北航 时间序列与谱估计(2017_L1_1)

1、时间序列与谱估计北京航空航天大学北京航空航天大学203203教研室教研室袁运能袁运能F528 教材与参考书n教材n教材：Modern Spectral Estimation:Theory and Application作者： Steven M. Kay出版： Prentice Hall, 1988中译本：现代谱估计原理与应用译者： 黄建国， 武延祥，杨世兴出版： 科学出版社， 1994n参考书n“现代信号谱分析现代信号谱分析”，美Petre Stoica, Randolph Moses著，吴仁彪等译；北京：电子工业出版社，2007课程主要内容n谱估计就是分析信号的能量或功率关于频率（单元）的分

2、布情况n确定信号（连续时间）2( )( )( )jftx tX fx t edt222( )( )( )( )X fdfx tdtEP fX f能量谱密度（分布）课程主要内容n随机信号（连续时间）n对于平稳随机信号22( )?( )?x tdtE x t*2*22( )( )()( )( )()( )( )( )jfjfS fE x t x tedrE x t x tS f edfPE x tS f df 功率谱密度谱估计的应用时间序列参数估计时间序列参数估计10 1,2, pqkkx n nNx na k x nkb k u nk 利用谱估计估计时间序列参数ak,bk模型参数估计：正弦信号的

3、参数估计正弦信号的参数估计sin/(1)sin/( )1ccjdcj mdc Teea信源的到达方向估计信源的到达方向估计接受信号模型可写为( )( ) ( )( )ts ttyae12( )( )( )( )Tmty ty tyty12( ) ( )( )( )Tmte te tete2( )1cc mjjTee a其中，参考阵元(k=1)的接受信号为s(t)， 为信号载频csin/(1)sin/( )1ccjdcj mdc Teeasin(1), 90 ,90 kdkc 课程讲述主要内容n引论（第一第三章）n经典非参数谱估计（第四章）n有理谱参数谱估计（第五第十章）n建模，ARMA，AR，

4、MAn滤波器组谱估计（第十二章）n线谱参数谱估计（第十三章）n二维与多通道谱估计（第十四、十五章） 引论n基本定义n确定信号n连续信号n离散信号dtetxFXtxFtj2)()()(TFnTxnxs/1),()(02/12/1200200)()()()(dfefXnxenxfXfnjfnj2/2/20020)(1)()()(ssFFFnTjsFnTjdFeFXFnxenTxFXssFFTFffFTfF/,/引论n基本定义n连续信号与离散信号n能量谱密度msssmFFXFFXFFXTFX)()()/()(0000( )( ),/2/2sssXFF X FFFF满足采样定理条件时：2/12/1),

5、()(0fFfXFfXss22020)()()(fnjenxfXfS引论n基本定义n随机信号（离散）n ，每个 是随机变量；n不同时刻可相关，也可无关；n随机信号 的实现通常不是能量有限信号，但有有限的平均功率；n随机信号的功率分布是描述随机信号的重要特征。, 2 , 1 , 0| )(nnx)(nx, 2 , 1 , 0| )(nnx引论n基本定义n随机信号与样本实现2个不同样本引论n基本定义n谱估计 谱估计就是分析信号的功率关于频率（单元）的分布情况n谱估计的基本方法n非参数（经典）方法n数据通过一组带通滤波器组，测量滤波器的功率输出n参数（现代）方法n假设被分析信号有特定的结构，估计信号

6、结构参数来确定信号的功率分布2( )( )PEx tS f df谱估计基础n谱估计的基本概念n随机信号的描述n确定信号与随机信号n随机过程与随机过程的“实现”或“样本函数”n离散信号与LTI系统n随机离散信号的谱估计n谱估计的性能基本评价谱估计基础2个不同样本谱估计基础2个不同样本的谱谱估计基础给定随机时间序列 的样本X(n)|n=1,N 估计 的统计参量或功率谱密度, 2 , 1 , 0| )(nnx, 2 , 1 , 0| )(nnx如何估计怎样评价离散信号与LTI系统nZ-变换n差分方程n脉冲相应CnnndzzzXjnxznxzX1)(21)()()(MkkNkkknxbknya00)(

7、)(NkkkMkkknnxzazbzHnynh00)()()(,| )()(离散信号与LTI系统n稳定的有界输入有界输出系统n所有极点在单位园内nFIR系统 （N=0)nIIR系统 (N0)n最小相位系统n所有极点和所有零点在单位园内NkkkMkkknnxzazbzHnynh00)()()(,| )()(随机离散信号的谱估计n确定信号（有限能量）谱n确定信号的能谱密度n确定信号的自相关函数nnx2| )(|02/12/22)(| )(|,| )(|)(dffSnxfXfSnfnjenxfX2)()(nnxknxk)()()(kfkjekfS2)()(2/12/2)()(dfefXnxfnj随机

8、离散信号的谱估计n广义平稳随机信号n随机信号功率谱n随机信号的功率与功率谱0)(nxE)()()(nxknxEkrkfkjekrfP2)()(2/12/12)()(dfefPkrfkj2/12/2)(| )(|)0(dffPnxEr随机离散信号的谱估计n功率谱的第二个定义n在满足下面条件时，等价于第一个定义n即r(k)衰减很快。2102)(1lim)(NnnfjNenxNEfP0| )(|1lim1)1(NNkNkrkN估计与性能基本评价n估计子：n定义：是与随机时间序列x(n)有关的未知参数，x1, x2 xN是可以利用的随机信号的样本，如果某函数g(x1, x2 xN)可以用来确定的可能取

9、值，则称g(x1, x2 xN)为的一个估计子，记作：)x x ,(xN21g例如：x(n)是高斯白噪声序列，x1, x2 xN是噪声序列的N个样本，白噪声序列的均值，一个估计子可定义为：12N11g(x , x x )=NnnxN谱估计与性能基本评价n估计子的性能：n分辨率：分辨相邻频率的能力；n无偏性：n无偏估计子：n有偏估计子：n偏差：n方差：n均方误差：EE)(E222)()E(-E()-(E)(EMSE)E(-(E)(2Var谱估计与性能基本评价n估计子的性能：n有效性：n若 都为的无偏估计子，若 的方差小于 的方差，则称 比 有效.21 ,1212谱估计与性能基本评价n估计子的性能

10、：n一致性：n当样本量N趋于无穷大时，估计子 以概率1收敛于真值，即： 则称 为的一致性估计。0 , 0-Pr limN谱估计与性能基本评价n好的估计通常要求均方误差小（对于固定长度数据），通常有一下界，就是Cramer-Rao下界.最大似然估计(MLE)n设是与随机时间序列x(n)(n=0,N-1)有关的待估参数， 为在参数为 时随机变量x(n)的概率密度函数，则);1(,),1 (),0(Nxxxp);1(,),0(NxxpMaxMLE最大似然估计(MLE)n设 n(k)是高斯白噪声序列，则1, 1 , 0),()(Nkknskx102)(21exp21);1(,),1 (),0(NkskxsNxxxp10)(1);1(,),0(NksMLEkxNsNxxpMaxs最大似然估计(MLE)n例子：s=2.0, n(k)为零均值，方差为1的高斯白噪声，N=5, x(k)的测量值如下：n1.5674, 0.3344, 2.1253, 2.2877, 0.85351.43370.8535)/52.28772.12530.3344(1.5674 )(51);4(),3(),2(),1 (),0(40ksMLEkxsxxxxxpMaxs402)(21exp21);4(),3(),2(),1 (),0(kskxsxxxxxpCramer-