诚毅高数1不定积分说课讲解

1、诚毅高数诚毅高数1不定积分不定积分定理定理 若函数若函数 f (x) 在区间在区间 I 上存在原函数，则其上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项任意两个原函数只差一个常数项. .例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.例例 sin2cosxx 例例 sincosxCx 二、不定积分二、不定积分 定义定义若存在原函数若存在原函数, ,由定义知由定义知, ,则则在某区间在某区间 上的函数上的函数I),(xf称称 为可积函数为可积函数, ,)(xf并将并将 的全体原函数记为的全体原函数记为)(xf则则dxxf )(称它是函数称它是函数 在区间在区间 内的内的不定积分不定

2、积分. .)(xfI若若 为为 的的原函数原函数, ,)(xF)(xf( 称为称为积分常数积分常数)Cdxxf )(CxF )(三、基本积分表三、基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)Ckxkdx k( 是常数是常数)Cxdxx 11 )1( Cxxdx |lnCxdxx arcsin112Cxxdx sincos(4)Cxdxx arctan112(7)Cxxdx cossin(9)(10)(11)(12)(13)Cxxdxxdx cotcscsin22sectansecxxdxxC csc cotcscxxdxxC Cedxexx .lnCaadxaxx (8)Cxxdxxdx tans

3、eccos225.2 基本积分法基本积分法 直接积分法直接积分法 第一类换元积分法（凑微分）第一类换元积分法（凑微分） 第二类换元积分法第二类换元积分法 分部积分法分部积分法一、直接积分法一、直接积分法例如例如, ,计算不定积分计算不定积分.)72(2 dxxx dxxx)72(2 dxxdxdxx722Cxxx 7323不定积分性质不定积分性质基本积分公式基本积分公式例例1 计算不定积分计算不定积分 .1232dxx 解解 dxx2321 dxxx 343221dxxdxxdx 343221Cxxx 134132134113212.73563735Cxxx 解解求不定积分求不定积分 dxxx

4、xx)1(122例例2.)1(122 dxxxxx dxxxxx)1()1(22dxxx 1112 dxxdxx1112.|lnarctanCxx 求下列不定积分求下列不定积分;1)1(3dxxx (2)(22sin ).xx dx 练习练习1二、第一类换元法二、第一类换元法(凑微分法凑微分法)问题问题Cedxexx 22?解法解法可将微分可将微分dx凑成凑成)2(21xd的形式的形式, ,即即)2(21xddx )2(2122xdedxexx 122ue duux令Ceu 21Cex 221一般地一般地, ,设设具有原函数具有原函数)(uf),(uF即即,)()(CuFduuf 则则 )()

5、()()(xdxfdxxxf ux )( 换元换元CuFduuf )()()(xu 回代回代,)(CxF .)()( dxxxf 应用凑微分法求应用凑微分法求 dxxg)(的关键是将它化为的关键是将它化为上述方法称为上述方法称为第一类换元法第一类换元法或或凑微分法凑微分法. .例例 1解解求不定积分求不定积分.)12(10dxx 利用凑微分公式利用凑微分公式),(1baxdadx 所以所以dxx10)12( )12()12(2110 xdxdxxx )12()12(2110 duu1021换元换元ux 1212 xu回代回代.)12(22111Cx Cu 112111注注: 一般情形一般情形:

6、dxbaxf )( .)(1duufaubax 练习练习2解解求不定积分求不定积分.231dxx )23(23121xdx dxx 231duu 121Cu ln21ux 23换元换元xu23 回代回代.23ln21Cx dxxx)23(23121 注注: 对变量代换比较熟练后对变量代换比较熟练后, ,可省去书写中间变量可省去书写中间变量的换元和回代过程的换元和回代过程. .练习练习3解解求不定积求不定积分分21.1dxx 211dxx 111211dxdxxx111(1)(1)211d xd xxx 111211dxxx 11ln.21xCx 1(ln1ln1)2xxC 例例2 求下列不定积

