数理统计基本概念学习教案

1、会计学1数理统计数理统计(sh l tn j)基本概念基本概念第一页，共60页。 总体、样本与统计量总体、样本与统计量 1）研究如何以有效的方式研究如何以有效的方式收集和整理收集和整理随机数据随机数据; ;数理统计的引入数理统计的引入第1页/共60页第二页，共60页。 两类工作两类工作(gngzu)(gngzu)有密切联系有密切联系. .将主要介绍统计推断方面将主要介绍统计推断方面(fngmin)(fngmin)的内容的内容. .总体：研究对象的全体总体：研究对象的全体(qunt)(qunt)所组成的集合所组成的集合. .个体个体：组成总体的每个单位元素：组成总体的每个单位元素. . 例例1

2、要考察本校男生的身体情况，则将本校要考察本校男生的身体情况，则将本校的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是一个个体一个个体. .二、总体二、总体第2页/共60页第三页，共60页。 例例2 2 考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品(chnpn)(chnpn)视为总体，每一个元器件即为一个个体视为总体，每一个元器件即为一个个体. . 通常需要对总体通常需要对总体(zngt)(zngt)的一项或几项数量指标进行研究的一项或几项数量指标进行研究. . 如仅考虑男生的身高和体重如仅考虑男生的身高和体重(X, Y)

3、, ,不考虑不考虑男生的视力、胸围等男生的视力、胸围等. . 第3页/共60页第四页，共60页。总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 由于上述由于上述(shngsh)(shngsh)数量指标往往是随机变量，具数量指标往往是随机变量，具有一定的分布有一定的分布. .总体总体(zngt)(zngt)分布是指数量指标分布是指数量指标 X X的分布的分布. .三、样本三、样本 一般，从总体中抽取一部分一般，从总体中抽取一部分( (取取 n 个个) )进行观测，再依据这进行观测，再依据这 n个个体的试验个个体的试验( (或观察或观察) )的结果去推断总体的性质的结果去推断总体的性质. .第4页/共6

4、0页第五页，共60页。 样本样本: : 按照一定按照一定(ydng)(ydng)的规则从总体中抽取的一部分个体的规则从总体中抽取的一部分个体. .抽样：抽取抽样：抽取(chu q)(chu q)样本的过程样本的过程. .样本容量：样本中个体样本容量：样本中个体(gt)(gt)的数目的数目 n . n . 将第将第 i 个个体的对应指标记为个个体的对应指标记为 Xi，i=1,2, , n, 构成的随机向量构成的随机向量 (X1 , X2 , , Xn )称为样本称为样本. 样本样本是一组随机变量是一组随机变量，其具体试验其具体试验(观察观察)数值记为数值记为：x1 , x2 , , xn ，称为

5、称为样本观测值样本观测值，简称，简称样本值样本值.第5页/共60页第六页，共60页。为使样本具有代表性，抽样应满足什么为使样本具有代表性，抽样应满足什么(shn me)条件条件从民意测验从民意测验(mn y c yn)看抽样看抽样?（1）Xi 与总体与总体(zngt)同分布；同分布；（2） X1 , X2 , , Xn 相互独立相互独立. 定义定义 设设X1 , X2 , , Xn是来自总体是来自总体X的样本，如果的样本，如果相互独立相互独立且每个分量与总体且每个分量与总体同分布同分布，称其为，称其为简单随机样本简单随机样本，简称样本，简称样本.第6页/共60页第七页，共60页。 若总体若总体

6、X的分布的分布(fnb)函数为函数为 F(x), 则样本则样本X1 , X2 , , Xn的联合分布的联合分布(fnb)函数为函数为,),(221121nnnxXxXxXPxxxF nkkXxFk1)(第7页/共60页第八页，共60页。第8页/共60页第九页，共60页。 51151)(1ixiiiiipxpxXP).5 , 2 , 1(, 1, 0 ixi 故故 ( X1 , X2 , , X5 ) 的联合的联合(linh)分布律为分布律为 51551)(1ixixiippPX1=x1 , X2 =x2, , X5 =x51(1),0,1xxP Xxppx 解：因解：因第9页/共60页第十页，

7、共60页。),(21nXXX), 1 , 0(!11 inniikkeknii 第10页/共60页第十一页，共60页。则则 2212)(2221)2(),( inixnneXXX 第11页/共60页第十二页，共60页。判断判断(pndun)统计量统计量是随机变量是随机变量(su j bin lin)且不含未知参数，称且不含未知参数，称 T为统计量为统计量. 对相应(xingyng)的样本值( x1 , x2 , , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , , xn ) 为统计量的统计值.四、统计量四、统计量 定义定义 设设X1 , X2 , , Xn是总体是总体X的样本，的样本，T为为

