33一元一次方程的解法

1、一元一次方程的解法一元一次方程的解法本节内容3.3 某探险家在某探险家在2002年乘热气球在年乘热气球在24h内连续飞内连续飞行行5129km. 已知热气球在前已知热气球在前12h飞行了飞行了2345 km，求热气球在后求热气球在后12h飞行的平均速度飞行的平均速度. .动脑筋动脑筋本问题涉及的等量关系有：本问题涉及的等量关系有：前前12h飞行的路程飞行的路程 + + 后后12h飞行的路程飞行的路程 = 总路程总路程. .因此，设后因此，设后12h飞行的平均速度为飞行的平均速度为x km/h，则根据等量关系可得则根据等量关系可得2345 + 12x = 5129. 利用等式的性质，在方程利用等

2、式的性质，在方程两边都减去两边都减去2345， 得得 2345+12x- -2345= 5129- -2345，因此因此，热气球在后热气球在后12h飞行的平均速度为飞行的平均速度为232 km/h.即即 12x=2784. 方程方程两边都除以两边都除以12，得得x=232 . 我们把求方程的解的过程叫做我们把求方程的解的过程叫做解方程解方程.+ 12x = 51292345 在上面的问题中在上面的问题中，我们根据等式性质我们根据等式性质1，在方程在方程两边都减去两边都减去2345，相当于作了如下变形相当于作了如下变形：12x = 5129- -2345 从变形前后的两个方程可以看出从变形前后的

3、两个方程可以看出，这种变形这种变形，就是把方程中的某一项改变符号后就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边从方程的一边移到另一边移到另一边，我们把这种变形叫做我们把这种变形叫做移项移项. . 必须牢记必须牢记：移项要变号移项要变号. . 在解方程时在解方程时，我们通过移项我们通过移项，把方程中含未知把方程中含未知数的项移到等号的一边数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等把不含未知数的项移到等号的另一边号的另一边例例1 解下列方程：解下列方程： （1）4x+3 = 2x- -7 ； （2） . .举举例例1 1= 3 2xx -4x+ 3=2 x- -74x- -2x=- -3- -7

4、解解（1） 原方程为原方程为4x+3 = 2x- -7将同类项放在一起将同类项放在一起合并同类项，得合并同类项，得 2x = - -10 移项，得移项，得 4x - -2x = - -7- -3 所以所以 x=- -5 是原方程的解是原方程的解.检验：把检验：把x=- -5分别代入原方程的左分别代入原方程的左、右两边，右两边，左边左边= 4( (- -5) )+3=- -17，右边右边= 2( (- -5) )- -7+3=- -17，左边左边=右边右边计算结果计算结果进行检验进行检验两边都除以两边都除以2，得，得 x = - -5将同类项放在一起将同类项放在一起 所以所以 x=- -8 是原

5、方程的解是原方程的解.检验：把检验：把x=- -8分别代入原方程的左分别代入原方程的左、右两边，右两边，左边左边=右边右边计算结果计算结果进行检验进行检验两边都乘两边都乘- -2，得，得 x = - -8解解（2） 原方程为原方程为1 1= 3 2xx - 移项，得移项，得 1= 3 12x + x +- -合并同类项，得合并同类项，得 1= 42x - -左边左边= ( (- -8) )- -1= 7，右边右边= 3- - ( (- -8) )=7，12 一般地一般地，从方程解得未知数的值以后从方程解得未知数的值以后，要代入要代入原方程进行检验原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解看这个值

6、是否是原方程的解，但但这个检验过程除特别要求外这个检验过程除特别要求外，一般不写出来一般不写出来. .练习练习1. 下面的移项对吗？如不对，请改正下面的移项对吗？如不对，请改正. .（1）若）若x - -4 = 8，则，则x = 8- -4；（2）若）若3s = 2s+5，则，则- -3s- -2s = 5；（3）若）若5w- -2 = 4w+1，则，则5w- -4w = 1+2；不对，移项没有变号，应为不对，移项没有变号，应为x = 8+4不对，应为不对，应为3s- -2s=5不对，应为不对，应为8=2x- -x（4）若）若8+x= 2x，则，则8- -2x = 2x- -x.对对2. 解下

7、列方程，并检验解下列方程，并检验. .（1）x + +4 = 5； （2）- -5 + 2x = - -4；（3）13y+8=12y； （4）7u- -3=6u- -4 .解解（1） 原方程为原方程为x +4 = 5移项，得移项，得 x = 5- -4 化简，得化简，得 x = 1检验：把检验：把x=1代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边= 1+4=5，右边，右边= 5， 左边左边=右边右边 所以所以 x=1 是原方程的解是原方程的解.（2） 原方程为原方程为- -5 + 2x = - -4移项，得移项，得 2x = 5- -4 化简，得化简，得 x = 检验：把检验：把

