数值分析4-埃尔米特插值

1、埃尔米特插值问题问题描述多项式插值余项的表示形式多项式插值余项的表示形式从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：如果已知条件有如果已知条件有n个，则在余项中分母为个，则在余项中分母为n!；相应的，分子上的导数阶数也是相应的，分子上的导数阶数也是n；1ki)x-x0（则则在在后后面面的的因因式式中中存存在在阶阶的的导导数数值值阶阶直直到到的的从从如如果果条条件件中中出出现现某某点点kxi题题2 求作次求作次数数22的多项式的多项式p(x),p(x),使满足插值条件使满足插值条件0)0(,2)1(, 1)0(ppp解解 求解这个简单问题可直接由待

2、定系数法。求解这个简单问题可直接由待定系数法。 令所求的插值多项式令所求的插值多项式 2210)(xaxaaxpxaaxp212)(依所给插值条件可列出方程依所给插值条件可列出方程0)0(1ap1)0(0ap210)1(2aaap由此解出由此解出 1.0,1210aaa故有故有21)(xxp题题8 求作次数求作次数55的多项式的多项式p(x),p(x),使满足下列插值条件：使满足下列插值条件： ixiyiyiy012212-2-1 -10 解解 以泰勒公式，满足条件以泰勒公式，满足条件10)0(, 2)0(, 2)0(qqq的插值多项式的插值多项式 225)(2xxxq令令)(225)(232

3、cbxaxxxxxp)2()(3210)(322baxxcbxaxxxxp用剩下的插值条件列出方程用剩下的插值条件列出方程 )(5) 1 (1cbap)2()(312)1 (1bacbap)24(822)2(2cbap由此解出由此解出 17,15,4cba于是所求插值多项式于是所求插值多项式 22517154)(2345xxxxxxp各种插值方法的总结n待定系数法待定系数法 n基函数法基函数法n承袭法承袭法)()()(1xcwxpxpnnn承袭性公式的证明cnnxpxpxpnxcwxpxpxwnnxpnnnnnnnn个个条条件件来来确确定定系系数数因因此此，可可以以利利用用最最后后一一个个因因

4、为为已已知知条条件件共共有有个个条条件件满满足足这这已已知知的的即即个个条条件件下下：则则在在这这又又因因为为：的的值值为为个个条条件件下下则则：在在这这个个条条件件满满足足已已知知的的假假设设：21)()()(1)()()(0)(11)(111当剩余的条件多于一个时，应该如何处理当剩余的条件多于一个时，应该如何处理？把常数把常数c改为一个多项式，此多项式采用改为一个多项式，此多项式采用待定系数法的形式。待定系数法的形式。多项式的次数如何确定多项式的次数如何确定？剩余条件个数剩余条件个数-1问题：分段低次插值分段低次插值例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf

5、),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf, 1 iixxx记记 ，易证：当，易证：当 时，时，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致yxoy= f(x)y=p(x)失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。分段线性插值的余项 xfhxxxfxxxxfxsxfxsxfiiiiiiiixxxiijxxxiiixxxxxx 1111max82!2max)(!2max)()(max)()(22111分段分段Hermite插值插值给定给定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,00