第2章稳态热传导

1、一、基本概念一、基本概念 温度场：导热体中某时刻空间所有各点的温度分布。),(zyxft 温度场是时间和空间的函数，即稳态温度场：当温度不随时间变化时称为稳态温度场。 即：非稳态温度场：物体内各点温度随时间变化称为非稳态温度场。即：t0( , )tfx y zt0( ,)tfx y z，根据温度与坐标的关系可分：根据温度与坐标的关系可分：一维稳定（非稳定）温度场、二维稳定（非稳定）温度场、三维稳定（非稳定）温度场。2.等温面和等温线 浇注15分钟后砂型中的温度场等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。等温面与

2、等温线的特点：等温面与等温线的特点： (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。（2）在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线）,或者就终止与物体的边界上。（3）等温面（线）上没有温差，沿等温面（线）不会有热量传递。不同的等温面之间，有温差，有热量传递。（4）热流线与等温线（面）垂直。热流线表示热量传递方向的线。（5）由等温线（面）的疏密可直观反映不同区域热流密度的大小。（3） 温度梯度 沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限。 温度梯度和热流密度nntnttnlimgrad0温度梯度是向量，垂直于等温面，正向朝着温度增加的方向；温度梯度的方

3、向是温度变化率最大的方向。 mnmtnt注意：kjiztytxttgrad温度梯度的解析定义：温度场 中点处的温度梯度：( , , )tf x y z( , , )x y z温度场中方向 (cos,cos,cos )l)cos()coscoscos)(coscoscoslggradtlggradtlgradtkjikztjytixtztytxtlt的方向导数当 与 方向相同时：1),cos(lggradtlt达到最大。lg梯度方向的方向导数最大，其值等于梯度的模。即，梯度方向是温度变化最大的方向。（4） 热流密度 热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q表示，单位为 。 dFddQ

4、q 热流量是指单位时间内通过面积F所传递的热量，用Q表示，单位为W。dFFQq 热流密度和热流量都是矢量，它们和温度梯度位于等温面的同一法线上，且沿温度降低方向为正 。 总热量是指在时间 内通过面积F所传递的热量，用Q表示，单位为J或kJ。 00dddFFqQQ2/W mdQdFd 时间内通过面积传递的热量2 2 导热基本定律导热基本定律Fouriers LawFouriers Law导热的热流密度与温度梯度成正比，即：nqnttgrad 导热系数，物性值。单位为W/(mK)。负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。 热流密度为矢量，其在x、y、z轴上的投影用傅立叶定律表示为： xtqxytq

5、yztqz对于一维导热问题：xtqdd =grad qttn qn 物理意义： 表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由专门实验测定出来的。 注意：热导率的数值表征物质导热能力大小。（2）影响因素： 物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等，与材料的种类有关：与材料的几何形状无关。金属非金属固相液相气相.； 对金属对金属： 因为杂质造成晶格弹性变，影响自由电子运动。金属合金紫铜紫铜 黄金黄金 铝铝 黄铜黄铜 钢铁钢铁 不锈钢不锈钢 银银303204884516410385W (mC)对多孔性材料（非导电固体）对多孔性材料（非导电

6、固体）：由于空隙所含空气多，：由于空隙所含空气多，导热系数小，使得导热系数小，使得金属金属少孔少孔多孔多孔（3）不同物质的导热系数不同的原因： 构造差别，导热机理不同 a.气体的导热系数 机理：由分子的热运动和相互碰撞产生的能量传递。气体导热机理示意图13vlc气体分子运动均方根速度气体分子运动均方根速度u气体的密度；气体的密度；气体的定容比热气体的定容比热vc气体分子在两次碰撞间平均自由行程气体分子在两次碰撞间平均自由行程l气体的压力升高时：气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。减小、而两者的乘积保持不变。特点：1.气体的导热系