8、x= 代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边= - -5+ =- -4，右边，右边= - -4， 左边左边=右边右边 所以所以 x= 是原方程的解是原方程的解.121212212（3） 原方程为原方程为13y+8=12y移项，得移项，得 13y- -12y = - -8 化简，得化简，得 y = - -8检验：把检验：把y=- -8代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边=13( (- -8) )+8=- -96，右边右边= 12 ( (- -8) )=- -96， 左边左边=右边右边 所以所以 y=- -8 是原方程的解是原方程的解.（4） 原方程为原方

9、程为7u- -3=6u- -4移项，得移项，得 7u- -6u = 3- -4 化简，得化简，得 u = - -1检验：把检验：把u=- -1代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边= 7( (- -1) )- -3=- -10，右边右边=6( (- -1) )- -4=- -10， 左边左边=右边右边 所以所以 u=- -1 是原方程的解是原方程的解.3. 解下列方程解下列方程：（1） 2.5x+318 =1068；（2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.解解（1） 原方程为原方程为2.5x+318 = 1068移项，得移项，得 2.5x= 1068- -318化简

10、，得化简，得 x = 300检验：把检验：把x=300代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边= 2.5300+318=1068， 左边左边=右边右边 所以所以 x=300 是原方程的解是原方程的解.（2） 原方程为原方程为 2.4y + 2y+2.4 = 6.8移项，得移项，得 2.4y+2y = 6.8- -2.4 化简，得化简，得 y = 1检验：把检验：把y=1代入原方程的左边和右边，代入原方程的左边和右边， 左边左边= 2.41 + 21+2.4 = 6.8， 左边左边=右边右边 所以所以 y=1 是原方程的解是原方程的解. 一艘轮船在一艘轮船在A，B两个码头之间航

11、行，顺水航两个码头之间航行，顺水航行需行需4h，逆水航行需，逆水航行需5h. 已知水流速度为已知水流速度为2km/h，求轮船在静水中的航行速度求轮船在静水中的航行速度.动脑筋动脑筋 轮船顺水的航行速度轮船顺水的航行速度= 轮船在静水中的速度轮船在静水中的速度+ +水流速度水流速度. . 轮船逆水的航行速度轮船逆水的航行速度= 轮轮船在静水中的速度船在静水中的速度- -水流水流速度速度. .因此，设轮船在静水中的航行速度为因此，设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则根据等量关系可得则根据等量关系可得 4( (x+2) )= 5( (x- -2) ) .去括号，得去括号，得 4x + 8 =

12、5x - - 10 .移项，得移项，得 4x- -5x= - -8- -10 .合并同类项，得合并同类项，得 - -x =- -18 .两边都除以两边都除以- -1，得得 x = 18 .因此因此，轮船在静水中的航行速度为轮船在静水中的航行速度为18 km/h.本问题涉及的等量关系有本问题涉及的等量关系有： 顺水航行的路程顺水航行的路程 = 逆水航行的路程逆水航行的路程. . 上面解方程上面解方程4( (x+2 ) )= 5( ( x- -2) )的过程中的过程中，包含哪些步骤包含哪些步骤？说一说说一说例例2 解方程：解方程： 3( (2x - -1) ) = 3x + 1. .举举例例解解去

13、括号去括号，得得 6x- -3 = 3x+1合并同类项，得合并同类项，得 3x = 4 移项，得移项，得 6x - -3x = 1+3两边都除以两边都除以3，得，得 x = 43 因此，原方程的解是因此，原方程的解是 x = .43练习练习1. 下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正. .解方程解方程 2( (2x+3) )=2+x解解 去括号，得去括号，得 4x+3=2+x 移项，得移项，得 4x +x = 2- -3 化简，得化简，得 5x = - -1 方程两边都除以方程两边都除以5 ，得，得 x = - -15应改为应改为 4 x +6 =2+

14、x应改为应改为 4 x x = 2- -6应改为应改为 3x =- -443- -应改为应改为 x = 方程两边都除以方程两边都除以3，得，得2. 解下列方程解下列方程. . （1） ( (4y+8) )+2( (3y- -7) )= 0 ； （2） 2( (2x - -1) )- -2( (4x+3) )= 7； （3） 3( (x - -4) )= 4x- -1.解解（1） 原方程为原方程为( (4y+8) )+2( (3y- -7) )= 0去括号，得去括号，得 4y+8+6y- -14= 0移项，得移项，得 4y+6y = 14- -8 化简，得化简，得 10y = 6方程两边同除以方

15、程两边同除以 10， y =35（2） 原方程为原方程为2( (2x - -1) )- -2( (4x+3) )= 7去括号，得去括号，得 4x- -2- -8x- -6= 7移项，得移项，得 4x- -8x = 2+ +6+7 化简，得化简，得 - -4x = 15方程两边同除以方程两边同除以 - -4， x = - -154（3） 原方程为原方程为 3( (x - -4) )= 4x- -1去括号，得去括号，得 3x - -12 = 4x- -1移项，得移项，得 3x - -4x = 12- -1 化简，得化简，得 - - x = 11方程两边同除以方程两边同除以 - -11， x = -

