第二章_静态电磁场I静电场

1、第2章 静电场 基本方程与场的特性基本方程与场的特性 自由空间的电场自由空间的电场 导体和电介质导体和电介质 电介质中的电场电介质中的电场 边值问题边值问题 电容电容 部分电容部分电容 电场能量电场能量 恒定电场基本方程与场的特性恒定电场基本方程与场的特性 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 第第2 2章章 静态电磁场静态电磁场I I：静电场：静电场 静电场：静电场： 由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激发的由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激发的电场。电场。 本章任务：本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，建立静电场基本方程并分析其物理意阐述静电荷

2、与电场之间的关系，建立静电场基本方程并分析其物理意义，研究真空中、导体中及电介质中的静电场特性，在已知电荷或电位的义，研究真空中、导体中及电介质中的静电场特性，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场定条件下可类比推广到恒定电场, ,恒定磁场及时变场。恒定磁场及时变场。 静电场知识结构框图静电场知识结构框图第第2 2章章 静态电磁场静态电磁场I I：静电场：静电场 演绎法（补充）：演绎法（补充）：演

3、绎法是与归纳法相反的一种研究方法，是从既有的普遍性结论或演绎法是与归纳法相反的一种研究方法，是从既有的普遍性结论或一般性事理，推导出个别性结论的一种方法，即由较大范围，逐步缩小一般性事理，推导出个别性结论的一种方法，即由较大范围，逐步缩小到所需的特定范围。它是从一般到特殊，由定义、根本规律等出发一步到所需的特定范围。它是从一般到特殊，由定义、根本规律等出发一步步递推，逻辑严密结论可靠，且能体现事物的特性。步递推，逻辑严密结论可靠，且能体现事物的特性。演绎法的基本形式是三段论式，它包括：演绎法的基本形式是三段论式，它包括：（1 1）大前提，是已知的一般原理或一般性假设；）大前提，是已知的一般原理

4、或一般性假设； （2 2）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前提应与大前提有关；提应与大前提有关；（3 3）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场合或个别事实作出的新判断。合或个别事实作出的新判断。由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激发的电场。化的电荷所激发的电场。 本章先验知识：本章先验知识：整个这本书的脉络是演绎法，采用第整个这本书的脉络是演绎法，采用第1 1章（以数学物理方法为研究手章（以数学物理

5、方法为研究手段）给出的电磁场矢量分析、场论的数学基础、麦克斯韦方程组等宏观电段）给出的电磁场矢量分析、场论的数学基础、麦克斯韦方程组等宏观电磁场分析基本理论，对电磁场分类中的最简单的一种类型磁场分析基本理论，对电磁场分类中的最简单的一种类型- -静态电场进行静态电场进行分析。分析。2.1.1 2.1.1 静态电磁场静态电磁场2.1 2.1 静电场的基本方程和场的特性静电场的基本方程和场的特性 电磁场中的源量不随时间而变化，这时场中的场量也将不随着时电磁场中的源量不随时间而变化，这时场中的场量也将不随着时间而变化，而仅仅是空间坐标的函数。间而变化，而仅仅是空间坐标的函数。（按源量和场量的性质分类

6、）（按源量和场量的性质分类） 源量有哪些？场量有哪些？源量有哪些？场量有哪些？ 微分形式的麦克斯韦方程微分形式的麦克斯韦方程 回顾：积分形式反映场量在某一大尺度空间的特性；微分形式能精回顾：积分形式反映场量在某一大尺度空间的特性；微分形式能精确反映场量在空间任一点的特性，即反映细节。确反映场量在空间任一点的特性，即反映细节。;0cDHJtBEtBD 00cHJBED 方程表明静态电磁方程表明静态电磁场的电场和磁场没有场的电场和磁场没有相互耦合关系，因此相互耦合关系，因此可以在单一电场或磁可以在单一电场或磁场效应下分别进行分场效应下分别进行分析和讨论。析和讨论。 时不变时不变 其媒质的构成方程为

