030.070.07 0.040.040.030.030.030.030.030.030.020.020.020.020.010.010.010.010.010.01 0.010.01MM0 05.635.63 5.635.6310.4010.40 10.4010.401.161.16 1.161.1644771.5kN/m1.5k

45、N/m8kN8kN4kN4kNA AB BC C E EF FI I2I2I2I2II IMM0 05.635.63 5.635.6310.4010.40 10.4010.401.161.16 1.161.16445.635.634.694.691.881.8812121.161.1615150 04 48.068.06MM图图0 010.4010.403.983.98例如图所示，用力矩分配法计算并绘弯矩图。 结点结点B： 结点结点C： 1）计算各结点的分配系数）计算各结点的分配系数 2）加约束确定固端弯矩）加约束确定固端弯矩 和不平衡力矩和不平衡力矩MB=-60kNmMC=60+(-90)=

46、30kNm0.4 0.60.5 0.5固端弯矩固端弯矩放松结点放松结点B B放松结点放松结点C C放松结点放松结点B B放松结点放松结点C C放松结点放松结点B B放松结点放松结点B B杆端弯矩杆端弯矩60 60 90 012 24 36 183 6 6 00.6 1.2 1.8 0.90.23 0.45 0.45 00.05 0.09 0.14 0.070.04 0.0311.35 22.71 22.71 83.52 83.52 0分配系数分配系数单位单位:kNm:kNm11.3511.3522.7122.7183.5283.521201209090 对称结构对称结构非对称结构非对称结构支承支承不对称不对称刚度不对称刚度不对称几何对称几何对称支承对称支承对称刚度对称刚度对称对称荷载对称荷载: :作用在