按应力求解平面问题

1、2-8 按按求解平面问题求解平面问题 平衡微分方程本来就不包含应变分量和位移分量,应当保留。于是,只须由三个几何方程中消去位移分量,得出三个应变分量之间的一个关系式, 再将三个物理方程代入这个关系式,使它只包含应力分量。 弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题, ,有三种基本方法有三种基本方法, ,和和。 （1）取 为基本未知函数；xyyx,1.按按应力应力求解平面应力问题求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:xyxyxyyyxxEEE121100yxyyxyxxfxyfyxyuxvyvxuxyyx平衡微分方程平衡微分方程物理方程物理方程几何方程几何方程 位移用变形应力表示，须通过积分

2、，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题只考虑全部为应力边界条件的问题, ,即 。 变形用应力表示（物理方程）。)0,(usss 在A内求解应力的方程.22222yxxyxyyxvu(b) 从几何方程中消去位移 ， ，得相容方相容方程（形变协调条件）程（形变协调条件）： 补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 :平衡微分方程 （2个）。 (a)xuxyvyyuxvxy变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必

3、须满足一定的条件 xuxyvyyuxvxy变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 将将 对对y偏导数两次，偏导数两次，将将 对对x偏导数两次，偏导数两次，将将 分别对分别对x和和y偏导数两次偏导数两次xyxyxvyuyxuxyvyxuxyyx323232222变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程( ( yxxyxyyx22222 应变分量 ， ， 必须满足这个方程, 才能保证位移分量 和 的存在。如果任意选取函数 ， 和 而不能满足这个方程, 那么, 由三个几何方程中的任何两个求出的位移分量, 将与第三个几何方程不能相容。这就表示, 变形以后的物体就不再是连续的, 而将发生某些部

4、分互相脱离或互相侵入的情况。 xyyx,uvxyxy相容方程几何意义相容方程几何意义例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0yvxu积分得：积分得：)()(21yfvxfu由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。不相容举例不相容举例对于多连通物体对于多连通物体：我们总可以作适当的截面使它变成单连通物体，则上述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则在此

5、被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位移分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体，则必须加上补充条件。acbd+- 因此，对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件,只有加上补充条件加上补充条件,条件才是充分的。 补充补充多连通物体多连通物体2. 变形协调方程的变形协调方程的应力应力表示表示（1）平面应力情形平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：将物理方程代入相容方程，得：yxxyxyyx22222（2-22）yxxyxyxyyx22222)

6、1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）0yyyxfyx0 xxyxfyx（2-2）（a）xfxxyxxxy222xxxyfxyyyxyfyxyfxfyxyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yfyyxyyxy222（b）将将 上式整理得：上式整理得：yfxfyxxyyxyxxyyx22222222)1 ()()(（2-23）应力应力表示的相容方程表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形（2-24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力应力表示的相容方程表示的相容方程（平面应变情形）（

7、平面应变情形）当体力当体力 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）yfxfxyyxyx)1 ()(2222将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1yfxfyxyxyx11)(22220)(2222yxyx用应力表示的相容方程 ： 2()(1)(),(c)yxxyffxy .22222yx其中 (4) 应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。)0,(usss（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件. 归纳归纳：xyyx,ss （1）-（4）

8、也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件：点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 DD FDD3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（2-23）（3）边界条件边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）说明说明：（1

9、）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程的解，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。例例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyx

10、xyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1） 将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a）不是一组可能）不是一组可能的应力场。的应力场。（2-2）0 xxyxfyx0yyyxfyx0)(2222yxyx例例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不

11、计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）（2）解解将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：02222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。yxxyxyyx22222例题例题 已知薄板有下列形变关系：已知薄板有下列形变关系：23 , ,DyCByAxyxyyx式中式中A,B,C,DA,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条连续条件件，若满

12、足并列出，若满足并列出应力分量表达式应力分量表达式。解答：解答： （1）相容）相容条件条件 将形变分量代入应变协调条件（相容方程）将形变分量代入应变协调条件（相容方程）其中其中所以满足相容方程所以满足相容方程 ，符合连续条件。，符合连续条件。yxxyxyyx2222200, 022222yxxyxyyx 解答：解答： （2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 （3）平衡微分方程）平衡微分方程)()(1)(1)(1)(12322322DyCGGByAxyEEByAxyEExyxyxyyyxx 解答：解答： （3）平衡微分方程）平衡微分方程其

