高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理(20211120104319)

1、高考数学圆锥曲线局部知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=o 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：假设曲线C的方程是f(x,y)=0 ，那么点Po(x o,y o)在曲线C上 f(x o,y o)=0 ;点Po(x o,y o)不在曲线 C 上 f(x o,y o)丰 0。两条曲线的交点：假设曲线0, G的方程分别为fi(x,y)=o,f 2(x,y)=o,贝U点

2、Fo(x o,y o)是C, C2的交点f“(xo,yo) o n y f方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f2(x),yo) o2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2圆心在坐标原点，半径为 r的圆方程是x2+y2=r2一般方程：当 D2+W-4F >o时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=o叫做圆的一般方程，圆心为 (,)半径2 2- 2 2是 D E 4F。配方，将方程2x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+ D ) 2+(y+ ) 2=- 4F2 2 4当D2+

3、E2-4F=0时，方程表示一个点(-D,-);2 2当d2+E2-4F V0时，方程不表示任何图形(3)点与圆的位置关系圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x o,y o)，那么| MC| V r 点M在圆C内，|MC| =r 点 M在圆 C上, | MC| > r 点 M在圆 C内，其中 | MC| = . (x0 - a)2 (y0 -b)2。(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的

4、距离dBb CA2b2与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e>0),贝恸点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数 e称为离心率。当0v e V 1时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e> 1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a>|F丘|)的点的轨迹2 .与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.0<e<11. 到两定

5、点F1,F2的距离之差的 绝对值为定值2a(0<2a<|F丘|)的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为 定值e的点的轨迹.e>1与定点和直线的距离相等的 点的轨迹轨迹条件点集：(M | MF+ | MF2 |=2a, | F 1F2 |< 2a=点集：M | MF | - | MF | .=± 2a, | F2F2 |> 2a.点集 M | MF | =点M至U直线I的距离.标准方程参数方程范围中心顶点对称轴焦占八'、八、焦距离心率2 2Xy2- _21( a b >0)ab22Xy221 (a>0，b>0)aby2 2pxx

6、 a cos y bsi n(参数为离心角)x a sec y bta n(参数为离心角)_ .2y 2pt(t为参数)a x a, b y b原点O 0, 0原点O0, 0(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)x= ±a2准线垂直于长轴，且在椭圆2c c=- a2 b2e c(0 e 1) ax= ±a2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.2c c= a2 b2e a(e 1)x=-准

7、线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等e=1【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率e . 2 .共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线2与x2a2 y b7互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:x2a2b2共渐近线的双曲线系方程:b20)的渐近线方程为x220如果双曲线的渐近线为0时, b它的双曲线方程可设为x2a20).【备注2】抛物线:1抛物线y2 =2px(p>0)的焦点坐标是(卫，0)，准线方程x=-卫，开口向右；抛物线 y2 =-2px(p>0)的焦点坐2 2标是(-p ,

8、0)，准线方程x=p，开口向左；抛物线 x2 =2py(p>0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=-卫 ，开2 2 2 2口向上； 抛物线x2 =-2pyp>0的焦点坐标是0,-只丨，准线方程y=-，开口向下2 22p22抛物线y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 MFx0 上；抛物线y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)2与焦点F的距离MF x023设抛物线的标准方程为y2 =2px(p>0)，贝U抛物线的焦点到其顶点的距离为卫，顶点到准线的距离 卫，焦点2 2到准线的距离为 p.4过抛物线 y2 =2px(p>0)焦点的直

9、线交抛物线于A、B两点，那么线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2),那么弦长AB =AFX2+P或AB 上丄(a为直线AB的倾斜角)，yMsin叫做焦半径).五、坐标的变换：1坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程2坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。3坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M它在原坐标系 xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ' O yxx

10、'h亠 x'xh或yy'k y'yk5.2 x 假设Po(xo , yo)在椭圆一2 a2b2 1上，那么过P0的椭圆的切线方程是爭 晋1.6.2x假设P°(x0,y0)在椭圆一a2笃 1夕卜，贝U过F0作椭圆的两条切线切点为bP1、P2,那么切点弦PP的直线方程是中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点 O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，那么叫做平移(或移轴)公式(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦占八、八、焦线对称轴椭圆2 2(x-h) +(y-k)=1aPT平分 PF1F2在点P处的外角，那么焦点在直线 PT上的射影H点的

