1.2拉氏变换定义,性质ppt课件

1、哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系第四章第四章 拉氏变换与拉氏变换与S域分析域分析 拉氏变换定义；拉氏变换性质拉氏变换定义；拉氏变换性质 拉氏逆变换；拉氏逆变换；S域分析域分析 系统函数零极点系统函数零极点时域特性和稳定性时域特性和稳定性 系统函数零极点系统函数零极点频响特性；拉氏变换频响特性；拉氏变换傅傅里叶变换里叶变换哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系iv)卷积卷积 相乘，建立系统函数的概念相乘，建立系统函数的概念ii)微积分微积分 乘除法，微分方程乘除法，微分方程 代数方程代数方程4.1 拉氏变换定义、拉氏变换性质拉氏变换定义、

2、拉氏变换性质一、拉氏变换一、拉氏变换1引言引言iii)指数、超越指数、超越 初等函数初等函数i)同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中v)零极点零极点 时域、频响、稳定性，零、极点分析的概念时域、频响、稳定性，零、极点分析的概念赫维赛德赫维赛德 19世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义适用：连续线性时不变系统适用：连续线性时不变系统作用：简便变换线性时不变系统时域模型作用：简便变换线性时不变系统时域模型分析步骤：时域分析步骤：时域-复频域复频域-时域时域哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工

3、业大学自动化测试与控制系deFtfdtetfFtjtj)(21)()()()(dttf2傅里叶变换傅里叶变换 拉氏变换拉氏变换i) 通常为因果信号通常为因果信号 )(tf( )0 (0)f tt)()()(tutftfdeFtfdtetfFtjtj)(21)()()(0假设假设 , 那么那么哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系111( )( )( )22sjjtj tstjdsjdf te FedF s e dsj )(tf( )tf t eii) 不绝对可积，但不绝对可积，但 容易满足绝对可积条件容易满足绝对可积条件0)()(dtetfsFst定义定义11( )(

4、 )2tj tf t eFed另一方面另一方面 100( ) ( )( )( ) ()ttj tstFf t ef t eedtf t edtsjF哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(tfF)()(tfsF, ttsss傅立叶变换与拉氏变换基本区别傅立叶变换与拉氏变换基本区别不仅能描述振荡频率，也能反不仅能描述振荡频率，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率映振荡幅度的衰减或增长速率只能描述振荡重复频率只能描述振荡重复频率复频域复频域 时域时域频域频域 时域时域为复频率为复频率为频率为频率为实数，为实数， 为复数为复数为实数为实数iii) 0( )( )1 ( )(

5、)2stjstjF sf t edtf tF s e dsj 为单边拉氏变换对为单边拉氏变换对象函数象函数原函数原函数哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系双边拉氏变换：双边拉氏变换：( )( )1( )( )2stBjstBjF sf t edtf tF s e dsj 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系3收敛问题收敛问题定义定义tetf)(0)(limttetf为何值，为何值， 收敛：收敛：00)(limttetfi) 的取值范围对应的平面区域称为收敛域的取值范围对应的平面区域称为收敛域通常当通常当 时，时，0s0ii)称称 为收敛坐

6、标，为收敛坐标， 平面中平面中 部分为收敛域部分为收敛域)()(2tuetft2te)2(例如例如 ，只有取，只有取 ， 才使才使 变为衰减变为衰减0j0含义：含义： 满足绝对可积的条件，即：满足绝对可积的条件，即：tetf)(单边拉氏变换，右边单边拉氏变换，右边收敛坐标，收敛轴，收敛域收敛坐标，收敛轴，收敛域哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1t2tt)(tf0时间有限的有界信号，收敛坐标位于时间有限的有界信号，收敛坐标位于，收敛域整个，收敛域整个s 平面平面21( )( ), lim( )0tsttttF sf t edtf t e0)(limtft( ，与，

7、与 无关无关)哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系lim( )0 (0)ttf t e有界非周期信号：有界非周期信号： 收敛域至少为收敛域至少为 s 右半平面右半平面t)(tf0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系有界周期函数：有界周期函数：lim( )0 (0)ttf t e，收敛域为 s 右半平面)(tft0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系0综上：单边拉氏变换收敛域形式为综上：单边拉氏变换收敛域形式为2)(tetf比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如2,.,.