16、 -11 刺绣一件作品刺绣一件作品，甲单独绣需要甲单独绣需要15天完成天完成，乙单乙单独绣需要独绣需要12天完成天完成. 现在甲先单独绣现在甲先单独绣1天天，接着乙又接着乙又单独绣单独绣4天天，剩下的工作由甲剩下的工作由甲、乙两人合绣乙两人合绣. 问再合问再合绣多少天可以完成这件作品绣多少天可以完成这件作品？动脑筋动脑筋本问题涉及的等量关系有：本问题涉及的等量关系有：甲完成的工作量甲完成的工作量 + + 乙完成的工作量乙完成的工作量 = 总工作量总工作量. .如果剩下的工作两人合绣如果剩下的工作两人合绣x天就可完成，天就可完成， 因此，设工作总量为因此，设工作总量为1，则甲每天完成工作总量，则

17、甲每天完成工作总量的的 ，乙每天完成工作总量的，乙每天完成工作总量的 . .115112那么甲共绣了那么甲共绣了( (x+1) )天天，完成的工作量为完成的工作量为 ；1+115x()()乙共绣了乙共绣了( (x+4) )天天，完成的工作量为完成的工作量为 . .1+412x()()即即 4( (x+1) )+5( (x+4) )=60去括号，得去括号，得 4x+4+5x+20=60.移项，合并同类项得移项，合并同类项得 9x=36.方程两边都除以方程两边都除以9，得得 x=4.因此，两人再合绣因此，两人再合绣4天天，就可完成这件作品就可完成这件作品根据等量关系根据等量关系，得得11+1 +4

18、 =11512xx()()()()方程两边都乘方程两边都乘60，得得11+1 +460=1 601512xx()()()()例例3 解方程：解方程：举举例例31252xxx解解去分母，得去分母，得 5( (3x - -1) )- -2( (2- -x) )=10 x 去括号，得去括号，得 15x - -5- -4+2x= 10 x移项，合并同类项，得移项，合并同类项，得 7x = 9方程两边都除以方程两边都除以7，得，得 x =9731252xxx因此，原方程的解是因此，原方程的解是 .9=7x解一元一次方程有哪些基本步骤解一元一次方程有哪些基本步骤？说一说说一说一元一次方程一元一次方程ax=

19、b( (a，b是常数是常数，a0) )=bxa去分母，去括号，去分母，去括号，移项，合并同类项得移项，合并同类项得两边都除以两边都除以a得得练习练习1. 下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正. .（1） - - = 2，去分母，得，去分母，得5x- -2x+3 = 2；53x235x- -（3） + + = 4，去分母，得，去分母，得4( (3x+1)+)+25x= 80.54x315x+ +不对，应为不对，应为 25x- -3( (2x- -3) )=30 对对2. 解下列方程解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4）50% %( (3x

20、 - -1) )- -20%(%(2- -x) )=x .5 + 33 5 = 23xx2 15 1=168xx 11 2 = 24yy解解:去分母，得去分母，得 4 = 4 ( (y - -1) )2 = 1- -2y去括号，得去括号，得 2y- -2 = 1- -2y移项，得移项，得 2y + +2y = 2+ +1 化简，得化简，得 4y = 3方程两边同除以方程两边同除以 4， y = 1 2y 1 24y 3 4 （1） 11 2 = 24yy解解:去分母，得去分母，得 6 = 6 ( (5+ +3x) )3 = ( (3+5x) )2去括号，得去括号，得 15+ +9x = 6+1

21、0 x移项，得移项，得 9x - -10 x = 6- -15 化简，得化简，得 - -1x = - -9方程两边同除以方程两边同除以 1， x = 9 5 + 32x 3 53 x （2） = 5 + 32x 3 53 x解解:去分母，得去分母，得 24 - - 24 =1 ( (2x- -1) )4 - - ( (5x+1) )3=124 去括号，得去括号，得 8x - -4 - -15x 3 =24移项，得移项，得 8x - -15x = 4+3+24 化简，得化简，得 - -7x = 31方程两边同除以方程两边同除以 - -7， x = - -31 72 16 x5 18x（3） -

22、- = 1.2 16 x5 18x解解:整理，得整理，得 0.5( (3x- -1) )- - 0.2( (2- -x) ) = x去括号，得去括号，得 1.5x- -0.5- -0.4+0.2x= x移项，得移项，得 1.5x+0.2x - -x = 0.5+0.4 化简，得化简，得 0.7x = 0.9方程两边同除以方程两边同除以 0.7， x = 9 7（4）50% %( (3x - -1) )- -20%(%(2- -x) )=x .解解中考中考 试题试题例例1 分析分析C3a293a- - 因为因为 的倒数是的倒数是 ，根据，根据“互为相反数之和等于互为相反数之和等于0”可得可得 ，解方程即可求出解方程即可求出a的值的值.3a3a29+33aa- - 由已知条件可得由已知条件可得 ，去分母，得，去分母，得a+2+2a-