13、中其中若满足平衡微分方程，必须有若满足平衡微分方程，必须有0 xyxxfyx0yxyyfxyGDyyxByAxEyyEAxyxxyyx2, 0)3(1,13220)3(1021322yxfByAxEfGDyyEA例例解解材料力学解答：材料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）满足平衡方程和相容方程？）满足平衡方程和相容方程？（a）式（式（a）是否满足边界条件？）是否满足边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0yxff代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。显然，平衡微分方程满足。00 yIPyIP0000（2-2）0

14、 xxyxfyx0yyyxfyx图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。xxyy式（式（a）满足相容方程。）满足相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足边界条件？）是否满足边界条件？0, 022hyyxhyy 满足满足00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhh

15、x近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解代入相容方程：代入相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：0)(2222yxyx1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法。2.若 是否可能 成为弹性体中的变形？3.若 是否 可能为弹性体中的应力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考题思考题2-9 常体力的情况下常体力的情况下的简化的简化 应力函数应力函数 在很多的工程问题中在很多的工程问题中, ,体力是常量体力是常量, ,也就是说也就是说, ,体力分量体力分

16、量 和和 在整个弹性体内是常量在整个弹性体内是常量, ,不随坐标而变。例如重力和不随坐标而变。例如重力和平行移动时的惯性力平行移动时的惯性力, ,就是常量的体力。就是常量的体力。 xfyf02222yxyx02yx拉普拉斯拉普拉斯 ( (Laplace)Laplace)微微分方程分方程, ,即即 相容方程 (A) (a)1.常体力情况下按应力求解的条件常体力情况下按应力求解的条件0)(2yx0,0yxyyxyxxfxyfyx(A) (b) 平衡微分方程 应力边界条件 ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (c)0,(usss 多连体中的位移单值条件。 (d) 在 - -

17、条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。2.在在常体力常体力, ,单连体单连体, ,全部为应力边全部为应力边界条件（界条件（ ）下的应力）下的应力 特征：特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,结论：结论：不同材料的应力( )的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材料来代替。xyyx,两类平面问题的应力解 相同，试 验时可用平面应力的模型代替平面应变的 模型。 xyyx,按应力求解应力边界问题时按应力求解应力边界问题时, ,在常体力的情况下在常体力的情况下 在边界上满足在边界上满足应力边界条件应力边界条件。在多连体中。在多连体中, ,

18、上列应力上列应力分量还应当满足分量还应当满足位移单值条件位移单值条件。 0 xyxxfyx0yxyyfxy02222yxyx相容方程相容方程平衡微分方程平衡微分方程应满足应满足 3.常体力下按应力的常体力下按应力的求解求解平衡微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组- -通解通解+ +特解特解 0yxyxx0 xyxyy齐次微分方程齐次微分方程通解通解特解特解xfxxyfyy0 xy0 x0yxfyfyxxyyfxfyxxyfxfyxy0 xy（其中的三组特解）根据微分方程理论，偏导数具有相容性：根据微分方程理论，偏导数具有相容性：若设函数 f =f (x，y)，则有xfyyfx假

19、如函数C和D满足下列关系式)()(DyCxxfDyfC ,那么，对照上式，一定存在某一函数f，使得数学补充数学补充求求齐次微分方程组通解齐次微分方程组通解： 0yxyxx0 xyxyy xyxyx根据全微分条件根据全微分条件, ,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 ),(yxA yAxxAxyxyyxy一定存在某一个函数一定存在某一个函数),(yxB xByyBxy比较两式0yxyxx齐次微分方程齐次微分方程0 xyxyy比较比较得到：得到： 根据全微分条件根据全微分条件, ,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 ),(yx yAxxAxy即得即得通解通解 xByyBxyyB