8、nt tt，收敛域为，收敛域为 s 右半平面右半平面 lim0 (0)nttt eatetf)(，指数信号：指数信号：()lim( )lim0 ()tatttf t eea哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系4积分限问题积分限问题 )(1tft0例：例：21 0( )1 0tetf ttt)(2tf00 0 )(222tttetft)(3tft023 0( )0 0tetf tt)(1tf)(2tf)(3tf)(tf0t与与 的的 部分函数值无关部分函数值无关哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系00 与与 问题：问题：00( )( )st

9、F sf t edt（定义方式）定义方式） 0)()(dtetfsFst0(定义方式定义方式) 本书用本书用0，优点是不必考虑跳变过程，优点是不必考虑跳变过程利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已知的起始状态知的起始状态(0 )f哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(t例例1：求：求 的单边拉氏变换：的单边拉氏变换：解：解：000 : ( )( )1stt edtt dt00 : ( )0stt edtt0( ) t哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)0()()(fssFtf1)(cos2ss

10、ttu11)(sin2sttu) )(costtu例例2：知：知 ，求，求)(0 11011)0( 111122222sssss解：解：2022(cos( ) (0 )11sstu tsfss 0：0202221(cos( ) (0 )1111sstu tsfsss ：) )(costtu)(sinttu)(t其实：其实：哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系二、拉氏变换性质二、拉氏变换性质 1线性线性)()()()(22112211sFksFktfktfk11( )( )f tF s)()(22sFtf，哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制

11、系( )ate u t例例3：求：求 的拉氏变换分的拉氏变换分 a 为实数和虚数两种情况）为实数和虚数两种情况）1 ( ) (0)u ts (0)EEs令令a = 0，那么，那么 ，解：解： i)当当 a 为实数为实数()0011( ) ()atatsta s te u teedteaassa0ja ii)设设 a 为虚数，即为虚数，即0000()0( )11 (0)jtjtstjs teu teedtejssj那么那么哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(sinttu)(costtu，的拉氏变换的拉氏变换例例3：求：求解：解：001( )jteu tsj)0(2

12、2)11(21)(cosssjsjsttu)0(22)11(21)(sinsjsjsjttu)0(0t01( )jeu tsj(0)哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系例例3：求：求 的拉氏变换的拉氏变换sinh() ( ), cosh() ( )at u tat u t解：解： 221sinh() ()2111() (|)2atatateeaasasasa221cosh() ()2111() (|)2atatateesasasasa哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2时域微分时域微分)()(Ftf( )(f tj Fi) 对比对比 )

13、0(fii) 注意：本书采用注意：本书采用 )()(sFtf)0()()(fssFdttdf11( )0( )( )(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 2( )( )(0)(0)( )(0)(0)fts sF sffs F ssff哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系( )( )( )(0 )LLLLLdiv tLV sLsIsLidt例例4：电感的：电感的 s 域模型：域模型：(0 )0( )( )LLLLLiV ssLIsvj LI假设假设)(sVL)0(LLisL+-( )LIs哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

14、( 1)00(0)(tstffdedts 证明：证明：( 1)0= (0) (tffd3时域积分时域积分()(Ftf(0)tFfdFj 比较比较 (tdf)(0df(0tdf)()(sFtfsfssFdft)0()()1(哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系000001( )(|( )stttststeF sfdedtfdf t edtsss ( 1)( )(0)( )(0)( )F sgF sfG ssssssfssFdft)0()()1(故：故：tdftg()(或令：或令： 那么：那么：)()(tgtf)(sF)0()()(gsGstf哈尔滨工业大学自动化测试与

15、控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1( )(tccv tidC( 1)( )(0)( )(0)( )cccccIsiIsvV ssCCssCs例例5：电容的：电容的S域模型域模型)(sVcsvc)0(+-( )CIs1sC哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系00( )( )( )( )ststF sf t edtF stf t edt4频域微分频域微分证明：证明：( )( )tf tF s故：故：)()(sFtf( )( )dtf tF sds()(Ftf)()(Ftjtf对比：对比： 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系nt例例6：

16、求：求 的拉氏变换的拉氏变换(n为正整数为正整数)21st 3221sdssdtt232 tssin, costt tt求求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：211 1sdssdts1 1 1! nnnts.哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2222 cos()sdssttdss 2cossts2222 sin()dssttdss 2sinst哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系5频域积分频域积分00000( )( )( )( )|( )0( )utssututssststF u duf t edt duef tedu dtf tdttee

17、f tdtf t dttt证明：证明：)()(sFtfsduuFttf)()()(Ftf( )(0) ( )()f tftFdjt对比对比 )(ttf哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系tatsin例例7：求：求 的拉氏变换的拉氏变换2arctanarctan1ssaadvsvvasduauatat22sinsduaua1)(12解：解：22sinaatsaP181，表，表4-1，常用函数拉氏变换，常用函数拉氏变换 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系6. 时移时移)()(sFtf0000 ()( ) (0)stf tt u tteF s

