《平方差公式》教学设计-04

1、平方差公式教学设计一、教学目标(一)教学目标1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力目标1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣 .2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美 .二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.（二）教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.三、教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一

2、想，记作 (§1.7.2 A)第二张：例 3，记作 (§1.7.2 B)第三张：例 4，记作 (§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)四、教学过程.创设问题情景，引入新课师同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为 a.这个正方形的面积是多少？生 a2 .师请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为 b 的小正方形 (如图 123). 现在我们就有了一个新的图形 (如上图阴影部分 )，你能表示出阴影部分的面积吗？图 123生剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 (a2 b2 ).师你能

3、用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论 .(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)生老师，我们拼出来啦.师讲给大伙听一听 .生我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a b),长是 a;下面的小长方形长是 (ab),宽是 b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(ab),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1 24 所示的图形 (阴影部分 )，它的长和宽分别为 (a+b),(ab),面积为 (a+b)(ab).图 124师比较上面两个图形中阴影部分的

4、面积，你发现了什么？生这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(ab)=a2 b2.生这恰好是我们上节课学过的平方差公式.生我明白了 .上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式 .今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了 .生用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证 .师由此我们对平方差公式有了更多的认识. 这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用 .讲授新课师出示投影片 (§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点79111379818812128080(2)从以上的过程中，你发现了

5、什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？生 (1)中算式算出来的结果如下79631113143798163998864121214480806400生从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大 1.师是不是大于1 的所有自然数都有这个特点呢？生我猜想是 .我又找了几个例子如：1339910199992426624224100100100002525625师你能用字母表示这一规律吗？生设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a1,a+1, 则有(a+1)( a1)= a21.生这个结论是正确的，用平方差公式即可说明 .生可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数

6、，还必须大于2 吗？(同学们惊讶，然后讨论)生 a 可以代表任意一个数 .师很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡 .生老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系 .在平时有什么用途呢？(陷入沉思 )生例如：计算29 ×31 很麻烦，我们就可以转化为(30 1)(30+1)=30 21=900 1=899.师的确如此 .我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片 (§1.7.2 B)例 3用平方差公式计算：(1)103 ×97 (2)118 ×122师我们可以发现，直

7、接运算上面的算式很麻烦. 但注意观察就会发现新的奥妙 . 生 我 发 现 了 ， 103=100+3,97=100 3, 因 此103 ×97=(100+3)(100 3)=10000 9=9991. 太简便了！生我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120 2,122=120+2118×122=(120 2)(120+2)=120 2 4=14400 4=14396.生遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.师我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).例 4计算：(1) a2(a+b)(ab)+a2b2;(2)(2 x5)(2 x+5)2x

8、(2x3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解： (1)a2(a+b)(ab)+a2b2=a2(a2b2)+a2 b2=a4a2b2 +a2 b2=a4(2)(2 x5)(2 x+5)2x(2x3)=(2x)2 52 (4x26x)=4x2 254x2 +6x=6x25注意：在 (2) 小题中， 2x 与 2x3 的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.例 5公式的逆用(1)(x+y)2(xy)2 (2)25 2 242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解： (1)(x+y)2(xy)2=(x+y)+(xy

9、) (x+y)(xy)=2x·2y=4xy(2)25 2242=(25+24)(25 24)=49.随堂练习1.(课本 P32 )计算(1)704 ×696(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)( x1)(3)x(x1) (x 1 )(x+ 1 )33(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠 )解： (1)704 ×696=(700+4)(700 4)=490000 16=489984(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)( x1)=(x2 4y2)+(x2 1)=x24y2 +x2 1=2x2 4y21(3)x(x1) (x 1 )(

10、x+ 1 )33=(x2 x) x2( 1 )2 3=x2xx2+ 19= 1 x92.(补充练习 )出示投影片 (§1.7.2 D)解方程： (2x+1)(2 x1)+3( x+2)( x2)=(7 x+1)( x1)(先由学生试着完成 )解： (2x+1)(2 x1)+3( x+2)( x2)=(7x+1)( x1)(2x)21+3( x2 4)=7 x2 6x14x21+3 x212=7 x26x16x=12x=2.课时小结师同学们这节课一定有不少体会和收获.生我能用拼图对平方差公式进行几何解释. 也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.生平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.生我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如 a(a+1) (a+b)(ab)一定要先算乘法，同时减号后面的积 (a+b)(ab),算出来一定先放在括号里，然后再去括号 .就不容易犯错误了 .课后作业课本 P32 、习题 1.12.活动与探究计算： 1990 2 1989 2+1988 21987 2 + +221.过程先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式 .结果原式 =(1990 21989 2)+(1988 21987 2)+(22 1)=(1990+1989)(1990 1989)+(1