区域化变量理论

1、区域化变量的概念及性质协方差函数和变异函数地统计学理论假设估计方差1、随机场（1）随机变量设随机实验E的样本空间为S=e。若对于任一eS，都有一实数z与之对应，而且对任何实数z，事件Zz都有确定的概率，则称Z是一个随机变量。 （2）随机函数设随机实验E的样本空间为=。若对于任一，都有一函数Z(x1,x2,xn,)(x1X1,x2X2 , xnXn)与之对应，且当各自变量x1X1,x2X2,xnXn均取任一固定值时，函数Z(x1,x2,xn,)为一随机变量，则称Z(x1,x2,xn,)为定义在X1,X2, Xn上的一个随机函数。 （3）随机过程 当随机函数中只有一个自变量x1，且x1=t（一般表

2、示时间）时，称为随机过程。 （4）随机场 当随机函数依赖于多个(两个及两个以上)自变量时，称为随机场。常用的是三个自变量xu ,xv ,xw(即空间点x的三个直角坐标)的随机场。)(),(xZxxxZwvu2、区域化变量区域化变量的随机性区域化变量的随机性区域化变量是一个随机区域化变量是一个随机函数，具有局部的、随函数，具有局部的、随机的、异常的性质。机的、异常的性质。区域化变量的结构性区域化变量的结构性变量在点变量在点x x与与x xh h处具有某处具有某种程度的自相关，这种自相种程度的自相关，这种自相关依赖于两点间的距离及变关依赖于两点间的距离及变量特征。量特征。3、区域化变量的性质、区域

3、化变量的性质3、区域化变量的性质、区域化变量的性质空间局限性：空间局限性：指区域化变量往往只存在与一定的空间范围内，该空间称为区指区域化变量往往只存在与一定的空间范围内，该空间称为区域化的几何域。在几何域内，变量属性最明显；在几何域外，变量属性不明域化的几何域。在几何域内，变量属性最明显；在几何域外，变量属性不明显。例如：群落中某一林分的类型、矿石品位只存在于矿化空间中显。例如：群落中某一林分的类型、矿石品位只存在于矿化空间中空间连续性：空间连续性：不同的区域化变量具有不同程度的空间连续性。不同的区域化变量具有不同程度的空间连续性。例如：土壤厚度具有较强的连续性；土壤中某种元素的含量连续性不强

4、，有例如：土壤厚度具有较强的连续性；土壤中某种元素的含量连续性不强，有时甚至不连续。时甚至不连续。各向异性各向异性：区域化变量在各个方向上的性质变化相同，称为各向同性：区域化变量在各个方向上的性质变化相同，称为各向同性（isotropy）；在各个方向上的性质变化不同，称为各向异性（）；在各个方向上的性质变化不同，称为各向异性（anisotropy） 1、协方差函数、协方差函数)()()(Z)()(Z)(Z)()()(),()(hxZExZEhxxZEhxEhxxEZxZEhxZxZCovhC)()()()()()()()()(),(2121221121tEZtEZtZtZEtEZtZtEZtZ

5、EtZtZCov当Z(x)是区域化变量区域化变量时，在空间两点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩二阶混合中心矩定义为随机场的自协方差函数定义为随机场的自协方差函数 随机过程随机过程Z(X)在在时间时间t1和和t2的两个随机变量的两个随机变量Z(t1)和和Z(t2)的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩定定义为的协方差义为的协方差当h=0时C(x, x+h) = C(x, x) = EZ(x)2 EZ(x)2=VarZ(x) 上式称为先验方差函数先验方差函数，或简称方差方差，记为D2Z(x),或VarZ(x),或C(x, x) D2Z(x)=VarZ(x)= EZ(x)2

6、 EZ(x)2 1） 先验方差不能小于零。2） 即C(h)对于h=0的直线是对称的，它是一个偶函数。3） |C(h)|C(0)，协方差函数绝对值小于等于先验方差。4） 当空间距离增大时，相关性降低或不存在。5）C(h)必须是一个非负定函数，即由C(xixj）构成的协方差函数矩阵必须是非负定矩阵。0 xZVar0C)()().()(hChC.)(,)(,0C0hCh或时)(1#)()()()()(1)(hNiiiiihxZhxZxZxZhNhCNiiixZNxZ1)(1)(NiiihxZNhxZ1)(1)( 定义：定义：变异函数是在任一方向变异函数是在任一方向 ，相距，相距|h|的两个区域化变量

7、值的两个区域化变量值Z(x)与与Z(x+h)的增量的方差的增量的方差，即，即 在二阶平稳假设或内蕴假设下，对任意在二阶平稳假设或内蕴假设下，对任意h，有，有EZ(x+h)=EZ(x)，则，则 若变异函数仅依赖于自变量若变异函数仅依赖于自变量h，而与位置，而与位置x无关时，则某一方向无关时，则某一方向上的变异函数可记为：上的变异函数可记为： 21( , ) ( )()21 ( )()2hVar Z xZ xhE Z xZ xh( )h1、 ，即在h=0时，变异函数为零。2、(h)=(-h)，即(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数。3、(h)0,即研究现象的变异函数值只能大于或等于零。4、|h|

