第3课时空间向量与空间角

1、第3课时 空间向量与空间角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证琐的推理论证. .求空间角与距离是立体几何的一求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一类重要的问题，也是高考的热点之一. .本节课主本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题. .O OA AB Ba a b b . .1.1.体会用空间向量解决立体几何

2、问题的步骤体会用空间向量解决立体几何问题的步骤. .2.2.向量法求解线线、线面、面面的夹角向量法求解线线、线面、面面的夹角.(.(重点重点) )3.3.线线、线面、面面的夹角与向量的应用线线、线面、面面的夹角与向量的应用.(.(难点难点) )用空间向量解决立体几何问题的三步曲：用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.1.（化为向量问题）（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题平面，把立体几何问题转化为向量问题. .2.2.（进行向量运算）（进行向量运算

3、）通过向量运算，研究点、直通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题角等问题. .3.3.（回到图形问题）（回到图形问题）把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义. .探究点探究点1 1 异面直线所成的角异面直线所成的角lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , , 则则, l m(0)2cosa ba b b探究点探究点2 2 线面角线面角 ua ula sina ua u 设设直直线线的的方方向向向向量量为为a a，平平面面的的法法向向量量为为 ，且且直直线线 与与

4、平平面面所所成成的的角角u u0 0为为( (, ,则则2 2) )lllcoscos,AB CDAB CDAB CD DClBA探究点探究点3 3二面角二面角 lll1 1 方方向向向向量量法法: :将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角. .如如图图，设设二二面面角角- - -的的大大小小为为, ,其其中中ABAB ,AB,AB,CD,CD ,CD,CD. ,m n cos.m nm n l(2)(2)法法向向量量法法将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面

5、的的法法向向量量的的夹夹角角. .如如图图，向向量量n n，m m，则则二二面面角角- - -的的大大小小 . .注意法向量的方向：同进同出，注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹一进一出，二面角等于法向量夹角角l若若二二面面角角- - -的的大大小小为为(0(0),),则则：lnm 二面角的范围：二面角的范围：0, 1n2 n2 n1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n AOB , , 的的夹夹角角为为，cos|u vuv uv , 的夹角为 ，cos|u vuv uv 例例 如图，甲站在水库底

6、面上的点如图，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在处，乙站在水坝斜面上的点水坝斜面上的点B B处处. .从从A A，B B到直线到直线l（库底与水坝的（库底与水坝的交线）的距离交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为a和和b,CD,CD的长为的长为c, AB, AB的的长为长为d. .求库底与水坝所成二面角的余弦值求库底与水坝所成二面角的余弦值. . 解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算222)(DBCDACABd 22222() dACCDBDAC CDAC DBCD DBABCD l ABCD DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 因此因此.cos22222dcbaab 所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222ab