(3)无穷级数复习课

1、无穷级数复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、例题选解上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v收敛级数的基本性质性质11 如果sunn1则kskunn1 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性性质22 如果sunn1、1nnv则svunnn)(1 v级数收敛的必要条件 5 如果1nnu收敛则0lim0nnu 如果一般项不趋于零, 则级数必发散. limnnu上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v等比级数的收敛性vp级数的收敛性 p级数pnn11当 p1 时收敛 当 p1 时发散 等比级数0nnaq当 |q|1 时收敛, 当 |q|1 时发散.v正

2、项级数收敛的充要条件 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v比较审敛法 设1nnu和1nnv都是正项级数 且 unkvn(k0 nN) 若1nnv收敛 则1nnu收敛 若1nnu发散 则1nnv发散 v比较审敛法的极限形式 (1)如果 lim1,nnnuv则1nnv1nnu与的敛散性相同. (2)如果 lim0,nnnuv则1nnu1nnv的强级数.为设1nnv1nnu和都是正项级数.知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v比值审敛法v根值审敛法收敛 当1(或)时级数发散 设1nnu为正项级数 如果nnnuu1lim

3、则当1时级数 设1nnu为正项级数 如果nnnulim 则当1 时级数 收敛 当1(或)时级数发散 注: 类似于等比级数的公比, 称其为渐近公比. p级数的渐近公比等于1. 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v莱布尼茨定理 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件 (1)unun1(n1 2 3 ) (2)0limnnu 则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1v绝对收敛与条件收敛 若级数1|nnu收敛 则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛, 而级数1|nnu 发散 则称级数1nnu 条件收敛 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v绝对收敛与收

4、敛的关系 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 注: 设 1lim |(lim| )nnnnnnuuu(1) 当 1时, 级数 1nnu绝对收敛;(2) 当 1时, 级数 1nnu发散.上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v幂级数的收敛半径与收敛区间 如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得 当|x|R时幂级数绝对收敛 当|x|R时幂级数发散 正数R叫做幂级数anxn的收敛半径开区间(R R)叫做幂级数anxn的收敛区间 v收敛半径的求法 如果|lim1nnnaa 则幂级数0nnnxa的收敛半径 R为 当0 时1

5、R 当0 时 R 当时 R0 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页v幂级数的运算 内容提要 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有减法加法(anbn)xn(anbn)xnanxnbnxn anxnbnxn 乘法anxn bnxn a0b0(a0b1a1b0)x 0()nni n iiabx上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v幂级数的和函数的性质 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导. 逐项积分公式 01000001)()(nnnnxn

6、nxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI ) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 逐项求导公式1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x|R) 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页内容提要v几个函数的展开式) 11( 1112 xxxxxn )( )!12() 1( ! 5! 3sin12153 xnxxxxxnn )( )!2() 1( ! 4! 21cos242 xnxxxxnn ) 11( 1) 1( 432)1ln(1432 xnxxxxxxnn ! 2) 1(1)1 (2 xmmmxxm)

7、 11( !) 1( ) 1( xxnnmmmn 21(),2!nxxxexxn 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页例题选解例1 判别下列级数的收敛性. 解所以原级数也收敛.3/21111ln(1) 2nnnnnnn知识点(1) 当 n 时,原级数与3/211nn收敛性相同.而级数收敛,3/211nn1021(2).lnnn111(1)ln(1);2nnnn(2) 因为0.1101011limlim()lnlnnnnnnn 发散,而级数21nn所以原级数也发散lnlim0,(0)pnnpn知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解1limnnnuu11(1)!lim(1)!nnn

8、nnannnanlim(1)nnnnan1lim1(1)nnanae所给级数发散当ae时, 1, 所给级数收敛当ae时, 1, 所给级数发散当ae时, 11(1)nnnueunlim0nnu1,1(1)nn的收敛性. 例2 讨论级数1!(0)nnnanan知识点知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解limnnnu1lim()nan所给级数发散当a1时, 1, 所给级数收敛当a1时, 1, 所给级数发散当a1时, 1limlim(1)0,nnnnuena11() (0)nnaan的收敛性. 例3 讨论级数知识点知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解1,lnnunn因此所给

9、级数条件收敛.11( 1)lnnnnn的收敛性. 例4 判别级数1,nun而级数 发散, 11nn所以所给级数非绝对收敛.lim0,nnu且 un 单调减少,提示:1(ln )10, (1)xxxx lnnn知识点单调增加知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解1lim|nnnaRa2(1)lnnnxn的收敛域. 例5 求幂级数当 x11 时, 得级数21,lnnnln(1)limlnnnn1而级数 发散, 21nn当 x11 时, 得交错级数2( 1),lnnnn知识点11,lnnunn所以所得级数发散.10(),lnnunn 且 un 单调减少,所以所得级数收敛.所求收敛域为 0

10、, 2).知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解1(1)nnn nx的和函数. 例6 在区间(1,1)内求幂级数 提示: 11()(1)nnxn nx 11( )(1)nns xxn nx11()nnxx11()nnxx111xxx 32,(1)xx( 11)x 知识点知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解知识点21( )1fxx201( )(0)1xf xfdtt2201()4xnttdt 321( 1),4321nnxxxn( 11)x 221(),nxx ( 11)x 以上级数在点 x 1 处收敛, 例7 将函数 展开为 x 的幂级数.1( )arctan1xf xx但在点 x 1 处不连续, 因此 1( )arctan1xf xx210( 1),421nnnxn( 11)x 而 f(x) 在点 x 1 处连续, 知识点上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 解知识点111(1)xx1(1)( 1) (1),nnxx 知识点 例8 将函数21x展开为 (x1)