2018届上海市浦东新区一模试题及答案解析

1、2018届上海市浦东新区一模试题及答案解析一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1 . “QV女”是“一元二次方程/一、+。=0有实数解”的（）A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】解：当一元二次方程/一方+。= 0有实数解，则：A>0,即1-4。>0,即。工；，4又" a V： ”能推出“aW；” , 44但“a工：”不能推出" av：“， 44即“a V：'是"一元二次方程%2一% +。= 0有实数解，的充分非必要条件. 4故选：A.先求出一元二次方程才2-% +。= 0有实数解的充要

2、条件为。工：，再判断“as 与“ a v； ”的关 444系即叽本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及一元二次方程的解，属简单题.2 .下列命题正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【解析】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故错误： 如果一条立线垂直于一个平面内的两条平行立线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故错误

3、； 如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面,但平面内直线 不满足条件，故错误：果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确：故选：0.根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案.本题以命SS的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题.3 .将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务,每个场馆至少1人，不同的分配方案行()种.A. 72B. 36C. 64D. 81【答案】B【解析】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素

4、看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有以&=36.故选：B.先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分 步乘法原理得到结果本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意 做到不重不漏.4 .己知点4(1,一2), 8(2,0), P为曲线y=小- 步上任意一点，则送荏的取值范围为()A. 1,7B. -1,7C. 1,3 + 2>/3 D. -1,3+ 2x3【答案】A【解析】解：设P(3)则由y = 户号可得9 + 9= 1。> 0)，令x = 2cos6y = V3sin0

5、» (P 6 0,n,AP = (x l,y + 2) AB = (1,2) >AP AB = x 1 + 2y + 4 = % + 2y + 3 = 2cos0 + 2V3sin0 + 3 = 4sin(。+ ) + 3, 6V 0 < 0 < 7T, .g w e + w oo o i<sin(0 + ) < 1, 1 < 4sin(0 + -) + 3 < 79 6故选：A.结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解.本题主要考查了平面向量数量积的运算及三ffj函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本

6、题的关键 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5 .已知全集U = R,集合4 =（8,lU 2,+8）,则.【答案】（1,2）【解析】解：CVA = （1,2）.故答案为：（1,2）.进行补集的运算即可.考杳区间表示集合的概念，以及补集的运算.6 .抛物线y2 = 4%的焦点坐标是.【答案】（1,0）【解析】解：根据题意，抛物线/ =轨的开II向右，其焦点在工轴正半轴匕且 p = 2,则抛物线的焦点坐标为（1,0），故答案为：（1,0）.根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在X轴正半轴上，且P = 2,由抛物线的焦点坐 标公式计算可得答案.本题考查抛物线的几何性质，注意分析

7、抛物线的开口方向.7 .不等式|】。产J|> 0的解为.【答案】（4,+8）【解析】解：根据题意，j| = log2%-2,若吃"；|>°* KPlog2x-2>0,解可得x>4.即不等式的解集为（4,+8）：故答案为:（4,+oo）.根据题意，由行列式的计算公式可得|曜无J| = log2x-2,原不等式变形可得1脸又一2>0,解 可得x的取值范闱，即可得答案.本题考查对数不等式的解法,涉及行列式的计算，属于基础题.8 .已知复数Z满足（1 +。2 = 41。为虚数单位），则Z的模为.【答案】2M【解析】解：复数Z满足(1 + 92 = 4&

8、#171;»为虚数单位)，(1-0(1 + 0-z = 4z(l-0，则z= 2i + 2.则团=V22 + 22 = 272.故答案为：2夜.利用复数的运算法则及其性质即可得出.本题考查了史数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.9 .若函数y = /1(%)的图象恒过点(0,1),则函数y = fT(x) + 3的图象一定经过定点.【答案】(1,3)【解析】解：因为/(%)的图象恒过(0,1)，所以y=fT(x)过(1,0)，所以y =/t(x) + 3的图象一定经过定点(1,3)故答案为：(1,3)因为/(%)的图象恒过(0,1)，所以y =f-i(x)过(