8、n元实值函数，若样本的函数元实值函数，若样本的函数T=T(X1 , X2 , , Xn)第12页/共60页第十三页，共60页。2555121)1( , 2 , max , XXpXiXXXi 例例 1 设总体设总体 X B( 1 , p )，其中，其中 p 是未知参数，是未知参数， ( X1 , X2 , , X5 ) 是来自是来自(li z) X 的简单随机样本，的简单随机样本， 1) 指出指出(zh ch)以下变量哪些是统计量，为什么？以下变量哪些是统计量，为什么？2) 确定确定(qudng)( X1 , X2 , , X5 ) 的联合概率分布？的联合概率分布？ 25pX 解解 只有只有

9、不是统计量不是统计量,因因 p 是未知参数是未知参数.第13页/共60页第十四页，共60页。总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 统计量统计量 是是 随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)(或向量）或向量）样样 本本 是是 随随 机机 向向 量量第14页/共60页第十五页，共60页。样本样本(yngbn)(yngbn)均值：均值： 样本样本(yngbn)(yngbn)方差：方差： niiXnX11 niiXXnS122)(11常见常见(chn jin)统计量：统计量：样本样本(yngbn) k (yngbn) k 阶原点矩：阶原点矩： 样本样本(yngbn

10、)k(yngbn)k阶中心矩：阶中心矩： nikikXnA1111()nkkiiBXXn 统称统称样本矩样本矩第15页/共60页第十六页，共60页。XA 12222221111niinBSXXAAnn 几个几个(j )(j )重要关系式：重要关系式：X, S2, Ak, Bkx, s2, ak, bk统计统计(tngj)量量统计统计(tngj)值值第16页/共60页第十七页，共60页。 思考思考 样本矩与总体矩样本矩与总体矩 ( (即第四章中即第四章中定义定义(dngy)(dngy)的矩的矩) ) 的概念有什么区的概念有什么区别？别？ 样本矩样本矩 是是 随机变量随机变量! ! 总体总体(zn

11、gt)(zngt)矩矩 是是 数值数值! !第17页/共60页第十八页，共60页。总体总体(zngt)、个体、个体简单简单(jindn)随机样本随机样本统计统计(tngj)量量 求样本的联合分布律或密度函数求样本的联合分布律或密度函数样本均值样本均值样本方差样本方差样本矩样本矩第18页/共60页第十九页，共60页。 某厂生产的一批产品某厂生产的一批产品(chnpn)中次品率为中次品率为 p 。从中抽取。从中抽取10件产品件产品(chnpn)装箱。装箱。第19页/共60页第二十页，共60页。第20页/共60页第二十一页，共60页。Rxexfx ,21)(22 上侧分位数上侧分位数u u ( 0

12、( 0 11）满足）满足(mnz)(mnz)标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布 udxxfuXP)(一、四种常用统计分布一、四种常用统计分布第21页/共60页第二十二页，共60页。对于对于(duy)(duy)正态分布有：正态分布有：上侧分上侧分位点位点u 1)(u )(11uuXPuXP阴影部分阴影部分(b fen)面积为面积为第22页/共60页第二十三页，共60页。查表查表 如如 0.025 时时， u ？975. 0025. 01)(025. 0 u96. 1025. 0 u第23页/共60页第二十四页，共60页。 例例 设随机变量设随机变量X 服从服从(fcng)正

13、态分布正态分布N(0,1), 对给定的对给定的(0 45 ) n 45 )时，有时，有第31页/共60页第三十二页，共60页。 2(n) 的的上侧分位数上侧分位数( 0 1 )： )(2222)()(ndxxfnP阴影部分阴影部分(b fen)面积为面积为第32页/共60页第三十三页，共60页。?1.961.58,(0,1)1. XPNX?24.996P6.262,(15)2.222 ),1 , 0(. 1NX58. 196. 196. 158. 1 XPXPXP 58. 1196. 1 XPXP918. 0)943. 01 (975. 0)58. 1 (1 )96. 1 ( 第33页/共60

14、页第三十四页，共60页。注意注意(zh y) (zh y) 应注意应注意(zh y)(zh y)分布表的定义与查法！分布表的定义与查法！(15)2.2224.996P6.2622 24.996P6.262P22 0.9250.050.975 996.24)15(262. 6)15(205. 02975. 0 第34页/共60页第三十五页，共60页。3.自由度为自由度为 n的的 t 分布分布(fnb)Tt(n) 又称学生氏分布又称学生氏分布(fnb)-(fnb)-第一个研究者以第一个研究者以StudentStudent作笔名发表文章作笔名发表文章. .RxnxnnnxfnT ,)1()2()21