7、数几乎不 随压力的改变而变化。2.随温度的升高而增大。3.随分子质量的减小而增大。0.0060.6/()Wm k气体几种气体导热系数和温度的关系注意：混合气体热导率不能用部分求和的方法求，只能靠实验测定。b.液体的导热系数机理：主要依靠晶格的振动。特点： 随压力的升高而增大 随温度的升高而减小0.070.7/()Wm液体饱和条件下非金属液体的 导热系数和温度的关系20: 0.6 W (m C)C水液体的导热：主要依靠晶格的振动 c. 固体的导热系数机理：纯金属主要依靠自由电子的迁移，合金和非金属主要依靠晶格的振动传递能量纯金属：合金和非金属：保温材料：国家标准规定，温度低于350时热导率小于0

8、.12w/(m.k)的材料（绝热材料）TT12418/0.0253/WW金属非金属（m ）（m ）金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体金属的导热系数导热系数对温度的依变关系 2-2 导热问题的数学描述导热问题的数学描述 目的：确定导热体内部温度的分布 , 从而进一步 用傅里叶定律计算换热量、计算热应力。 导热微分方程式的推导导热微分方程式的推导理论基础：Fourier定律+能量守恒定律 导热微分方程式假设: (1)所研究的物体是各项同性的(isotropic)连续介质； (2)热导率、比热容和密度皆为已知； (3)物体内具有均匀分布内热源，热源强度 单位体积的导热体在单位时间内放出的热量

9、。3/vqWm( , , , )tf x y zvq在导热体内任意取出一微元体，根据能量守恒定律，在时间 yQxQx dxQzQyQz dzQy dyxzdxdzdyd导入微元体的总热流量+微元体内热源生成的热量 =微元体焓（内能）的增量IQQddd211dQ 净 导 入 热 量2dQ 生 成 的 热 量d I 内 能 的 增 加热流密度为矢量，净导入微元体的热量写成三个方向的净热量之和，即：z1ddddQQQQyx根据傅立叶定律，在 时间内X方向导入微元体的净热量为：dd)(d)ddd(d)ddd(d)d(dxVxtxxzyxtxxxzyqxxQxxQQQQxxxxxdyQxQx dxQzQ

10、yQz dzQy dyxzdxdzdy净导入=导入-导出同理可得,y，z方向净导入微元体的热量为：dd)(dVytyQydd)(dVztzQzdd)()()(d1VztzytyxtxQx，y，z三个方向净导入的热量为： 时间内微元体的发热量为： dddd2VqQv时间内微元体的焓值变化为：将上述式代入能量守恒定律得：三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方程的一般形式。ddd)(d)d(dVtcVtcIpp)()()()(tcqztzytyxtxpv2 几种特殊情况若物性参数, Cp ,均为常数无内热源，常物性：稳态，常物性：稳态，常物性，无内热源：222222vpqttttaxyzc简写为

11、：2vppqtatcac为热扩散系数(导温系数) /s 2tat2vq0t20t圆柱坐标下的拉普拉斯方程：球坐标下的拉普拉斯方程：常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程：0112222222zttrrtrrt0sin1)(sinsin1)(1222222trtrrtrr0dd22xt3 定解条件（单值性条件） 导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界几何条件：说明导热体的几何形状和大小，它确定了研究问 题的空间区域，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等；物理条件：说明导热体的物理特征，包括材料的热物性和有 无内热源等时间条件（初始条件）：给定过程初始

12、时刻所研究范围（包 括边界）内的温度分布，其数学式为边界条件：说明了所研究对象的边界上的换热情况。常见的 有以下三类边界条件： ( , , ,0)tf x y z第一类边界条件 第二类边界条件：给定物体表面上热流密度的分布随时间的变化 。非稳态导热：最简单的情况：稳态：w10( )tf时，wconsttww20()( )tqfn 时，wconsttww()consttqn ww()consttqn a.非稳态导热：b.最简单的情况：c.稳态时:第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面方向温度梯度值。特例：绝热边界面0wwtqn 0wtn 第三类边界条件：当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，

