高中三角函数典型例题(教用)

1、【典型例题】1、已知 tan x 2,求 sin x, cosx 的值.解： 因为 tan x sin x 2 ,又 sin2 a cos2 a 1, cosx联立得sin x 2cosxsin2 x2cos x2.52.5sin x sin x 解这个方程组得5,5 5, 5cosx cosx552 求 tan( 120)cos(210)sin( 480 )的值tan( 690 )sin( 150)cos(330)解：原式tan( 120 180 )cos(18030 )sin( 360120 )tan( 72030o)sin( 150 ) cos(360 30 )tan60 ( cos30

2、 )( sin120 )tan 30 ( sin 150 ) cos30c 什 sin x cosx3、右2,求 sinxcosx 的值.sin x cosx解：法一：因为sinx 8sx 2, sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx)得到sinx 3cosx,又sin2 a cos2 a 1 ,联立方程组，解得sin xcosxsin xcosx3.10丁107q-3 10尸10To-3所以 sin xcosx 一 10法二:因为 sinx 8sx 2, sin x cosx所以sin xcosx 2(sin xcosx),所以(sin x、2cosx) 4

3、(sin、2x cosx),所以 1 2sinxcosx 4 8sinxcosx,所以有sin xcosx104、求证：tan2 xsin2 x tan2 x. 2、，sin x。H-：右边=tan晨-m.x = tan: x(tan2xcos2 x) = tan cosx2)二tan：工sin x2; 法二；左边=tan，xxsin 2 x= tan2 xx(l-cos= tan: x - tan2 xcosx3 = tan: x(l -cos x3) = tan2 xsin x2，、一、,.，x 冗、.5、求函数y 2sin( )在区间0,2 上的值域。2 6x解：因为0 x 2 ,所以0

4、 -2得到 由正弦函数的图象, 6x 冗2叱6)工,1所以 y 2 sin( )2,2 61,26、求下列函数的值域.(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)(1) y sin2 x cosx 2；解：(1) y sin2 x cosx 222=1 cos x cosx 2 (cos x cosx) 321 2131213令 t cosx,则 t 1,1, y (t t) 3 (t-)(t)一，242413利用二次函数的图象得到y 1 .，4(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)2=(sin x cosx) 1 (sin x cosx)令t sinx co

5、sx J2 sin(x )，则 t <2,7245_则y t2 t 1,利用二次函数的图象得到y ,1 ,2.47、若函数y=Asin( 3x+()( w >0,巾>0)的图象的一个最高点为(2,J2),它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6 , 0),求这个函数的一个解析式。解：由最高点为(2,夜)，得到A *5,最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 I 1 T交点的间隔是 1个周期，这样求得 T 4, T=16,所以44又由亚 亚sin( - 2),得到可以取 -.y J2sin( - x -).84848、已知函数 f (x)=cos 4x 2sin xcosx s

6、in 4x.，,一，一.一，一TT.(I)求f(x)的最小正周期；(n)若x 0, ,求f(x)的最大值、最小值.数21 sin xy 的值域.3 cos x解：(I)因为 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin4 x= (cos 2x sin 2x)(cos 2x+ sin 2x) sin2 x(cos2 x sin2 x) sin 2x cos2x sin2x 、2 sin( - 2x)、2sin(2x )44所以最小正周期为川若x 0, A 则(2x 4) M，所以当x=0时，f (x)取最大值为J2sin( -) 1;当x %时，f(x)取最小值为 48cos sin9

7、、已知 tan J2 ,求(1)cossin(2) sin222sin .cos 2cos 的值. cos sin解：(1)cossinsin 1 -cos( sin1 - costan1 tan3 2/2 ；(2) sin2sin cos22 cos. 2.sinsin cos-2sin cos22 cossin2 cos2sinsincos22 cos说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。10、求函数 y 1 sin x cosx (sin x cosx)2 的值域。解：设tsin x cosx. 2sin(x -)4t2 t 1

8、 (t2)2因为所以亚时,ymaxymin所以，函数的值域为11、已知函数f(x)24sin x 2sin 2x2, xR ； (1)求f(x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合；(2)证明：函数 TTf (x)的图像关于直线x 对称。8解：f(x) 4sin2 x 2sin 2x2 2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x2、 .2sin(2x)43冗时,8f(x)最大值为2亚(1)所以f (x)的最小正周期一-一 兀 一兀所以，当2x - 2k/即x ku42(2)证明:欲证明函数f(x)的图像关于直线 x冗一对称，只要证明对任意x R,有8f(x)f

9、(x)成立,因为f(x)2,2sin2(2,2sin( - 2x)22 J2 cos2x ,所以12、f(x)2,2sin2(2 .2sin( ； 2x)2V2 cos2x ,x)一, 冗 、，、f( 一 x)成立,8从而函数f(x)的图像关于直线花一对称。8已知函数 y= cos2x+ 3 sinx cosx+1(xCR),(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x C R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到解：(1) y= 1 cos2x+ -3 sinx cosx+1= 1 (2cos 2x 1)+-3 ,(2sinx cosx) +141 c 3 _=cos2x+ sin2x+5 1 ,一=一(cos2x - sin +sin2xcos-)+264=1 sin(2x+ )+ 所以y取最大值时，只需 2x+ =+2k兀，(k C Z),即x= +k兀，(kCZ)。所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +kTt,kCZ(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:(i)把函数y=sinx的图像向左平移 一，得到函数6y=sin（x+ 一）的图像;(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的y=sin(2x+ )的图像；61八-倍(纵坐标不变