18、t ()(FtfdteFttftj00()(对比对比 证明：证明： 00000000000 () ()() ()()( )stt tststststf tt u ttf tt u tt edtf tt edtfeedeF s 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(0ttf0tt0t)()(00ttuttf0t0)(tft0t)()(tutf00()f tt与与00() ()f tt u tt的拉氏变换不相等的拉氏变换不相等!哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)()()(0ttEutEutf)()()(tutuEtf例例8：求拉氏变换：

19、求拉氏变换 ( )sssEEf teEEeessss 解：解：0)(stesEsEsF00tEt( )f t220Et( )f t哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(tftTT20例例9：周期信号的拉氏变换：周期信号的拉氏变换000( )(), ( )( ) ( )()nf tf tnTf tf t u tu tT)()(00sFtf)(sF设设，求，求解：解：2000000( )( )( ).1( )( ) (0)1sTsTsnTsTnF sF seF s eF seF se)()(0TtuTtf)(sF)(0tf.)2()2(0TtuTtf哈尔滨工业大学自动

20、化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系7S域平移域平移)()(sFtf)()(asFetfat()(Ftf)()(Fetftj对比对比 证明：证明：0()0 ( )( )( )()atatsta s tef tef t edtef t dtF as哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系sin, cos, , , sin, cosatatatnatatatet et tet etet tet例例10：求：求的拉氏变换的拉氏变换2cossst 2)(cosasasteat21st 2)(1asteat1!nnsnt 1)(!natnasnet解：解： 2)(sin

21、asteatstsin哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2sin ts 222 sin()stts222 ()sin()atsatetsa2cossts 222 cos()stts222()cos ()atsatetsa哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系8 8尺度变换尺度变换)(1)(asFaatf)()(sFtf(0)a ，那么，那么证明：证明：0001 ()()( )1( )uu atsstaaf atf at edtf u eduasFaa()(Ftf1 ()()f atFaa对比对比 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业

22、大学自动化测试与控制系0, 0,ab)()(batubatf例例11：解：解：1 () ()( )bsabbsf a tu a tFeaaaa1 () ()( )sf at u atFaa ( )( )f tF s先尺度，后时移先尺度，后时移先时移，后尺度先时移，后尺度哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系9初值定理初值定理证明：证明：)0()()(fssFdttdf)(dttdf)(tf 假设假设 ， 存在，且存在，且F(s)为真分式为真分式)(lim)0()(lim0ssFftfst那么那么00000( )( )( )( ) ( )(0 )(0 )stststst

23、df tdf tdf tdf tedtedtedtdtdtdtdtdf tffedtdt哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ，其中F1(s)为真分式，)()()(1sPsFsF若若F(s)为假分式，令为假分式，令01lim( )(0 )lim( )tsf tfsF sP(s)为多项式，那么为多项式，那么0)(lim)(0tkt)()(tskk因为因为 ，0)()(lim0)(lim001010ttuttfessFtsts0ste若若F(s)中含延时因子中含延时因子 ，初值定理仍然成立，初值定理仍然成立)()()(00110ttuttfesFst，那么因为因为0(

24、)lim( )(0 )lim (0 )(0 )lim( )(0 )(0 )(0 )sstssdf tsF sfffedtdtffsF sf0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系例例12：求初值：求初值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1()(ssssF1)(limssFs1)0(f，即，即)3)(2(1)(ssssF解：解：1)(limssFs1)0(f，即，即146lim( )lim4(2)(3)ssssF ssss (1)46( )1(2)(3)(2)(3)s ssF sssss 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系0000

25、0( )lim( )(0 )lim( )lim (0 )(0 )(0 )(0 )( )(0 )stssstsdf tsF sfedtdtdf tffedtdtffff )(lim)()(lim0tffssFts10终值定理终值定理证明：证明：条件：条件：F(s)在在s平面虚轴和右半平面解析无极点），平面虚轴和右半平面解析无极点）， 在原点处只允许一阶极点在原点处只允许一阶极点)(limtft)(tf)(dttdf假设假设 存在，存在， ， 存在，存在，0lim ( )lim( )tsf tsF s那么那么哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系例例13：求终值：求终值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1(1)(ssssF)3(1)(ssssF)3(1)(2ssssF) 1)(1(2)(2ssssF解：解：0)