13、已知物体边界上的对流换热系数和周围流体的温度 。牛顿冷却定律傅里叶定律wwtqn 坐标轴与n同向：坐标轴与n反向：wfw()tttn fww()tttn 注意： a =0时，绝热边界条件 a，第一类边界条件)(fwwttqnxxwtft未知已知wftt;,2-3 2-3 单层及多层平壁的稳态导热单层及多层平壁的稳态导热2.3.1 单层平壁的稳态导热几何条件：单层平板厚度为物理条件：，c，已知， 无内热源时间条件：稳态导热边界条件：第一类边界条件0t工程中很多情况下可以忽略平壁面内的传热，仅考虑厚向传热根据上面的条件可得：220d tdx第一类边界条件：120,xttxtt21121ttcct1

14、dtcdx直接积分：带入边界条件：12tc xc)()()()(tcqztzytyxtxpv211tttxt 21ttdtdx带入傅里叶定律得12d()dttqttx ()tQqFFRF热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况2.3.2 2.3.2 变导热系数时单层平壁的稳态导热变导热系数时单层平壁的稳态导热 对于上面大平壁的稳态导热问题，其它条件不变，只是导热系数不为常数，而是随温度变化的线性函数 )1(0bt则热流密度，xtqdd由于热量密度为常数，对上式分离变量积分： 21d)1(d00tttbtxq)(21 )2(212120021ttttbtbtqttt21ttq)1 (0tb式中

15、：热流量为： )(t)(21FFttqFQ温度场：此问题的导热微分方程为： 0)dd(dxtdx边界条件为： 210ttxttx时，时，积分得： 1ddcxtxctbtdd)1 (102120)2(cxctbt代入边界条件，得 )2()(21102211tbtcttcxttttbttb)()2(22101212所以 解之得： bxbqtbt12)1(021 温度分布曲线热流密度和热流量也可以由傅立叶定律和所求得的温度场来确定。 q稳态导热的热流密度，为常数 2.3.3 多层平壁的稳态导热多层平壁的稳态导热 三层平壁的稳态导热u多层平壁：由几层不同材料组成u假设各层之间接触良好，可以近似的认为结

16、合面上各处温度相等u边界条件：（两端的温度）u热阻：1110,ninixttxtt时，111,nnnrr由热阻分析法：111111nnnniiiiittttqr热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况问：现在已知q,如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：1121qtt1211ttq2232qtt2322ttq.第i层：1iiiiqtt1iiiittq接触热阻固体表面的实际接触情况固体两个表面不可能处处接触，在离开部分形成空隙，在空隙中常常充满空气。热量将以导热和辐射的方式穿过这个气隙层。这种情况与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加热阻，称之为接触热阻 由于接触面的情况比较复杂，接

17、触热阻主要靠实验测定。2.4 无限长圆筒壁的稳态导热211pttttcrqrrrrzz假设圆筒的长度为 L ,圆壁筒的外半径小于长度的1/10，忽略轴向、周向传热一维、稳态、无内热源、常物性：0ddtrdrdr第一类边界条件：1122wwrrttrrtt时，时， 单层圆筒壁对上述方程（a）积分两次得：1dtrcdr12tcrc1112;wtcrc2122wtcrc211;/wwttc21 rr2121/wwwcttt121r rr211/tttt121 r r rr应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果温度呈对数曲线分布圆筒壁内温度分布：111221ln( / )()ln(/ )ww

18、wr rttttrr圆筒壁内温度分布曲线的形状？12211;ln(/ )wwttdtdrrrr 21222211ln(/ )wwttd tdrrrr21222122,0 ,0 ,wwwwdtttd rdtttd r若向 上 凹若向 上 凸圆筒壁内部的热流密度和热流分布111221ln( / )()ln(/ )wwwr rttttrr12211ln(/ )wwttdtdrrrr 1221ddln(/ )wwtttqrrrr 1212212121ln(/ )ln(/ )2wwwwttttQqFrlrrrrrl2wm w圆筒壁单位长度的热流密度 )ln(211221rrttlQql圆筒壁稳定导热时，

19、沿半径方向的热流量不变，则圆筒壁单位长度的热流密度也不变。 w/mn层圆筒壁：由不同材料构成的n层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算1(1)111ln()2ww nniiiittQrlr1(1)111ln()2ww nlniiiittqrr通过单位长度圆筒壁的热流量其他变面积或变导热系数问题求解导热问题一般分两步： 求解导热微分方程，获得温度场； 根据傅里叶定律和已获得温度场计算热流量。 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场直接获得热流量，此时，一维傅里叶定律：dtQAdx txtxdtAAQAdx 当，时，分离变量后，注意到热流量Q与x无关（稳态），得

