(整理)平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题).

1、精品文档平面向量1 1. 数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2 .向量的表示方法： 用有向线段表示； 用字母 a,b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量 AB的大小 长度称为向量的模，记作|AB |。3 .有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别： 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4 .零向量、单位向量概念： 长度为0 的向

2、量叫零向量，记作0 。 长度为1 个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5 .相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明： 向量a 与 b 相等，记作a = b ； 零向量与零向量相等； 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6.平行向量的定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定0 与任一向量平行。说明： 综合 才是平行向量的完整定义； 向量a、 b、 c 平行，记作a / b / c 。二、向量的运算法则1. 向量的加法某人从A 到 B，再从B 到 C，则两次的位移和： 向量的加法：求两

3、个向量和的运算，叫做向量的加法。 三角形法则：abABBCAC 四边形法则：abOAOBOAAC OC精品文档三角形法则四边形法则AB BC AC ；练习：化简（1 ） （ AB BC） CD （ 2） （AB MB） BO OM （ 3） OA OC BO CO7 .向量的减法 相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a 。 （ a） a ； 任一向量与其相反向量的和是零向量，即：a （ a） （ a） a 0 ； 如果a， b 是互为相反的向量，则：a b,b a,a b 0。 向量的减法：向量 a 加上b 的相反向量，叫做a 和 b 的差。即a b a （ b）

4、向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。注意： 起点相同； 指向被减向量的终点。练习：（ 1 ） AB AC （ 2） OD OA （ 3） OA OD AD （ 4） AB AD DC例 1. 平行四边形ABCD 中， AD a, AB b ，用 a 、 b 表示向量AC, DB 。例 2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A、 B、 C 的向量分别为a 、 b 、 c，试用向量 a 、 b 、 c 表示 OD 。8 .向量的数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： | a| |a|； 当 0 时， a

5、的方向与a 的方向相同；当0 时， a 的方向与a 的方向相反；特别的，当 =0 或 a = 0 时， a = 0 。注意：实数与向量 a ，可以做积，但不可以做加减法，即+ a ，- a 是无意义的。实数与向量的积的运算律：设 a、 b 为任意向量， 为任意实数，则有： ( a) ( )a ； ( )a a a ( a b) a b例1. 计算(1).( 3) 4a ；(2).3(a b) 2(a b) a；(3). 2( a 3b c) (3a 2b c)例 2.计算(1). 3(a b) 2(a2b);(2). 2(2a 6b 3c) 3( 3a 4b 2c)结论：向量b 与非零向量a

6、共线，当且仅当有唯一一个实数，是的 b = a例 3.向量 a e1 e ,b 2e 2e 是否共线？ 212例4.平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 AB a, AD b ,你能用 a, b 表示MA,MB , MC ,MD 吗？精品文档精品文档向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数、1、，恒有2( 1 b) a。ab2129.有关向量共线问题a 3b a b 1，求证：向量a 和 b 共例 1. 已知向量a、 b 满足(32 ) 线。a b525例 2. 已知 AD 3 AB, DE 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否共线？定理的应用：(1). 有关向

7、量共线问题；(2). 证明三点共线：AB BC (BC0) A、B、C 三点共线；(3). 证明两直线平行问题。例3.已 知 任 意 两个非 零 向 量a、 b ，试 作 OA a b, OB a 2b, OC a 3b ， 你 能 判 断A、 B、 C 三点间的位置关系吗？为什么？例 4 . 在四边形ABCD 中， AB a 2b, BC 4a b, CD 5a 3b ，求证：四边形ABCD 为梯形。精品文档精品文档4 同步练习二 . 填空题 ( 每题 5 分 )(2.1-2.2 平面向量的概念及线性运算)11. 把平面上一 切单位向量归结到共同的始点些向量的终点所构成的图形是, 那么这姓名