20、xA yAxB22yx22xyyxxy2 不论不论 是什么样的函数是什么样的函数, ,上上式应力分量总能满足式应力分量总能满足平衡平衡微分方程微分方程。函数函数 称为平面问题的应力函数称为平面问题的应力函数, , 也称为也称为。 同时也同时也应应满满足相容方程足相容方程 平衡微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组- -通解通解+ +特解特解 xfyxx22yfxyy22yxxy2022222222yfxxfyyxyx删去022222222xyyx 024422244yyxx02204展开展开应力函数是重调和函数应力函数是重调和函数 应力分量在边界上应当满足应力边界条件;在多连体的

21、情况下,这些应力分量还须满足位移单值条件。 c. 由 再去求应力（式（g）,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核平衡。b. 仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数 求解，从3个未知函数减少至1个未知函数 。a.导出应力函数 的过程，也就证明了 的存在性，故可以用各种方法去求解 。),(yx),(xyyx归纳：归纳：（1）A内相容方程（h）；（2） 上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。ss 求出 后，可由式（g）求得应力。 在常体力下求解平面问题 ，可转变为按应力函数按应力函数 求解求解， 应满足:1，在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面

22、问题的， 和均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？xyxy思考题2，对于按位移(u, v)求解，按应力（ ， ， ）求解和按应力函数 求解的方法，试比较其未知函数，应满足的方程和条件，求解的难易程度及局限性。xyxy 就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数 ,再求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察, 在各种形状的弹性体上, 这些应力分量对应于什么样的面力, 从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 2-10 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法- 应力函数的求法应力函数的求法就是针对所要求解的问题, 根据弹性体的边界形状和受力情况, 假设部分或全部应力分量为某种相对简单些的函

23、数, 从而推出应力函数 ，然后来考察, 这个应力函数是否满足相容方程, 以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量, 是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足, 自然也就得出正确的解答; 如果某一方面不能满足, 就要另作假设, 重新考察。Inverse method 逆解法xyyfxxfyxyyyxx222220),(4yxysxyyxsxyxflmfml)()(设定 ，并 满足相容方程 :由下式求出应力分量:由下式对给定坐标的物体求出面力分量 :确定所设定的 能解决的问题.Semi-inverse method 半逆解法xyyfxxfyxyyyx

24、x222220),(4yxysxyyxsxyxflmfml)()(部分设定 ，满足相容方程由下式求出应力分量:由下式对给定坐标的物体求出面力分量 : 满足应力边界条件满足应力边界条件,确定确定 中常数，如有矛盾，重设中常数，如有矛盾，重设 AiryAiry应力函数的物理意义应力函数的物理意义v存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲目性较大目性较大v一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点上的物理意义体内任意一点上的物理意义v二、采用边界二、采用边界 及其导数的力学意义来选择及其导数的力学意义来选择应力函数应力

25、函数 艾里应力函数的物理意义艾里应力函数的物理意义mxlyxmlfmyxlymlfyxynyyxxnx222222不计体力dsdycosldsdxsinmxssyyxsxxfyssxyxsyyfnynxdddddddddddd222222BAnyABBAnxABsfxxsfyydd应力函数的物理意义应力函数的物理意义BABByydsfxxdsfyBABxdsfxdsfyBAyBBAxBBAnyABBAnxABsfxxsfyydddyydxxdBABByydsfxxdsfyBABx物理意义：表示从始点到该点边界上的面力对该点的力矩之和。 1例题2例题3例题4例题7例题5例题6例题例1 试列出图中

26、的边界条件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/hy在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 ,

27、0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh 在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。例例2 2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl解： 此组位移解答若为图

28、示问题的解答，则应满足下列条件:(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程;（2）应力边界条件，在所有受面力的边界 上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。（3）位移边界条件，本题在x = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。S 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0），.0),(xuvu 读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223例例3 3 试考虑下列平面问题的应变分

29、量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足变形 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，则.22222yxxyxyyx2222( ) , , ;( ) (), (), ;xyxyxyxyaAx ByCx DyEx FybA xyB xyCxy例例4 4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。SSv（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。v（

30、b）为了满足相容方程，其系数必须满足v A + B = 0。v 为了满足平衡微分方程，其系数必须v 满足 A = B =-C/2。v 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。例例5 5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),( yxf40,解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），.04 。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)例例6 6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，202q

