高二数学点,直线,平面之间的位置关系

1、-点，直线，平面之间的位置关系一、知识网络二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点一空间直线1、空间两条直线的位置关系1相交直线有且仅有一个公共点；2平行直线在同一个平面，没有公共点；3异面直线不同在任何一个平面，没有公

2、共点.2、平行直线1公理4平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a,b,c为直线， 2空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向一样，则这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两条直线所成的锐角或直角相等.3、异面直线1定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.2有关概念：设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线，并使/a，/b,则把和所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.认知：设 为异面直线a，b所成的角，则 .和两条异面直线都垂直相交的直

3、线存在且唯一，叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离.二空间直线与平面直线与平面的位置关系：1直线在平面直线与平面有无数个公共点；2直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；3直线和平面平行直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行1定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.2判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .3性质性质

4、定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直1定义：如果直线l和平面 的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面 互相垂直，记作l .2判定：判定定理1：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.符号表示： .3性质性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行.符号表示： 4概念点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，

5、这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.三空间两个平面1、两个平面的位置关系1定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.2两个平面的位置关系两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线.2、两个平面平行1判定判定定理1：如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.判定定理2：线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行.2性质性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.性质定理2定义的推论：如果两个平面平行，则其中一个平面的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念1和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个

6、平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的局部，叫做这两个平行平面的公垂线段.2两个平行平面的公垂线段都相等.3公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.它们恰是平行畴中同一事物的相互依存和相互贯穿的正反两个方面.四、高考真题一选择题1，设 为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且 ，有如下的两个命题：假设 ；假设 则 A、是真命题，是假命题； B、是假命题，是真命题；C、都是真命题； D、都是假命题.分析：这里 .对于，假设 ，则l，m可能平

7、行，也可能异面；对于，假设 则 可能垂直，也可能不垂直.故应选D.2、m,n是两条不重合的直线， 是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：假设m,n是异面直线， 其中真命题是 A、和 B、和 C、和 D、和分析：由面面平行判定定理知为真命题；注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，为假命题；显然为假命题；由于m,n为异面直线，故可在 确立两条相交直线与 平行，因而为真命题.故应选D.3，设 为平面，m,n,l为直线，则m 的一个充分条件是 分析：对于选项A，由于这里的直线m不一定在 ，故不一定有m ；对于选项B，它与m 构成的命题是：假设两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个

8、平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假；对于选项C，它与m 构成的命题是：假设两个平面都和第三个平面垂直，且直线m垂直于其中一个平面，则m也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题；排除法可知应选D.选项D与m 构成的命题是：假设直线m与两个平行平面中的一个平面垂直，则它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.4、对于不重合的两个平面 ，给定以下条件：存在平面 ，使得 都垂直于 ；存在平面 ，使得 都平行于 ； 有不共线三点到 的距离相等；存在异面直线l,m，使得 ；其中可以判定 平行的条件有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：对于，垂直于同一平面 的两个平面 可能相交；对于，由面面平行的传递

9、性可以判定 ；对于，当 相交时， 仍可存在不共线三点到 的距离等；对于，在m上取定点P，经过点P在l与点P确定的平面作l/l，则与m可确定平面 .由于 于是可知，此题应选B.二填空题1、m,n是不同的直线， 是不重合的平面，给出以下命题：假设假设假设m,n是两条异面直线，假设 上面的命题中，真命题的序号是写出所有真命题的序号分析：显然为假命题；对于， 的直线m,n不一定相交，故亦为假命题；对于，由题设知为真命题；对于，由前面选择题第4题知此为真命题.因此，答案为、.2、在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于E，交 于F，则四边形 一定是平行四边形；四边形 有可能是正方形；四边形 在底面ABC

10、D的投影一定是正方形；平面 有可能垂直于平面 以上结论正确的为写出所有正确结论的编号分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定理和 ，故四边形 为平行四边形，正确；在这里，当 时，平行四边形 即 为矩形，且不可能为正方形，不正确；正确；而当平面 与底面ABCD或 重合时有平面 ，故正确.于是可知答案为，.三解答题1、如图1，ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成直二面角，如图2. 1证明： ；2求二面角 的大小. 分析：循着解决平面图形折叠问题的根本思路：1认知平面图形中有关线段的长度与联系；2了解折叠前后有关线段的长度或联系的变与不变；3利用不变的量与不变的