15、()(212 第35页/共60页第三十六页，共60页。即随机变量即随机变量(su j bin lin) T 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布. 定理定理2 设随机变量设随机变量X, Y 相互相互(xingh)独立独立, X N(0,1)，Y 2(n)，则，则)(ntnYXT 结构结构(jigu)定理定理第36页/共60页第三十七页，共60页。 )()()(ntTdxxfntTP阴影部分阴影部分(b fen)面积为面积为t (n) 的的上侧分位数上侧分位数 t (n) ( 0 1 )：第37页/共60页第三十八页，共60页。T 分布分布(fnb)的特点：的特点：1.关于关于(gu

16、ny)纵轴对称：纵轴对称：)()(1ntnt 例例 查表计算查表计算(j sun)(j sun)：0.95(20)?t 7247. 1)20()20()20(05. 005. 0195. 0 ttt解解第38页/共60页第三十九页，共60页。t t= t1 因因 =PTt=PT t=1 PT t故故 PTt=1.即即 t= t1 第39页/共60页第四十页，共60页。例例 查表计算查表计算(j sun)(j sun)：0.95(80)?t 解解645. 1)80()80(05. 005. 095. 0 utt)30()( nunt 2. n 较大较大(jio d)时，时，).()(limxxf

17、Tn 第40页/共60页第四十一页，共60页。121121212222121212()2(),0( )() ()220,0nnnnnFnnnnxn xnxnnfxx 称称X 服从第一服从第一(dy)自由度为自由度为n1,第二自由度为第二自由度为n2的的F分布分布.第41页/共60页第四十二页，共60页。 定理定理3 设随机变量设随机变量X，Y 相互相互(xingh)独立，独立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，则，则即随机变量即随机变量(su j bin lin) F 服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为，第二自由度为n2 的的F分布分布.),(2121nnFnYnXF 结构结

18、构(jigu)定理定理第42页/共60页第四十三页，共60页。F ( n1 , n2 )的的上侧分位数上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )： ),(2121)(),(nnFFdxxfnnFFP阴影阴影(ynyng)部分面部分面积为积为第43页/共60页第四十四页，共60页。推论推论(tuln)1),(1),( 1221nnFFnnFF若若),(1),(),( 1221121nnFnnFnnFF 若若第44页/共60页第四十五页，共60页。证证),(11),(1211211nnFFPnnFFP ,),(11211 nnFFP),(112nnFF又因又因),(),(112211nn

19、FnnF 第45页/共60页第四十六页，共60页。则则方差，方差，分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是正态总体是正态总体设设2221,),(,.,SXNXXXXn ;)1(2相相互互独独立立与与SX2(2)( ,);XNn );1(1)3(222 nSn )1()4( ntnSX 第46页/共60页第四十七页，共60页。应用应用(yngyng)(yngyng)例例)1 , 0()2(:)4(NnXU 由由证明证明)1()1()3(222 nSnV 由由可可得得再再由由定定理理是是相相互互独独立立的的和和可可知知由由2 . 2 . 6 ,)1(VU11)1()1(22 nSnn

20、XnVU )1( ntnSX 第47页/共60页第四十八页，共60页。)1, 1()1(2122222121 nnFSSF 设正态总体设正态总体 X 与与 Y 相互相互(xingh)独立，独立， X , 样本为样本为(X1,X2， X n1),样本均值和样本方差为样本均值和样本方差为 ；21, SX),(211 N Y ，样本为样本为( Y1,Y2， Y n2)，样本均值和样本方差为样本均值和样本方差为 .22, SY),(222 N有有时，时，当当2221)2( 第48页/共60页第四十九页，共60页。YX )2(11)()(212121 nntnnSYXTw 2)1()1(21222211

21、 nnSnSnSw其其中中， 分析分析(fnx)(fnx) 证明证明(zhngmng): (2) 服从正态分布服从正态分布(fnb)，Sw2可化为可化为2分布分布(fnb),二者组合而成的统计量应服从二者组合而成的统计量应服从 t 分布分布(fnb).22221 因因第49页/共60页第五十页，共60页。)11( ,(22121 nnNYX 故故)1 , 0(11)()(2121NnnYXU 令令分分布布的的可可加加性性，由由2 )2()1()1(2122222211 nnSnSnV 第50页/共60页第五十一页，共60页。 因因 ， 相互独立，故相互独立，故U 与与 V也相互也相互 独立，从而独立，从而21,SX22,SY2)(21 nnVUT2)(11w)()(212121 nntnnSYX 第51页/共60页第五十二页，共60页。第52页/共60页第五十三页，共60页。例例 2 2 设设nXXX,21是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本，记记 kiiknkXkX1)1(1，求统计量，求统计量kkXX 1的分布的分布 ( (nk 1) )。 解解 由由 ,11)(11)(1111 kikiikkXEkXE 同理同理 )(kXE 所 以所 以(suy(suy)0)(1 kkXXE第53页/共60页第五十四页，共60页。又由于又由于(yuy)