31、h)202(22qhqlxy) 1,(hlloqql h/2 h/2v解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足v（1）平衡微分方程；v（2）相容方程 ;v（3）应力边界条件（在 上）。v 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。0)(2yxSS再校核边界条件，在主要边界上，21316, 0, ()0, 243 ; 2xyhq hyxChqCh 即得312322, , (),282 .2yhqhhyqCCqhqC 即得12, 0, CC2yhy将，代入后满足。12( ), CCa将 ，代入得到应力公式，22333222(32),13(2),(b)223(4

32、1)2xyxyqyxyhyyqhhqxyhh 。再将式（b）表达式代入次要边界条件，/20- /2 d0,hx xhy（ ）0, 0, xyx334, xyqh其主矢量为而主矩为2/20- /2 d . 20hx xhqhy y（ ）223 , (41), 2xyqlyxlhh/20- /2 d.hxy xhyql（）233(64),xql yyh 22/2- /2 d().220hx x lhqlqhy y（ ）其主矢量为其主矢量为0，而主矩为 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。 q(x)xy) 1,(hllo h/2 h/2例7 在材料力学中，当矩

33、形截面梁（度 ）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为1( ).(a)xM xyI（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。yxy （提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）qxFFxMssdd dd（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。xv解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足v （1）平衡微分方程；v （2）相容方程；v （3）应力边界条件（在 上）。xSS

34、（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式， 得:yIxMx)(, 0yxyxx.ddIyFIyxMysyx两边对y积分，得21(), (b )2syxF yfxI 再由上下的边界条件 , 0)(2/ hyyx得代入得 , ,8 )( 21yxsIhFxf22 , ). (c)82syxF ShySI其中（将 代入平衡微分方程的第二式,yx, 0 xyxyy对y积分，得 ).28()28(12222yhIqyhIdxdFysy得).()618(232xfyyhIqy由上下的边界条件，。同样得得2)( ,)(;224)( , 0)(22/322/qxfqqhIqxf hyyhyy3233311

35、3()(2).(d)248622yqhhyyyyqIhh 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。x2hy由此得（b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程，为了满足相容方程，)(2222lxlxqlM).22321( ,)(6332232hyhyqylxlxhqlyx. 024 )(32yhqyx ),()(62232yfylxlxhqlx令v 此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得x, 0d)(d24)(2232yyfyhqyx.4)(33BAyyhqyf由次要边界条件。得满足。

36、得，hqAyyyyBylxxhhxhhxlxhhx53 , 0d)( , 0d)(;0 , 0d)(02/2/02/2/2/2/由此得223323643(), (e)5xqlxxqqyyyhllhh 读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。 1. 1. 平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是的特征是平面应力问题平面应力问题: (1) z=zx=0= zy=0, 只有平面应力x ,y和xy 存在;

37、(2) 应力和应变均只是 x , y 的函数。平面应变问题平面应变问题: : (1) z=zx=zy=0, 只有平面应变z , z 和xy存在 :(2) 应力、应变和位移只是 x, y的函数。 平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板, , 而平面而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长应变问题对应的弹性体通常为常截面长柱柱体。这两类平面体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同完全相同, , 只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问题

38、的物理方程作题的物理方程作 EE/(1-2)， /(1-)的变的变换换, , 便可得到平面应变问题的物理方程。两者的求解方法便可得到平面应变问题的物理方程。两者的求解方法及及解答也只须进行同样的弹性解答也只须进行同样的弹性系系数的变换。数的变换。 2. .平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件 ( ( 平面应力问题平面应力问题) ) 平面问题中共有八个未知函数 它们必须满足区域内的基本方程:00yxyyxxyxfxyfyx(1)(1) 平平衡衡微分方程式微分方程式(2) 几何方程几何方程yuxvxyxuxyvy(3) 物理方程物理方程yxxE1xyyE1xyxyE)1(2(4) 边界条件边界条件: yxyyxyxxflmfml(在S上) 应力边界条件应力边界条件 位移边界条件位移边界条件vvuu(在Su上)3.3.按位移求解平面问题按位移求解平面问题( (平面应力问题平面应力问题),),位移分量位移分量u u和和v v必须必须：（1 1）用位移表示的平衡微分方程）用位移表示的平衡微分方程（2 2）用位移表示的）用位移表示的应力边界条件 021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxyuxuEyxfyuxvmxuyvlEfyuxv