9、1,0)，在上移3个单位得(1,3) 本题考查了反函数，属基础题.10 .已知数列斯为等差数列，其前项和为的.若59 = 36,则g+。4+。8=.【答案】12【解析】解：.数列斯为等差数列，其前项和为Sn.Sg = 36,9： Sg =+ a。= 9a5 = 36,解得g = 4, Q3 +。8 = 3al + 12d = 3a5 = 12.故答案为：12.Q_由59 = r(ai + «9)= 9a5 = 36,得= 4，再由a? + a4 + ae = 3al + 12d = 3a5,能求出结果.本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是

10、基础 题.11 .在中，内角A, B, C的对边是a, h, c.若= q +*),川，b = c,则4 =.【答案】) O【解析】解：cos4=*=4， 2bc2b22乂 4 6 (0,7T),二4=：.o故答案为：O在曲中，运用余弦定理g字，代入计算即可得到.本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属F基础题.12 .已知圆锥的体积为丑7T，母线与底面所成角为一则该圆锥的表面积为3§【答案】37r【解析】解：圆锥的体积为应7T，母线与底面所成角为g， 33如图，设圆锥底面半径4。= OB = r,则母线长！ =SA = 2r,高SO = Mr,V = j；rr2 V5r =1兀&#

11、39;解得r = 1,二 I = S4 = 2, SO = y/3 .二该圆锥的表面积为S = nrl + nr2 = 2zr + tt = 37r.故答案为：37r.设圆锥底面半径4。=。8 =厂，则母线长！ = 54=2，高SO=VJr，则/ =L42 .机厂=隹不，求 33出r = l, 1=S4 = 2,该圆锥的表面积为S = 7rr，+ 7rr2,由此能求出结果.本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体枳、表面积等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题.13 .已知二项式(衣+寿尸的展开式中，前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的第五项为2 fX【答案】啜 O【解析】解：已

12、知二项式(衣+尖尸的展开式中，前三项的二项式系数之和为C那+ Gf +以=1 + n +43 = 37,则71 = 8,故展开式中的第五项为或.X =六，故答案为： O由题意利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第五项.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14 .已知函数乃=2%设+可一1有三个不同的零点，则实数。的取值范围为.【答案】(00, >/2)【解析】解:由/(%) = 0可得2%|x+ a| - 1 = 0» 即伏+川=今有三个正根，可得 a = x + 丁或 a = x »由

13、无> 0, y = -x + "递减，可得方程a = -% + ；有一解:次=-g(x =孝时取得等号),第7页，共13页可得。一心时，。=一%-也有两个正根, 综上可得。的范围是(一8,-伤).故答案为：(8,6).由f(x) = 0,可得>>0,可得。=一% + ；或。=一%-：，由函数的单调性和基本不等式，即可得 到所求范围.本题考查函数的零点问题解法，注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式，考资运算能力, 属于中档题.15 .已知数列5满足：nan+2 = 1007(n - l)an+1 + 2018(n + l)an(n 6 且为=1, a2 =2.

14、若n呼oo31 = A ,则4 =. °n【答案】1009【解析】解：nan+2 = 1007(n l)an+1 + 2018(n + l)a刀，% = 1, a2 = 2, an > 0> n > 1时，*=1。7 + 二，一呷8皿.=4 >0,对于上式两边取极限可得：4 = 1007 +竽, anA化为:(4-1009)(4 + 2) = 0,解得4 = 1009.故答案为：1009.Ma+2 = 1007(?1 l)n+l + 2018(71 + 1)Q，a1=1, Q2 = 2,可得an > Of n> 1时,九 an+2(n-l)an4.

15、x1007 +喏鬻根据已知,对于上式两边取极限可得：4=1。7 +等,即可解出.本题考查了数列极限性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(；,%> 216 .已知函数/(、)=%黑| xv2,若对任意的2+8),都存在唯一的出 (-8,2),满足 2/。1)= 3)，则实数。的取值范围为.【答案】- 2,6)【解析】解：当勾E2,+8)时，就肃=公适W(°，白当&E (-8,2)时，(1)若Q > 2,则/'(X)=(a-*在(-8,2)上是单调递增函数，所以f(M)G (0,©-2).若满足题目要求，则(0,勺G (0尸-2)