20、： 22211121212121txttxtt dtttdxQt dtttA xtttt 2121ttt dttt2112xxttQd xAx当随温度线性分布时，即 实际上，不论 如何改变，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面所讲过的所有定导热系数的公式，只是需要将 换成平均导热系数。0at1202tta则例题2-3 为了减少热损失和保证安全工作条件，在外径为133 mm的蒸汽管道外覆盖保温层。蒸汽管外壁温度为400。按电厂安全操作规定，保温材料外侧温度不得超过50。如果采用水泥珍珠岩制品作保温材料其导热系数为 W/(mK)，(其中t的单位为)， 为常数。为把每米长管道的热损失控制在 46

21、5 W之下，问保温层厚度至少应为多少毫米？解: 为确定导热系数值，先算出保温材料的平均温度： 400502252t0.0650.0001050.0650.000105 2250.0087W/(m K)t12211ln()2lttqrr21212()lnlrttrqt000105. 00651. 0和pc由单层圆筒壁的导热计算公式: 平均导热系数为：12212()lnln0.13320.0887 (40050)ln2.2912465lttrrq 20.101mr 保温层厚度为：210.1330.1010.035m35mm2rrdI解： 电流通过电热丝将发热，假定发热是均匀的。 则此问题是无限长圆

22、柱体内具有均匀热源的 稳态导热问题.t圆柱坐标形式导热微分方程：0)dd(dd1vqrtrrr2r0112222222vqzttrrtrrt对于该问题例题2-4 一电热丝直径为2.03mm，电阻率 导热系数 ，Cp和为常数，稳态时通过电热丝的电流为150A。试确定中心线上的温度比表面温度高多少？680 10cm19.03/w m kdIt2r22d0,0,trdrrrtt边界条件：（1）（2）1t2txy0dydt0dxdt绝热面积分两次，得：212ln4crcrqtv02|10rcrqdrdtvr01c42222rqtcv若要使 上式有意义，则0r10c 必须又由边界条件（1）：也可得：由边

23、界条件（3）得：热源强度 922326222222222222210718.1)1003.221(101080150)(rIlrrlIlrRIqvW/m3 3 .2303.194)1003. 221(10718. 142392220rqtttv 则)(1 422222rrrqttv所以已知：空心球体，0sin1)(sinsin1)(1222222trtrrtrr1, 212,pct tt t均为常数保持不便，且求：温度场和热流量解：导热微分方程球坐标拉普拉斯方程：常物性、无内热源的一维稳态导热问题 0tt0d)(d22rrt所以边界条件： 2211ttrrttrr时，时，积分两次，得： rcc

24、t21利用边界条件，可求出积分常数： 1211221rrt rtrc1221212)(rrttrrc则温度场为： )()(12121112212rrrttt rtrrrt半径不同，穿过不同等温面的热流密度也不相同，但热流量不变 由傅立叶定律可求出热流量 )11(41)(14dd4dd2121221211222rrttrrrttrrrrtrrtFQ)11(4121rr单层球壁的导热热阻 利用热阻串联的概念，则多层球壁导热的热流量计算公式为：niiiinrrttQ1111)11(41niiiirr11)11(41多层球壁的导热热阻。 ir1ir例题2-5 用球壁导热仪测定珠光砂（膨胀珍珠岩）的导热

25、系数，该装置结构如图所示。两同心空心球壳均由很薄的紫铜板制成，其热阻可忽略不计。内外层之间紧实地充填了珠光砂，内层空心球壳中装有电阻丝，通电所产生的热量通过内层球壁、珠光砂及外层球壁散发出去。内外层球壳的直径 分别为80mm、160mm。稳定导热情况下测得内外层球壁的表面温度、分别为87.4和47.7；通过加热器电阻丝的电流 =83.6mA，电压 =26V，求此时珠光砂的平均导热系数。 球壁导热仪示意图1,2d d 383.6 10262.1736wQIU忽略内外球壳的导热热阻，则通过珠光砂的导热量即为电阻丝的发热量 )11(412121rrttQ05446. 0)08. 0104. 01()

