-偏微分方程差分方法

1、偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不 可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分 方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1 椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程 G是x,y平面上的有界区域，其边界r为分段光滑的闭曲线。当f（x,y）三0时，方程（9.1）称为Lapl

2、ace（拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 这里，n表示r上单位外法向，a（x,y）,3（x,y）,丫（x,y）和k（x,y）都是已知白函数，k（x,y）0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u（x,y）称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u（x,y）在区域G的一些离散节点（为，y）上的近似值u,j -（xi,yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确 解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散 节点上的近似值。

3、 设G=0 xa,0yAm(n0,B(x,Y)Bmn0,E(x,y)0引进半下点x1=为上一h1idio,一22 1 =Yi 1h2,利用一阶中心差商公式，在节点（ :：；：U1:：U1;：U1_2 -(A-)(i,j)(A)(i,j)-(A-)(i-,j)O(h1) x:xh1ex2：x2 A1U(i*j)U(i,j)-A1U(i,j)U(iTj)+O(h；)对工(B*),且类似处理,h1i2，Jh1 5jh1二Y二Y二y (i,j)-U(i1,j)u(i1,j)O(A2) ：x2n 就可推得求解方程(9.9)的差分方程 -ai1,jUi,j.ai,jUi,j.ai,j1Ui,j1,ai,j

4、Ui,j-ai,jUi,j/ee、 (9.10) =f(i,j),(i,j)Gh 其中(Xi,Yi),(i,j)eTh(9.7) (Ijf) 图 9 9- -2 2 (9.8) 其中 yi-2 i,j）处可有 .2,.h1c、 ai+,jhi(Al.+Ci,j) i%2 aijhi(A1-Ci,j) W2 _2h2 hi,j+=h2-2(Bi.4i+?Di,j)i,j22 ai,j,=hL(B.i-?Di,j) i、2 .2,.、./一_、一 ai,j=hi(A1.+A1)+h2(B1+B1)+Ei, i-,ji-,ji,j-i,j- 2222 显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1,

5、C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程(9.9)就成为Poisson方程(9.1),而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为O（h；+h|）阶。 9.1.2一般区域的边界条件处理 前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。 考虑Poisson方程第一边值问题 Au=f（x,y）,（x,y）wGu=cc（x,y）,（x,y）w 其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线:进行矩形网格剖分，见图9-3。 如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j）,（i-1,j）,（

6、i,j+1）和（i,j-1）属于G=GuI则称其为正 则内点，见图9-3中打“。”号者；如果一个节点（i,j）属于G且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图 9-3中打.”号者。记正则内点集合为Gh,非正则内点集合为rh。显然，当G为矩形区域时，Gh=Gh,rh=h成立。 在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式 3Uf,j2Ui,j+u-,jJUi,j书2Ui,j+Ui,j,=fi,j,（i,j）WGh（9.1313） h1h2 在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将 因此必须补充非正则内点处的方程。 若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中 D点，则利用边界

7、条件可取UD=a（D） 对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B 方法。 a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点 值作为U（B）的近似值UB,即UB=U（E）=a（E） 直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。 b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u（B）进行线性插值 则得到点B处的方程 线性插值法精度较高，为二阶近似。 对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相 一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。 (9.11) (9.12

8、) x=xo+ih1,y=yo+jh2,i,j=0,1,，对区域G 出现非正则内点上的未知量， 点，一般可采用如下两种处理 （如图9-4中E点）上的u的 D D 图9 9- -4 4 对于一般区域上二阶椭圆型方程(9.9)的第一边值问题，可完全类似处理。 第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。 9.2抛物型方程的差分方法 本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。 9.2.1 一维问题 作为模型，考虑一维热传导的初边值问题 :u：2u一、 J=aJ+f(x,t),0cxl,0tT(9.14) 一t二x u(x,0)=中(x),0 xl(9.15) u(0,t)=

9、gi(t),u(l,t)=g2(t),0tT(9.16) 中(x),g1(t)和g2(t)都是已知的连续的函数。 现在讨论求解问题(9.14)-(9.18)的差分方法。首先对求解区域G=0WxWl,0t0都会广生 2 但只能就具体取定的r值进行，并且也不适用 9.2.2差分格式的稳定性 前节构造的几种双层差分格式都可以表示为如下的矩阵方程形式 kkLikJ.上匚k u=Hu+F 04 u= (9.32) 其中H称为传播矩阵。对于显格式H=A,隐格式H=B-1,六点对称格式H=（I+B）-1（I+A）。一般的三层格式也可以转化为双层格式。 为了讨论方便，设在初始层产生误差S0,且假定右端项Fk的

10、计算是精确的。用uk表示当初始层存在误差8时, 由差分格式（9.32）得到的计算解，则Uk满足方程 kIIk-1_LLk u=Hu+F -04,0 u-三 (9.33) 记误差向量好=uk-uk,则8k满足方程 ；k=H2,k=1,2, 名0为初始误差 (9.34) 定义9.1称差分格式（9.32）是稳定的，如果对任意初始误差 0,误差向量胪在某种范数下满足 k-0,0-0 (9.35) 其中C为与h,无关的常数。 这个定义表明，当差分格式稳定时，它的误差传播是可控制的。 从（9.34）式递推得到 因此，差分格式稳定的充分必要条件是 Hk|C,0k0,条件(9.37)成立。注意，H=B-1仍为实对称矩阵，所以古典隐格式对任何网比r0都是稳 定的，称为绝对稳定。 例9-3六点对称格式此时H=(I+B)-1(I+A),利用矩阵A和B的特征值可得到矩阵H的特征值为 则对任意r0,条件(9.37)成立。由于A和B均为实对称矩阵，且AB=BA,则可验证H也是实对称矩阵。所以六点对称格式是绝对稳定的。 习题九 9-1试用五点差分格式求解Poisson方程的边值问题 其中G=-1x,y1。取步长h=0.5求解。 9-2试写出求解Laplace方程边值问题 的