7、其媒质的构成方程为: :D = E0E D = 微分形式微分形式:积分形式积分形式:0l E dlVSdVdSD显然，静电场是有散显然，静电场是有散( (有源有源) )、无旋场、无旋场。 2.1.2 2.1.2 静电场的基本方程静电场的基本方程在理想的真空状态介电常数在理想的真空状态介电常数 = = 0 0 亥姆霍兹定理（回顾）：亥姆霍兹定理（回顾）：无界空间矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，因此场的散度和旋无界空间矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，因此场的散度和旋度是研究场特性的首要问题。度是研究场特性的首要问题。（本书讨论的总体脉络就是分析场的散度和旋度特性！）（本书讨论的总体脉络就是分析

8、场的散度和旋度特性！）2.1.3 2.1.3 真空中静电场的高斯定理真空中静电场的高斯定理1. 1. 静电场的散度静电场的散度真空中静电场高斯定律的微分形式真空中静电场高斯定律的微分形式其物理意义表示为其物理意义表示为0E0E0E 高斯定律说明了高斯定律说明了静电场是一个有源场静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。从正电荷发出，终止于负电荷。0E 静电场是有散静电场是有散( (有源有源) )场场若场中某点若场中某点 E E00，则，则 0 (0 (正电荷正电荷) )，该点电力线向外发散，且为，该点电力线向外发散，且

9、为“源源”的所在的所在处；处；若某点若某点 E E00，则，则 dr d的远场情况）的远场情况） 。图图 电偶极子电偶极子现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与轴与d相重。应用叠加原理，相重。应用叠加原理，任意点的电位为任意点的电位为 211202104114rrrrqrrq当当r很大时，很大时，r1、r2和和r三者将近乎平行，此三者将近乎平行，此时时r2 r1 dcos ，r1r2 r2代入上式，得代入上式，得 2r020r41r4qdepcos30(2cossin)4prr Eeep E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度线：曲线上每一

10、点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若的方向一致，若 是电力线是电力线的长度元，的长度元，E E 矢量将与矢量将与 方向一致，方向一致，l dl d0dlE故电力线微分方程故电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：在直角坐标系中：微分方程的解即为微分方程的解即为电力线电力线 E E 的方程。的方程。当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z ,y,x(等位线等位线( (面面) )方程方程: :2.2.4 2.2.4 电场线与等位线（面

11、）电场线与等位线（面） 电场线与等位线（面）的性质：电场线与等位线（面）的性质： E线不能相交线不能相交; ; E线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正电荷，终止于负电荷; ; E线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大; ; E线与等位线（面）正交；线与等位线（面）正交；图图1.2.3 1.2.3 电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线图图 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场图图 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场例例2-72-7 画出电偶极子的等位线和电场线画出电偶极子的等位线和电场线 。)(dr 图 均匀场中放进了介质球的电场图 均匀场中放进了导体球的电场图

12、 点电荷位于一块介质上方的电场图 点电荷位于一块导平面上方的电场电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面； 导体内电场强度导体内电场强度E为零，静电平衡；为零，静电平衡； 电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且。0E 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ） 一导体的电位为零，则该导体不带电。一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） 接地导体都不带电。（接地导体都不带电。（ ） 图图 静电场中的导体静电场中的导体2.3 2.3 导体和电介质导体和电介质

13、2.3.12.3.1静电场中导体的性质静电场中导体的性质 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV无极性分子有极性分子图 电介质的极化用极化强度P P表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度2.3.2 静电场中的电介质 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e 电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质

14、的参数不随电场的值而变化； 一个电偶极子产生的电位：202r0R4cosqdR41ep 极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：dV)()(41V30rrrrrPzqd ep 式中图1.2.15 电偶极子产生的电位edVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：uu)u(FFF 图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理 令PpnpeP 极化电荷体密度极化电荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) (

15、) ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 。0p 这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。0p) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0dSdV41rrrrr 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为p1、高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（ Displacement）PED0则有 D电介质中高斯定律的微分形式代入 ,得Pp)(1fPE0f0)(PE

16、D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。2.4 电介质的电场2.4.1 电介质中的高斯定律1S1dSD( )2S2dSD( )2321r4qDDD( )qq D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。 D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。2、 高斯定律的积分形式DdVdVVVDqdSSD散度定理图 点电荷q分别置于金属球壳的内外图 点电荷的电场中置入任意一块介质例 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点： D 线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等 r 处D 值相等；取长为L，半径为 r 的封闭圆柱面为高