11、轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切b2(± c+h,k)2,a - x= ± +hcx=h y=k2 2(x-h) +(y-k)=1b2a2(h, ± c+k)2,a , y= ± +kcx=h y=k双曲线2 2(x-h)(y-k)=12.21ab(± c+h,k)2,a , x= ±+kcx=h y=k2 2(y-k) , (x-h) =12.2ab(h, ± c+h)2,a , y= ±+kcx=hy=k抛

12、物线2(y-k) =2p(x-h)(-P+h,k)2x=- +h2y=k2(y-k)=-2p(x-h)(-卫 +h,k)2乂=卫 +h2y=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,卫 +k)2y=- +k2x=h2(x-h) =-2p(y-k)(h,-卫 +k)2=卫+k2x=h六、椭圆的常用结论:1. 点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角2 2X y7. 椭圆21 (a > b> 0)的左右焦点分别为Fi, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2，那么椭圆的焦点a b角形的面积为S Fipf2b2tan?.2 28. 椭圆 笃 再 1 a > b> 0的焦半径

13、公式a b|MFj a ex),|MF2| a exFJ c,0) , F2CO) M (心 y。).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M A2P和AQ交于点N,那么MFL NF.2x11. ab是椭圆冇a2缶1的不平行于对称轴的弦,M(X0,y°)为 AB 的中点，贝 V k°M kABKaB12.假设2XP°(X0,y0)在椭圆一2a2爲 1内

14、，那么被bPo所平分的中点弦的方程是X0Xaycyb22X02ay。2 ；b2 ；b X0。a y。【推论】：2x仁假设P)(X), y0)在椭圆一2a2 2 每 1内，那么过P0的弦中点的轨迹方程是 笃 ba2 y b2XqX2"aP、P2时A1P1与 AR交点的轨迹方程a>b>0的两个顶点为 A( a,0), A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于222、过椭圆 与岭 1 (a >0, b>0)上任一点A(X0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，那么直a bb2x线BC有定向且kBC丁0常数.a y。23、假设P为椭圆a1a&g

15、t;b>0上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点,PF1F2PF2F1贝H -c tan cot . a c 2222X y4、设椭圆 2 1 a>b>0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中,a bsinc记F1PF2,PF1F2,F1F2P，那么有一 c e.sin sin a5、假设椭圆圆上求一点2 2笃 爲 1a> b> 0的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,那么当a bP,使得PR是P到对应准线距离 d与PF>的比例中项./21时，可在椭6、 P为椭圆2 2x y二 21a>b>0上任一点,F

16、1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，那么a2 b22a | AF2|PA|IPFJ 2a |AFJ,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立7、椭圆ax0)2a2(y y。)2b21与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是A2a2 B2b2(AxoBy。C)2.2x8、椭圆-2a2 y_ b21 a> b> 0，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 OPOQ .112|OP|12|OQ|1;C 2|OP|2+|OQ|2 的最大值为2ba42b 24*笃；3SOPQ的最小值是b22a b_72a b9、过椭圆2 y_ b2a>b>0的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M

17、,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么迁旦| MN |10、椭圆2 y b2> b> 0,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(X0,0),a2 b2a2b2X011、(1)12、设P点是椭圆|PF1|PF2|PBAtan tan2x_2a亠.1 cos2B是椭圆务aBPA1e2a > b > 0上异于长轴端点的任一点,FF2为其焦点记 F1PF2S PF1F2b2%.，那么2 y_ b2,c、a > b> 0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB2ab2|cos | .e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有 1|PA| 222a

18、c cos2a b 丄cotay2JB两点，点C在右准线丨上，且BC x轴，那么直线AC经过线段EF14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，13、椭圆2X2a1 a > b>0的右准线丨与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于的中点.那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17、 椭圆焦三角形中，内