11、关系解题.在这里，由图1知， .至此1易证；对于2，由1知 ， ，故 ，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.解：1证明：由题设知AOB是所成的直二面角的平面角，即 ，OC是AC在平面 上的射影又由题设得 从而根据三垂线定理由得， .2解：由1知 ， ， 设 ，在平面AOC过点E作EFAC于F，连结 三垂线定理 由题设知， 又即所求二面角的大小为 .点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中 ，是证明1以及解答2的根底与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.2、在四面体P-ABC中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB .F是线

12、段PB上一点， ，点E在线段AB上，且EFPB.1证明：PB平面CEF；2求：二面角B-CEF的大小. 分析：1要证PB平面CEF，只要证PB垂直于CE或CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里， ， 故易得 BC平面PAC，BCAC等.注意到 ， ，便得PBCF，于是问题获证.2由1知CEPB，从而CE平面PAB，CEAB，CEEF，故BEF为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.解：1证明：PA2+AC2=36+64=100=PC2PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证：PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA

13、平面ABC 而 故CFPB, 又EFPBPB平面CEFII由I知PBCE，PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。tanFEB=cotPBA= 二面角BCEF的大小为arctan点评：条件求值或证明中的数据经常具有双重作用，一是明确给出可用于计算或推理的量值，二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于此题，揭露并认知有关线段的垂直关系，乃是解题取胜的关键环节.3、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F

14、为CE上的点，且BF平面ACE.1求证：AE平面BCE；2求二面角B-AC-E的大小；3求点D到平面ACE的距离. 分析：1注意到BF平面ACE，故AEBF.又AECB明显，问题易证.2注意到四边形ABCD为正方形，故想到连结BD交AC于G，假设取AC中点为G，连结BG，则ACBG.再连结GF，只要证GFAC，便得出BGF为所求二面角的平面角.3注意到平面ACE经过线段BD的中点，故B、D两点到平面ACE的距离相等.据此，在直接画出并求解这一距离有困难时，可转而去求点B到平面ACE的距离，或运用体积法求这一距离.解法一：1 平面ACE.二面角DABE为直二面角，且 ， 平面ABE， 2连结BD

15、交AC于G，连结FG，正方形ABCD边长为2，BGAC，BG= ， 平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FGAC. 是二面角BACE的平面角.由AE平面BCE，AEEB，又 ，在等腰直角三角形AEB中，BE= .又 直角 ，二面角BACE等于 3方法一：过点E作 交AB于点O.，OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE，点D到平面ACE的距离为 方法二：G为BD中点，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离.BF平面ACEBF即为点B到平面ACE的距离.又由2知，所求点D到平面ACE的距离为 .解法二：1同解法一.2以线段AB的中点为原点O

16、，OE所在直线为*轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O*yz，如图. 面BCE，BE 面BCE， ，在 的中点， 设平面AEC的一个法向量为 ，则 即 解得 令 得 是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为 ，cos< , >=二面角BACE的大小为 3AD/z轴，AD=2， ，点D到平面ACE的距离点评：直面点到平面的距离，当垂线段难以作出或者难以求出时，要注意适时转化或变通。这里3的解法，便给出了变通与转化的例.4、如图，在长方体 中， ，AB2，点E在棱AB上移动.1证明： ；2当E为AB中点时，求点E到平面 的距离；3AE等

17、于何值时，二面角 的大小为 . 分析：1注意到这里的 不管在什么位置，它在侧面 的射影总是 ，要证 ，只要证 ，问题易证.2注意到 面积易求，想到运用“体积法.3注意到 ，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.解法一：1证明：在长方体中， ，四边形 为正方形 ， 为 在侧面 上的射影. 三垂线定理即 .2设点E到平面 的距离为h由题设知在 中， 而 又 由此得所求点E到平面 的距离为 .3在平面AED过点D作DHCE于H，连结 ，DE，则 为二面角 的平面角设 在 又 另一方面， 由此解得 .当 时，二面角 的大小为 .解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为*,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=*，则A11，0，1，D10，0，1，E1，*，0，A1，0，0C0，2