8、时,(h)C(0)，或写作()=C(0)，即当空间上样点间距离无限大时，变异函数值接近先验方差。5、-(h)必须是一个条件条件非负定函数，即由- (xixj)构成的变异函数矩阵必须是条件条件非负定矩阵，或者说：若条件 成立，则矩阵- (xixj)为非负定阵。00 )(变异函数通过“变程”反映变量的影响范围不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大小变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空间连续性 设设 是系统某属性是系统某属性Z在空间位置在空间位置x处的值，处的值， 为一区域化随机为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，变量，并满足二阶平稳假

9、设，h为两样本点空间分隔距离，为两样本点空间分隔距离， 和和 分别是区域化变量分别是区域化变量 在空间位置在空间位置 和和 处处的实测值的实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数，那么，变异函数 的离散计算公的离散计算公式为式为)(xZ)(xZ)(ixZ)(hxZiix)(xZhxi)(h)(12*)()()(21)(hNiiihxZxZhNh 设Z(x)是一维区域化变量，满足内蕴假设，且Z(x1)=15.7，Z(x2)=12.8，Z(x3)=14.9，Z(x4)=17.8，Z(x5)=11.7，Z(x6)=14.4，Z(x7)=15.6，Z(x8)=18.5，Z(x9)=17.4，Z(x1

10、0)=16.9，点间分隔距离均为100km，如下图所示，试计算由左至右方向上，点间距离分别是100、200、300km时的变异函数值？ 设Z(x)是二维区域化变量，满足内蕴假设。图3-7 表示了各正方形网格中心处的采样数据，其中某些网格中心由于某种原因而未能采集到数据，用*号标示。点间距离为100km，网格上方为北，下方为南， 左边为西，右边为东。 试计算西东方向、西北东南方向上的变异函数值，并做出西东方向上的实验变异函数图。 12.713.816.315.81817.817.31817.918.614.114.814.916.415.6*17.7*18.718.715.4*15.819.21

11、7.1*1919.319.616.9*19.820.22019.519.2*20.220.116.920.621.920.821.221.921.8*22 1、平稳假设 设某一区域化变量Z(x)的任意n维分布函数不因空间点x发生位移h而改变，即若对任一向量h下式成立 则称区域化变量Z(x)为平稳的。在线性地统计学研究中，只需假设Z(x)的1、2阶矩存在且平稳当区域化变量满足下列条件，称该区域化变量满足二阶平稳或弱平稳的1）在整个研究区内，2）在整个研究区内，区域化变量Z(x)的空间协方差函数存在且平稳xmxZE存在，常数)()(hxhCmhxZxZEhxZxZ,)()()()(),(cov2协

12、方差平稳意味着方差、变异函数平稳。协方差平稳意味着方差、变异函数平稳。)()()()()()(hC0Chh0ChC或在二阶平稳假设条件下， 的协方差函数 和变异函数 存在且平稳，则)(h)(hC)(xZ证明：证明：mhxZExZE)()(2222mxZExZExZExZVar0C)()()()()( 协方差函数可表示为：协方差函数可表示为：2mhxZxZEhxZExZEhxZxZEhC)()()()()()()(变异函数可表示为：变异函数可表示为：)()()()()()()()()()()()()(hC20C2m2hC2m0Cm0ChxZxZE2hxZExZEh2hxZxZE21h222222

13、所以所以)()()(hC0Ch)()()(0ChCh当区域化变量当区域化变量Z(x)的增量的增量Z(x)-Z(x+h)满足下列两个条件时，则该区域化变满足下列两个条件时，则该区域化变量满足内蕴假设量满足内蕴假设1）在整个研究区内，区域化变量）在整个研究区内，区域化变量Z(x)的增量的数学期望为的增量的数学期望为02）在整个研究区内，区域化变量）在整个研究区内，区域化变量Z(x)的增量的方差函数对于任意的增量的方差函数对于任意X和和h存存在，且平稳在，且平稳随机函数随机函数Z(x)的增量只依赖于分割它们的向量的增量只依赖于分割它们的向量h，而不依赖于具体位置，而不依赖于具体位置xhxhxZxZE

14、,0)()()(2),(2)()(0)()()()(var22hhhxZxZEhxZxZEhxZxZ 实际应用中，区域化变量Z(x)往往在整个研究区域内并不满足二阶平稳(或内蕴)假设，但在有限大小的邻域内满足二阶平稳(或内蕴)假设，则称区域化变量Z(x)是准二阶平稳(或准内蕴)的。 在确定邻域大小时既要考虑区域化现象相似性的尺度，也要顾及到有效数据的多少。)(ixZ某一区域化变量的实际值（或理论值）)(ixZ某一区域化变量的估计值估计误差估计误差：)()()(iiixZxZxREimxRE)(2E2i2i2iii2EmxRExRExRExZxZVar)()()()()(估计方差估计方差：如果如果Z（x）为区域化变量，）为区域化变量，R（x）也为区域化变量；若）也为区域化变量；若Z（x）是二阶平稳，即）是二阶平稳，即数学期望存在，方差有限，则数学期望存在，方差有限，则R（x）也是二阶平稳，数学期望存在，方差有限。）也是二阶平稳，数学期望存在，方差有限。 判断估计方差好坏的两个最重要的标准：判断估计方差好