17、斯面。,qdSSD由 得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL图1.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体3. 高斯定律的应用计算技巧： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。SDd 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。 D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；ED线E

18、线P线图1.2.17 D、E与 P 三者之间的关系2.4.2 介电常数其中相对介电常数相对介电常数；介电常数介电常数，单位（F/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介质中例2-9 同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。其间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？ 图 同轴电缆的电场图 同轴电缆的电场LL2DdSSD 解解 ：（：（1 1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为度分别为+ + 和和- - 。由应用高斯定

19、理，得。由应用高斯定理，得即即 eD2所以所以eDE2 (a b) 又因为又因为 ab2dEdUbal0lnlEabUln20则则得得eEabU0ln (a a，此时，此时bh，故，故adah2C00llnln此外，对于此外，对于h a的情况，也可以采用高斯定理计算。设均匀传输线单位长线的情况，也可以采用高斯定理计算。设均匀传输线单位长线电荷密度为电荷密度为 ，则两导体轴心连线上距带正电荷导体，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为处的电场强度为)(xd2x2E00 x两导体间的电位差为两导体间的电位差为adaadadaaad2dxEU000adaxlnln)ln(ln显然，有上式计

20、算的电容与电轴法获得的结果相同。显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同。 从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数。数。 对于多导体需要引入部分电容概念。对于多导体需要引入部分电容概念。静电独立系统静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统

21、内的带电导体。 现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统。令各导体按0 - n顺序编号，其相应的带电量分别为q0，q1，qk，qn。由定义，知 q0 + q1 + + qk + + qn = 0 选0号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为 2.6.2 多导体系统的电荷和电位 部分电容 （n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；ii, 自有电位系数，表明导体i上电荷

22、对导体i电位的贡献；j , i互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献 ；写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。q 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；ii,自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献；iiji,互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献。 通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。q 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容)()(q2k2k1k1kk)

23、(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分电容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分电容）。kknkk2k1k)(部分电容性质: 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容i , jj , iCC ，即为对称阵； C (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；2)1n(n 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。静电独立系统中静电独立系统中n1个导体有个导体有 个部分电容个部分电容2) 1(

24、 nn部分电容是否为零，取决于两导体之间部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；有否电力线相连；部分电容可将场的概念与电路结合起来部分电容可将场的概念与电路结合起来设在建立带电系统电场的某一瞬时，场中某一点的电位是(r)，引入增量电荷q需作功 W = (r) q将转化为电场能量存贮在电场之中。由于静电场的能量仅取决于电荷的最终分布状态，与电荷怎样达到该状态的过程无关。因此，可设想这样一种充电方式，使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长。充电开始时各处电荷密度都为零(相当于m = 0)，充电结束时各处电荷密度都等于其最终值(相当于m=1)。由此可知，在充电过程中的任何时刻，电荷

25、密度的增量 = m (r)= (r) m = m (r)= (r) m 2.7 电场能量 2.7.1 带电体系统中的电场能量 对对m积分，得总电场能量为积分，得总电场能量为 S10V10edSm,rrmdVm,rrmW由于所有电荷按同一比例由于所有电荷按同一比例m增长，故电位增长，故电位 (m，r)= m (r)。上式得上式得SVdS21dV21W e如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为如果系统中无空间电荷，只有带电导体的情况，其电场能量为SdS21W e式中的积分面积式中的积分面积S应为全部导体表面。由于每一导体表面都是应为全部导体表面。由于每一导体表面都是等位面，而对于第

26、等位面，而对于第k个导体，可有个导体，可有 kkSkSq21dS21dS21kk (k = 1，n) 从而，得从而，得nkkkqW1e2121d21d21eSSSSWS1S2S图 电场能量enen q2enen q1V 不失讨论的一般性，现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例。设两导体携带的电量分别为q1和q2，其表面积对应为s1和s2，如图所示。该系统的总电场能量为由于导体表面的电荷面密度为 = D en = - D en 式中en 为导体表面的外法线方向的单位矢量；en为导体表面的内法线方向上的单位矢量。代入前式，得 21d21d21eSSWSDSD2.7.2 电场能量密度 在无限远处