8、 班级 学号 一 . 选择题 ( 每题 5 分 )2. 设 b 是 a 的相反向量, 则下列说法错误的是( )A. a 与 b 的长度必相等 B. a bC. a bD. a b 与 一 定不相 等是 的相反向量2. 已知 一点 O 到平行 四边形 ABCD 的三个顶点A、 B、 C的向量分别为a 、 b 、 c , 则向量 OD 等于 ( )(2x y)a 4b 5a ( x 2 y)b , 则 x y A. a b3. ( 如图 ) 在平行 四边形 ABCD 中 , 下列正确的是( ).12. ABCD 的两条对角线相交于点AB a,ADb , 则 MAMB, MC, MD13. 已知向量

9、 a 和 b 不共线 , 实数 x , y 满足c B . a b c C . a b- c D . a- b- cD14. 化简 : ABBC CDAD BDAD BC 0CB AB AD DC (AB CD) (AC BD)15. 化简下列各式( 1) AB DF( 2) ( AB MB)CD BC FA(BO BC) OM16. 在 ABCD 中 , AB a,AD b , 则AC, DB4.OA OC BO CO 等于 ( )17. 在 四边形 ABCD 中有 AC AB AD , 则它的形状A.5.A、6.AB b. BA化简 OP QPQP B 、 OQC. AC D. CAPS

10、SP 的结果等于( )SP D 、 SQ( 如图 ) 在正 六边形 ABCDEF 中 , 点 O 为其中心, 则下列判断错误的是( )定是18. 已知 四 边形 ABCD 中 , AB 1 DC , 且 AD BC则四边形ABCD 的形状是. 2AB OCB AB DE19. 化简 : ( AC DP BA) (CP BD) 7.AD BE d AD FC, 正确的个数是(20. 在 ABC 中 , 设 BCa , CAa a)b , 则 AB =( a ) 0b a a- b b- a 0 a a( a)A. 5 B. 4 C. 3 D. 28. 在 ABC 中 , AB a, AC b ,

11、 如果 |a| |b | ,那么 ABC 一定是 ( ).精品文档( 2) 求 DA9. 在ABC 中 , BC a , CA b , 则 AB 等于( )A. a b B. ( a b) C. a b D. b a10. 已知 a 、 b 是不共线的向量, AB a b ,AC a b (、 R ), 当且仅当( ) 时 ,A 、 B 、 C 三 点共线 .A1 B1 C1 D 1精品文档10. 如图 , 在梯形 ABCD 中 , 对角线 AC 和 BD 交于点11. O , E 、 F 分别是 AC 和 BD 的中点 , 分别写出( 1) 图中与 EF 、 CO 共线的向量;24. 在 A

12、BC 所在平面上有一 点 P ,使得 PA PB PC AB , 试判断 P 点的位置3. 如图所示, 在平行 四边形 ABCD1中点 , 点 N 在 BD 上且 BN BD 3三 点共线 ., 点 M 是 AB 边, 求证 : M 、 N 、 C12. 在直角坐标系中, 画出下列向量:( 1) a 2, a 的方向与 x 轴正方向的夹角为60 , 与 y轴正方向的夹角为30 ;( 2) a 4 , a 的方向与x 轴正方向的夹角为30 , 与 y轴正方向的夹角为120 ;( 3) ,135a 4 2 ax的方向与轴正方向的夹角为,与 y 轴正方向的夹角为135 .精品文档参考答案一 .选择题( 每题 5 分 )13. C14. b15. c16. b17. b18. d19. c20. a21. b22. d二 . 填空题 ( 每题 5 分 )23. 圆24111124. ( a b ), ( a b ), ( a b ) , 2 ( b a )22225. 126. AD;CB; 027. ( 1) 0(2)AC28. ab ,a-b29. 平行四边形30. 等腰梯形31. 032. a b三 . 解答题 ( 每题 10 分 )33. 【解答】( 1) 如图 ,( 2) AB CD故四边形 A