19、心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的内角.2、 PT平分 PF1F2在点P处的内角，那么焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交4、 以焦点半径 PR为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切内切：P在右支；外切：P在左支2x5、假设P)(x0, y0)在双曲线 a1 a > 0,b > 0上，那么过P0的双曲线的切线方程是 竽a1.x26、假设P0(x0, y0)在双曲线2a2y_b2

20、1 a > 0,b > 0外，那么过Po作双曲线的两条切线切点为P、巴那么切点弦P1P2的直线方程是X0X2aycy1.27、双曲线笃a2y_b7a>0,b > o的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2，那么双曲线的焦点角形的面积为2%F2 bCOt2.2 28、双曲线务 每 1a>0,b >o的焦半径公式：(F1 ( c,0) , F2(c,0)当M(x0,y°)在右支上时, a bIMF1Ia , | MF21ex0a ；当 M(x0,y°)在左支上时，| MR |ex0a, | MF21ex0a。9、 设过双曲

21、线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应 于焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝y MF丄NF.10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M A2P 和AQ交于点N,贝U MF丄NF.2 211、AB是双曲线务每a b1 a> 0,b > 0的不平行于对称轴的弦,M( x0 , y0 )为 AB的中点，那么 Kom K ABb2x02a y。即Kab2 x 12、假设F0(x0, y0)在双曲线 a1 a > 0,b > 0内，那么被Po所平分的中点弦的方

22、程是XqX2ab22X02 ax213、假设P)(X0, y°)在双曲线 a2y21a> 0,b >0内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是bx2yb2x°xy°yb2b2x02 a y。【推论】：2 2X y1、双曲线 2 1a>0,b >0的两个顶点为 A( a,0), A(a,O)，与y轴平行的直线交双曲线于P、R时a bA1P1与A2P2交点的轨迹方程是22、过双曲线X2aa> 0,b > 0上任一点 A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且kBC叹常数.2a y°23

23、、假设P为双曲线笃a2与 1a>0,b >0右或左支上除顶点外的任一点,F 1, F2是焦点，bPF1F2PF2F1c a，那么 一tan co t 或 C_a tan co t .22 c a 224、设双曲线笃a2 y b2a>0,b >0的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点,在厶PF1F2中，记 f1pf2PF1F2F1F2P，那么有sinc e.(sin sin ) a25、假设双曲线笃a在双曲线上求一点2y- 1b21p,使得a>0,b > 0的左、右焦点分别为 F、F2,左准线为L,那么当1 v ew -一 2 1时，可PF

24、是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.2X6、 P为双曲线耸aa> 0,b > 0上任一点,F 1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，那么| AF2 | 2a |PA| PF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立2 27、双曲线 与 每 1a>0,b >0与直线Ax By C0有公共点的充要条件是A2a2B2b2 C2 .a b228、双曲线笃社a2 b21 b > a >0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP OQ.112|OP|12|OQ|12a222|OP| +|OQ|的最小值为2 24a b722b

25、a2 b23SOPQ的最小值是a b 2b a29、过双曲线与a1 a>0,b > 0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交| PF | ex轴于P,贝U.|MN |22 210、双曲线 务 占 a>0,b >0,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),a b那么Xo2 ,2a b或X0aa2 b211、2p点是双曲线X"a2 y_ b21a> 0,b >0上异于实轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记RPF2，那么12、|PFi|PF2|2b21 cosPF1F2b%.B是双曲线1a&g

26、t; 0,b >0的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PABPBABPA2ab |cos |c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有 1 |PA| a c cos | tantan 12e .(3) S PAB , 2b2a2b242 COta213、双曲线笃a2y21 a > 0,b > 0b2的右准线丨与x轴相交于点E，过双曲线右焦点 F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线丨上，且BC X轴，那么直线 AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲

27、线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17、 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项八、抛物线的常用结论: ay2 by c x 顶点(4ac b ). 4a 2a0那么焦点半径为PF y2 2px(p 0)那么焦点半径 |pf x ； x2 2py(p 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的y2 2px或x2 2py的参数方程为22pt 或 x2 pty2 pt2 ptt为参数y2 2