矩阵对角化问题

1、第五章矩阵对角化问题目录 上页 下页 返回 结束 对 阶矩阵 ，nA1. 方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵 ，使P)(1为对角阵APP这就称为把方阵 对角化.A说明如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化；P APP1A如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化.PA目录 上页 下页 返回 结束 2. 定理的引入定理的引入设有可逆矩阵 ，使 为对角阵. APP1P APP1 PAP ),(),(2121nnppppppA),(),(2121nnppppppA n 21P 下面回答 能否由 确定.A目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(2221121nnpppApApAp jjjpAp ).,

2、 2 , 1(nj 这表明 的第 个列向量 是 的对应于特征值 的特征向量，AjPj jp因而 由 和 确定，PA 也就是由 确定.A由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不是惟一确定的.P目录 上页 下页 返回 结束 反过来，是依次与之对应的特征向量，则设矩阵 的 个特征值为 ，n ,21Annppp,21), 2 , 1(njpApjjj ),(),(2221121nnpppApApAp PAP ),(),(2121nnppppppA),(21npppP 当 可逆，即 线性无关时，有Pnppp,21 APP1这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和特征向量来刻画.AA目录 上页 下页 返回

3、 结束 由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵, 设 nAPP 211则矩阵P的列是A的线性无关的特征向量,对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值. 若 则 的主对角元素即为 的特征值，,A A目录 上页 下页 返回 结束 3. 方阵可对角化的充要条件方阵可对角化的充要条件定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)nAA的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.An推论 若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.(逆命题不一定成立）nnAA说明当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；An但是，有重根时，也有可能能对角化. 所以特征值互

4、不相等只是 与对角阵相似的充分条件.A目录 上页 下页 返回 结束 下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来.定理: 设t ,21是n阶方阵A的全部不同的特征值,其重数分别为,21tnnn则A可以对角化的充分必要条件为对应i 有in个线性无关的特征向量.注注: 对应于i 的所有线性无关特征向量的基是0)( xAEi 的基础解系.个向量,故n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个in重特征根,i 0)( xAEi 的基础解系恰有in当且仅当.)(iinnAEr 目录 上页 下页 返回 结束 例例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1) 224242A 212(2) 533102A 解: 7

5、22 0 122(1)224242AE 得1232,7 目录 上页 下页 返回 结束 得基础解系12221 ,0 .01pp 当 时，齐次线性方程组为122 20AE X 1222244244AE 122000000 12322xxx 当 时，齐次线性方程组为 70AE X37 8227254245AE 1102011000 目录 上页 下页 返回 结束 得基础解系3122p 132312xxxx 123, ppp线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。目录 上页 下页 返回 结束 212(2)533102AE 310 212 533102A 得基础解系11 ,1 所以 不能化

6、为对角矩阵.A1231. 当 时，齐次线性方程组为 0AE X1231 312523101AE 101011000 目录 上页 下页 返回 结束 例例 设,00111100 xA问 为何值时，矩阵能对角化？x解解: 析：此例是定理的应用.定理表明： 阶矩阵 可对角化nA有 个线性无关特征向量.An由此可推得另一个充要条件：对 的每个不同的特征值 ， 的重数Ai i =对应于 的线性无关特征向量的个数i ).(EARni 目录 上页 下页 返回 结束 011110 xEA 11)1()1()1(2 所以的特征值为 1(二重)， .1 对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个；1 对应于二重特征

7、值 1，若 能对角化，则A, 2)(3 EAR123)( EAR目录 上页 下页 返回 结束 10101101xEAr 000100101x要使 ，则1)( EAR, 01 x即. 1 x说明解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化”转化为“二重特征值 1 应满足 ”，从而求得.xA123)( EAR矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关.AAA目录 上页 下页 返回 结束 四四.矩阵对角化的实现的步骤矩阵对角化的实现的步骤:若矩阵若矩阵A可以对角化可以对角化,(1)求出A的所有特征值,21t 其重数分别为,21tnnn(2)对每一个 , 求出 的基础解系 ,i 0)( xAEi niiii ,21从而得对应 的 个线性无关的特征向量i in., 2 , 1,21tiniiii其中(3)用(2)中求得的特征向量形成矩阵),(21222211121121ntnntttP 则有 tnttnndiagAPP ,2122111目录 上页 下页