数理统计统计量及其分布学习教案

1、会计学1数理统计数理统计(sh l tn j)统计量及其分布统计量及其分布第一页，共52页。第1页/共52页第二页，共52页。是未知参数例：22, ),(NX,11niiXnXniiXXnS12211niiXU12211xF)1(xG niixH12第2页/共52页第三页，共52页。第3页/共52页第四页，共52页。xniinxnnxxx111.kiinnfnnfxfxx111.第4页/共52页第五页，共52页。4 .991258479101x第5页/共52页第六页，共52页。1002122592382201x第6页/共52页第七页，共52页。0)(1niixx2cxi2xxic定理5.3.2

2、 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如的函数中, 最小,其中为任意给定常数.第7页/共52页第八页，共52页。2cxi2xxi第8页/共52页第九页，共52页。22222222xixcixnxixcixxixcixnxixcxxixcix第9页/共52页第十页，共52页。x)2,(N)2,(nNx2)(,)(xVarxE)2,(nNx第10页/共52页第十一页，共52页。) 1 , 0(/ )(NxnL)2,(nNx第11页/共52页第十二页，共52页。othersxxxxxp, 0534/ ) 3(31 ,4/ )3()(第12页/共52页第十三页，共52页。)221. 0 , 3()

3、303/4, 3(NNx2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以(suy)样本均值的渐进分布为)226. 0 , 3()302, 3(NNx3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1,所以样本均值的渐进(jinjn)分布为)218. 0 , 1 ()301, 1 (NNx第13页/共52页第十四页，共52页。第14页/共52页第十五页，共52页。niixxns12*12称为样本方差.2*ss 称为样本标准差.niixxns12211也称为样本方差(也称无偏方差)2ss 也称为样本标准差.n不大时常用在定义5.3.3 设x1,x2,xn是来自某个总体的样本，则它x的平均偏差平方和:关于

4、样本均值第15页/共52页第十六页，共52页。niixx10说明(shumng)：1n 称为偏差平方和 的自由度niixx12自由度的含义(hny)是： nxxxxxxn,211n个偏差中只有个数据可以自由变动,而第个则不能自由取值,因为n222212xnxnxxxxiiinii不同表达式：样本偏差平方和的三种第16页/共52页第十七页，共52页。kiiiKIiixnxfnxxfns12212211)(11练习(linx):例第17页/共52页第十八页，共52页。,)(,)(2xVarxE222)(,)(,)(sEnxVarxE定理5.3.4 设总体X具有二阶矩,即x1,x2,xn为从总体得到

5、的样本,则:nnxEnxEnii11)(nnnxVarnxVarnii222121)(证明(zhngmng):第18页/共52页第十九页，共52页。222222222222) 1()()( )()()()(nnnnnnxVarxEnxVarxExnExExnxExxEiiiii 2222) 1(1111nnxxEnsEi第19页/共52页第二十页，共52页。第20页/共52页第二十一页，共52页。定义(dngy)5.3.4 设x1,x2,xn是样本,则统计量nikikxna11称为样本k阶原点矩nikikxxnb1)(1k称为样本 阶中心矩x2*s2s,是样本矩吗？ 请回答(hud)： 定义5

6、.3.5 设x1,x2,xn是样本(yngbn),则统计量2/3231/bb称为样本偏度.第21页/共52页第二十二页，共52页。说明(shumng):1反映了总体分布密度曲线的对称性信息.1、1是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.2、, 01说明数据是对称的. 2/3231/bb称为样本偏度.第22页/共52页第二十三页，共52页。, 01说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的. , 01说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.第23页/共52页第二十四页，共52页。定义5.3.6 设x1,x2,xn是样本,则统计量32242bb称为样本峰度.第24页

7、/共52页第二十五页，共52页。第25页/共52页第二十六页，共52页。第26页/共52页第二十七页，共52页。第27页/共52页第二十八页，共52页。第28页/共52页第二十九页，共52页。.,.,)(21个观测值大排列后得到的第由小到它的取值是样本观测值个次序统计量样本的第称为该的样本是取自总体设iixXxxxin统计量称为该样本的最大次序统计量称为该样本的最小次序个次序统计量称为该样本的第,.,max,.,min21)(21)1()(nnnixxxxxxxxix那么相互独立同分布已知样本,.,21nxxx请回答： ?,.,21分布相同吗独立吗次序统计量nxxx7 . 3 . 5定义第29

8、页/共52页第三十页，共52页。例 设总体X的分布(fnb)为仅取0,1.2的离散均匀分布(fnb),分布(fnb)列为x012p1/31/31/3现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有种，2733将它们列在下表左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。第30页/共52页第三十一页，共52页。000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222

9、2222010121x1x2x3x 1x 2x 3x2x3x 1x 2x 3x第31页/共52页第三十二页，共52页。的分布列分别如下)3()2()1(,xxx 的联合分布列为和21xx2772719002770, 0)2()1()2()1(xPxPxxP分布不相同显然)3()2()1(,xxx不独立与即)2()1(xx第32页/共52页第三十三页，共52页。则有为样本，分布函数为设总体的密度函数为,)(),(21nxxxxFxp)()(1)()!()!1(!)(:) 11)(xpxFxFknknxpxkknkkk的密度函数为个次序统计量样本第 zyzpypzFyFzFyFjnijinzypj

10、ijnijiji),()()(1)()()()!()!1()!1(!),(:)211,度函数为个次序统计量的联合密个与第样本第第33页/共52页第三十四页，共52页。第34页/共52页第三十五页，共52页。中抽得一个容量为5的样本,试计算 212XP现从该总体10,3)(2xxxp设总体密度函数为1, 110,0, 0)(3xxxxxF解：由总体密度函数(hnsh)求出总体分布函数(hnsh)为:335332331221601320)(1)()()!25()!12(! 5)(xxxxxxFxpxFxp1207. 020120160)(211874381032103352102)2(dzzzdy

11、yydxxxdxxpXP第35页/共52页第三十六页，共52页。10,)1 ()!()!1(!)(1xxxknknxpknkk这正是1,knkBe的分布.) 1 , 0(U,21为样本nxxx设总体分布为个次序则第k统计量的密度函数为第36页/共52页第三十七页，共52页。例) 1 , 0(U,21为样本nxxx设总体分布为的联合密度函数为则)()1(,nXX10,)(1(),(2, 1zyyznnzypnn的密度函数下求)1()(XXRn则由,100)()1(RRXXRn.)2 , 1(的分布这正是参数为nBe)1 () 1()() 1()(2102rrnndyyrynnrprrnR极差第3

12、7页/共52页第三十八页，共52页。第38页/共52页第三十九页，共52页。则为该样本的次序统计量是取自某总体的样本设定义,)()2()1(21nnxxxxxx为偶数为奇数nxxnxmnnn,21,122215 . 0分位数定义为样本的p是整数若不是整数若npxxnpxmnpnpnpp,21,1)1(定义为样本中位数5 . 0m第39页/共52页第四十页，共52页。第40页/共52页第四十一页，共52页。第41页/共52页第四十二页，共52页。max75. 035 . 0,25. 01min,xmQmmQx这五个数来大致(dzh)描述一批数据的轮廓第42页/共52页第四十三页，共52页。第43页/共52页第四十四页，共52页。第44页/共52页第四十五页，共52页。第45页/共52页第四十六页，