7、分求下列不定积分;sin)1(3dxx 2(2)cos.xdx 解解)1()(cos)cos1(2xdx )(coscos)(cos2xdxxd ;cos31cos3Cxx xdxxsinsin2 dxx 3sin注注: 当被积函数是三角函数的乘积时当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分项去凑微分.折开奇次折开奇次例例2 求下列不定积分求下列不定积分2(2)cos.xdx (2)解解 xdxdx2cos21 )2(2cos4121xxddx;42sin2Cxx dxx 22cos1dxx 2cos注注: 当被积函数是三角函数的偶次时当被积函数是三角函数的偶次时,公式降次公式降次.利用倍角利用

8、倍角练习练习432sincos.xxdx 求求求下列不定积分求下列不定积分sin(2);xdxx 练习练习5121(3).xedxx 232(1)(1);xxdx 例例 3解解求不定积分求不定积分.)ln21(1dxxx )ln21(ln21121xdx .ln21ln21Cx dxxx )ln21(1duu 121ux ln21换元换元xuln21 回代回代Cu ln21)(lnln211xdx 注注: 一般情形一般情形:1(ln )(ln ) (ln ).fxdxfx dxx 例例 4求下列不定积分求下列不定积分;1xxedxe 解解ln(1);xeC 原式原式1(1)1xxdee 注注:

9、 一般情形一般情形:dxeefxx )();()(xxedef 例例 5求下列不定积分求下列不定积分2arctan.1xdxx 解解21arctan.2xC原式原式arctan(arctan )x dx 注注: 一般情形一般情形:21(arctan )1fxdxx (arctan )(arctan );fx dx 定理定理2 设设)(tx 具有连续的导数具有连续的导数, ,且且, 0)( t 又设又设)()(ttf 具有原函数具有原函数),(tF则则 dtttfdxxf)()()( CxFCtF )()( 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数. .三、第二类换元法三、第二类换元法注注

10、: : 从定理从定理 2可见可见, ,第二类换元积分法与第一类换第二类换元积分法与第一类换元积分法的换元与回代过程正好相反元积分法的换元与回代过程正好相反. .根式代换根式代换1211tdxdttx 1.1dxx 例例1 求求2,2,xt xtdxtdt作作变变量量代代换换，令令, ,则则可可将将无无理理函函数数化化为为有有理理函函数数的的积积分分，所所以以有有解解221dtt 22ln 1.xxC122(1)1dtdtt 22ln 1ttC例例2 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116

11、 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 求下列不定积分求下列不定积分1(1);dxxx 练习练习61(2).1xdxe 解解, 12 tex令令xet 1),1ln(2 tx,122 ttdtdxdxex 11 dttt1111.)11ln(2Cxex dtt 122Ctt 11ln1(2).1xdxe 利用两个函数乘积的求导公式利用两个函数乘积的求导公式, ,设函数设函数)(xuu 和和)(xvv 具有连续导数具有连续导数, ,则则vuvuuv )(移项得移项得vuuvvu )(两边积分得两边积分得 vdxuuvdxvu或或 vduuvudv分部积分公式分部积

12、分公式四、分部积分法四、分部积分法求解关键求解关键 如何将所给积分如何将所给积分 dxxf)(化为化为 udv形式形式, ,并使它更容易计算并使它更容易计算, ,主要采用凑微分法主要采用凑微分法, ,例如例如, , dxexexdedxxexxxxCexCexexxx )1(udvuvvdu利用分部积分法计算不定积分利用分部积分法计算不定积分, ,选择好选择好非常非常u,v关键关键, ,选择不当将使积分的计算变得更加复杂选择不当将使积分的计算变得更加复杂, ,例如例如, , xxxxdexexxdedxxe222222更复杂更复杂例例1 求不定积分求不定积分 .cos xdxx解解令令,sin

13、cos,dvxdxdxxu cossinxxdxxdx xdxxxsinsin.cossinCxxx uv dxuvu vdx 例例2求不定积分求不定积分.2dxexx 解解dvdedxexuxx ,2 dxxeexxx22xxdexdxex 22 xxxdeex22.)(22Cexeexxxx uv dxuvu vdx 例例3求不定积分求不定积分 .arctanxdxx解解令令,2,arctan2dvxdxdxxu 2arctanarctan2xxdxdxx )(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx 222112arctan2dxxxx 2211121arctan2.)arctan(21arctan22Cxxxx uv dxuvu vdx 例例4求积分求积分