26、7 .474 .87(41736. 2)11()(42121rrttQW/(mK) 即珠光砂在平均温度 时的导热系数为0.05446 W/(mK)。 1267.62ttt解 ： 一维稳态导热问题。 电阻丝的发热量为：2-6 通过肋片的导热及散热量的计算u第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热121211ffttQWAAAu为了增加传热量，可以采取哪些措施？增大温差 ，但受工艺条件限制。减小热阻：金属壁一般很薄，热导率很大，导热热阻一般可以忽略；增大 1 ,2但提高1 ,2 并非任意的；增大换热面积A；12ffttQAt W对流换热：工业上强化换热的措施：2.6.1 通过等截面棒的稳态导热 lb

27、 等截面直肋已知： 等截面直肋 肋根温度，环境流体温度 侧面与端面的对流换热系数1. 导热系数与截面面积为常数 fftttt0, 02, 1f,求：温度分布、热流量Q分析：严格地说，此为三维、稳态、常物性、无内热源、 第一、三类边界条件的导热问题。故此，忽略次要 因素，抓主要矛盾，将问题简化。简化：棒材的导热性能很好，截面积不大，周围流体对其表 面的对流换热系数也不大。可近似地认为沿棒的横截面温度是均匀的，即温度仅沿棒的长度方向变化。一维问题边界条件：肋根，第一类、侧面及端面对流换热0tft21求解： 微元法傅立叶定律能量守恒Q0QxQx+dxltfo 等截面棒稳态导热示意图ldQ能量守恒：d

28、QQQdxxx傅立叶定律：dxdtffqQxxdxdxtdfQdxdxdQQQxxxdxx22牛顿冷却公式：xUttdQfd1）（ 0)(122fttfUdxtdU为棒横截面的周长 Uf令：ftt fUm10222mdxd则22000dd)(dd0 xttxtlxttttxff，即时，即时，边界条件： 通解为： mxmxecec21将边界条件代入到上式中，有： 021cc)()(21221mlmlmlmlmecmecmecmec)()1 ()1 (2)(2)(20mlmlmlmlxlmxlmeemeeemem应用双曲函数：2shxxeex2chxxeexxxxxeeeexxxchshth)(s

29、h)(ch)(sh)(ch220mlmmlxlmmxlm棒向周围流体传递的热量可由基面(x=0)处的导热量给出： )(th1)th()(sh)(ch)ch()sh(dddd22022000mlmmlmmfmlmmlmlmmlmfxfxtfQxx端面绝热,可令 02 )(ch)(ch0mlxlm)th(0mlmfQ此时的温度分布及散热量为： 例题2-6 空压机贮气筒顶部装一根铁制测温套管，套管内装有变压器油，水银温度计插入套管中，用以测量气筒中空气温度，如图所示。温度计指示出铁管底部的温度，由于沿管导热的结果，管端的温度必低于简内空气的温度 。如果温度计的读数为 ，靠近管基处的温度为 ，管的长度

30、 管壁的厚度 ，其导热系数 ，压缩空气与管壁的对流换热系数 ，试求此时的测量误差。l、 套管温度计的示意图ftft100ltmml140500tlt1mm1)/(2921kmw)/(58kmw解解: 温度计套管可看作是从贮气筒筒体上伸出的空心棒。插入套管底部的温度计测出的温度应是其底部温度，即棒端的温度。 |lftt测 量 误 差 ：0000()12|ch()()()lflxlfeettch m lxttmlch mlch ml1)(ch)(ch0mltmlttlf由等截面棒的稳态导热可知，棒端部的温度 与其周围流体的温度 是不相同的，所以温度计的读数与筒内空气的温度有误差，此误差值就是棒端处的过余温度。在右式中取xlltft则：)(ch)(ch0mlxlmdUdf 14. 3001. 0582911llfUml6 .11)14. 3(ch)(c