16、,所以(。-2 > 尚=84, . a 2 V 4, av6&aN2,所以a E 2,6).ii I (©ar，% < a(2)若a V2,则f(%) = G/TJ,2a<x <2./(x)在(-8,a)上是单调递增函数，此时/<x) G (0,1)：/(%)在a,2)上是单调递减函数，此时/(x) 6 (i)2-%1.若满足题目要求，则看工©2-。，,a>-2,又qv2,所以q|-2,2).综上，a 6 2,6).故答案为：-2,6).由题意可得f(x)在x > 2的范围包含在又 < 2的范用内，先运用基本不等式求得

17、f(x)在x > 2的范围,再讨论a V 2, a >2,结合函数的单调性可得f(x)的范围，解。的不等式可得所求范用.本题考查分段函数的运用，考查任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考 查运算能力，属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共76.0分)17.已知直三棱柱4遇 1G4BC中，AB=AC = AA1= 1,乙BAC = 90。.(1)求异面直线与B1G所成角；(2)求点名到平面的距离.【答案】解法一：(1)在直三棱柱481GL -4BC中，A A i J. A3 9 AA J. AC 9 AB = AC =/L41 = 1, LBAC = 90&#

18、176;所以，AtB = AlC =BC =V2.2 分因为,BC"BC,所以乙418c为异面直线与81G所 成的角或补角.4分在冬8(7中，因为，AyB = AlC =BC = 6,所以，弁面直线与81cl所成用为(2)设点打到平面4BC的距离为/n由(1)得&A/C =立7呜=亭1b = 5 x 1 x 1 = 5，11分因为,Vba*BC =12分所以9 5s"18C 九=, C4 解得，h = y.所以，点4到平面4BC的距离为。14分解法二：(1)设异面直线与比的所成角为仇如图建系， 则港= (1,0, -1),瓦2； = (1 , 1 , 0)4分因为，

19、cosJ = S登&=目=2=。=三依道卜31cli V2V2 23所以，异面直线4$与瓦G所成角为g7分 (2)设平面41BC的法向量为才=Q , v , w),则记1 BC , ri 1 AB.又玩=(-1 ,1,0)，AB = (1 , 0 , -1)9分所以喉为Uo = Q1箕0,得1)12分所以，点名到平面48c的距离d = "梨 =g14分lnl 3【解析】法一：(1)求出久8 = 41c =BC = «,从而BC/B1G，进而乙为异面直线4道与8道1 所成的角或补角，由此能求出异面直线4道与&G所成角.(2)设点员到平面&BC的距离为儿

20、 由%t/c =%认肥，能求出点为到平面&BC的距离.法二：设异面直线与BiQ所成角为6,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与4cl 所成角.(2)求出平面4BC的法向量，利用向量法能求出点名到平面4BC的距离.本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线而、面面间的 位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.18.已知函数无)=2>/3sinxcosx - 2sin2%.(1)若角a的终边与单位圆交于点P(|,，求/(a)的值；(2)当刍时，求f(x)的单调递增区间和值域.【答案】解：(1)、角a的终边与单位圆交于点P(C)，

21、 43(,2 _ 24、包-32 sina = " , cosa =f(a) = 2>/3sinacosa 2sin2a = 2y/3 x -x - 2 x 55(2)由f (%) = 2/5sinxcosx - 2sin2% = V3sin2x + cos2x - 1 = 2sin(2x + ) - 1 ：由2k/r £ W 2x + 3 W 2kn + 262得,kzr - j < % < kn 4-又无e -3刍，所以f。)的单调递增区间是“ e ?2；一三2% +评 OOO: W sin(2x + £)W 1, 26故得f(x)的值域是-

22、 2,1.【解析】(1)利用定义即可求解/X。)的值；(2)利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当乂e一?白时，求解内层函数，从 O ，而求解值域.本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.19 .某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了 “防沉迷系统”，规则如卜.：3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位：e卬)与游玩 时间t(小时)满足关系式：E = t2 + 20t+ 16a：3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)； 超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损

23、失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系， 比例系数为50.(1)当。=1时，写出累枳经验值E与游玩时间r的函数关系式E = f(t),并求出游玩6小时的累 积经验值；(2)该游戏厂商把累积经脸值E与游玩时间f的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H(t)： Zia > U, 且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范 围.(t2 4- 20t+ 16,0 < t < 3【答案】解：(1)E = f(t) = 85,3 <t <5,(335 - 50t,t >5当t= 6时，E(6) = 35,(2)当 0vtS3 时，H