27、如图示作一个无限大的球面在无限远处如图示作一个无限大的球面S ，则由于电荷分布在有，则由于电荷分布在有限区域，无限远处的场强按限区域，无限远处的场强按R-2及电位按及电位按R-1趋于零。因此，该系趋于零。因此，该系统总的电场能量为统总的电场能量为SSSSedSD21dSD21dSD21dSD21W21应用高斯定理，上式改写为应用高斯定理，上式改写为VVV21V21WdDDdDe考虑到场域中没有自由电荷分布，故考虑到场域中没有自由电荷分布，故D = 0，又由，又由E = - ，代入上式，最终得代入上式，最终得VVWd21eED由此可见，电场能量密度为由此可见，电场能量密度为 we = (D E)

28、/2 对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质，D = E，代入上式，得，代入上式，得we = E2/2 ()DDD 例例2-21：试计算半径为：试计算半径为a，带电量为，带电量为q的孤立导体球所具有的电场能量。的孤立导体球所具有的电场能量。 解解：采用如下三种方法进行计算。：采用如下三种方法进行计算。aqaqW842122e（1）孤立导体球的电位为）孤立导体球的电位为 = q/4 a，于是得，于是得a8qrdr8qdrr4r4q21dVD21dV21W2a22a222V2VEDe（2）应用电场能量密度公式，积分得）应用电场能量密度公式，积分得CqCUqUqqWkkk2212121212

29、22121e（3）由电容计算公式，电场能量）由电容计算公式，电场能量而该系统电容为而该系统电容为C=4 a，代入上式得，代入上式得aqCqW8222e可见上述三种方法可见上述三种方法所得结果相同。所得结果相同。第3章 静态电磁场II：恒定电流的电场3.1 恒定电场的基本方程与场的特性3.1.1 恒定电场的基本方程 由电荷守恒定律，可得恒定电流连续性原理0SdSJc导电媒质中恒定电场和静电场一样，满足环路定理：0ldlE0cJ0EEJc电媒质的构成方程为(欧姆定律的微分形式)，-电导率 引入标量电位函数(r r) ，即 E02结论： 恒定电场是无源无旋场。例3-1 设一扇形导电片，如图所示，给定

30、两端面电位差为U0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。 解解：采用圆柱坐标系，设待求场量为电：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位位 ，其边值问题为：，其边值问题为：电流密度分布为电流密度分布为 对于图示厚度为对于图示厚度为t的导电的导电片两端面的电阻为片两端面的电阻为 图 扇形导电片中的恒定电流场0022220,01,UDz01UC 20C 0U积分，得积分，得 =C1 + C2由边界条件，得由边界条件，得 ， 故导电片内的电位故导电片内的电位 eeEJ00UUabttdUUdUIURba00S00lneeSJdt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW = dU

31、dq 3.1.2 电功率EJdVdddUdIdtdWdP)(SJlE2EEJdVdPp电功率体密度电功率体密度 p E J(1) (1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件 0SdSJcnnJJ210ldlEttEE21对线性各向同性媒质， 111EJ222EJ2121tgtg3.1.3 不同媒质分界面上的边界条件 (2) (2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件良导体与不良导体分界面上的边界条件 21o901o02例如例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m，周围土壤的电导率2 = 10-2 S/m，1 = 89，可知，2 8。良导体表面可近似看作为等位

32、面PJ2n21J121(3) (3) 导体与理想介质分界面上的边界条件导体与理想介质分界面上的边界条件 02nJ01nJ01nE1121/tttJEE导体的电导率 1 很大02nE很小。E2nJ2tE2t(4) (4) 两种有损电介质分界面上的两种有损电介质分界面上的边界条件边界条件 PJ2J12, 21, 1nnJJ21nnEE2211nnDD12nnEE1122nJ2212112图 输电线电场示意图+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc1123.2 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟3.2.1 比拟方法0 DEDSqSD d02)(0静电场0E恒定电场（电源外）EJSISJ d0 J0E02恒定电场JIE静电场EDq 两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。U0lSlSddddUIGlESElESJclSlSddddUqClESElESDCG 接地电阻接地电阻 接地器和接地接地器和接地导线的电阻导线的电阻 接地器与大地接地器与大地的接触电阻的接触电阻 两接地器之间两接地器之间土壤的电阻土壤的电阻 当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。aRG41 跨步电压跨步电压 半球形接地器场强： rrIeE22场中任意点P的电位为 ：