24、(t)=t +浮+20,则 H(t) N 24 = t +号N 4, （0 V4GW34la > 3916a= a W（77,+8）3 + > 416综上，a C G，+8) 4【解析】(1)根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，(2)根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求出t+号24,再分类讨论，即可求出的范围. 本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档即20 .已知双曲线 捻一=l(a> 03> 0)的左、右焦点分别是尸八F2*左、右两顶点分别是4、A2,弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段8A的延长线与

25、线段CD相交于点P(如 图).(1)若Z = (2，佝是的一条渐近线的一个方向向量，试求厂的两渐近线的夹角仇(2)若|P*=1, |PB| =5, |尸C| =2, |PD| =4,试求双曲线r的方程;(3)在(1)的条件下，且|4遇21 =4,，点C与双曲线的顶点不重合，直线C4和直线C%与直线，: % = 1分别相交于点M和M试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点 的坐标；若不是，试说明理由.【答案】解：(1)双曲线二一 1=1的渐近线方程为: a- b-即bx±ay = 0,所以1 =?,a F52 tan 从而tan - = , tan0 = 4 (2)设

26、P(syp),则由条件知：xP = hPB - PA) + PA = 1(|PF| + |P4|) = 3,力=*|PC| +|PD|) -PC = i(|PD|- |PC|) = 1,即P(3,l)6分所办(2,1), C(3,3)7分，41代入双曲线方程知：£_£=j*9分第11页,共13页10分双曲线r的方程：等一=1（3）因为|心力2| =4,所以a =2,由（1）知，b =炳,所以的方程为：=一=1，令，（&，%），所以萼筌=1，s： y =言7（" + 2），令 = 1,所以m（l）,c42 y =2），4 3Ao T44令x = l,所以N（

27、L舌）12分彳04故以mn为直径的圆的方程为：a - 1产+ s -曲）s -言）=。， Xo+Z K0-Z即（1）2+/ + （工一黑丫一黑=°，即（、T）2+y2 +（翁一翳»-：=°，14分若以MN为直径的圆恒经过定点（y）丁，丫=0fx = l±?F（%l）2 + y2_Ro = "2所以圆过x轴上两个定点6,0）和（一，0）16分e【解析】（1）可得5 =当,从而tan、=争tanJ =】口 号 = 4v5»即夕=arctan4V3（上=1（2）求得即P（3,l）,从而得4（2,1）, C（3,3）代入双曲线方程知：收 ?=

28、 ?即可:I _ 7 = q. 27 ft* Z7（3）可得r的方程为：?一?=1，求得M（l,熟），c，2： y = （x-2）,令4=1,所以N。言）, 以MN为直径的圆的方程为：。-1）2 +。一黑）3-言）=0,于是仆一 n2 . v2 9_ =x。十乙苑乙（%1 j十y - - - u%=-2.即可得圆过X轴上两个定点6，0）和（一彳,0）.3 =。22本题考查了双曲线的方程与性质，以及圆过定点问题，属于中档题，21 .已知平面直角坐标系工。”在x轴的正半轴上，依次取点A294，./式并在第 一象限内的抛物线y2 = 1x上依次取点%，,鼻，旦（men，），使得AtBeka wn-）

29、都 为等边三角形，其中4为坐标原点，设第个三角形的边长为f（）.（1）求f（l）, f（2）,并猜想f5）（不要求证明）：（2）令即=9/5） - 8,记tm为数列每中落在区间（9,92m）内的项的个数，设数列tm的前机 项和为Sm，试问是否存在实数人使得2入WSm对任意mW N"恒成立？若存在，求出；I的取值范 围：若不存在，说明理由：(3)己知数列既满足：瓦=乎，耳+=学小二后三百,数列Q满足:q = 1,。+】=窄二, 求证：bn<f<cn.【答案】解：(1)/(1)= 1，1(2) = 2(2分)猜想71)="(2分)(2)册=971-8(5 分)由 9m <9n-8< 92m = 9m-l +<