第12讲：矩阵对角化

1、统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A 3 相似矩阵相似矩阵 一、一、相似矩阵与相似变换相似矩阵与相似变换的概念的概念对对 A 进行进行1PAP 运算运算, 称为对称为对A进行相似变换进行相似变换,1,PAPB 定义定义: 设设A, B都是都是n阶方阵阶方阵, 若有可逆方阵若有可逆方阵 P , 使使则称则称 B 是是 A的相似矩阵的相似矩阵, 也称也称 矩阵矩阵 A与与 B相似相似;可逆矩阵可逆矩阵P 称为把称为把 A变成变成 B的相似变换矩阵的相似变换矩阵.统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质

2、矩阵间的相似关系具有矩阵间的相似关系具有 (1) 反身性反身性: A 与与 A 本身相似本身相似; (2) 对称性对称性: 若若 A 与与 B 相似相似, 则则 B 与与 A 也相似也相似; (3) 传递性传递性: 若若 A 与与 B 相似相似, B 与与 C 相似相似, 则则 A 与与 C 相似相似;因此相似关系是一种等价关系因此相似关系是一种等价关系.统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A定理定理: 若若 A 与与 B 相似相似, 则则(1);AB (2)( )( );R AR B (3) 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的从

3、而有相同的特征值特征值.特别地特别地, 若若 A 与对角矩阵与对角矩阵 1 2 n 相似相似, , 则则就是就是 A 的的 n 个特征值个特征值.12,n统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A例例: 设设 与与 相似相似, 求求 a, b.20022311Aa 12Bb 解解: 由于由于相似相似矩阵有相同的特征多项式矩阵有相同的特征多项式, 所以所以,AEBE2(2)(1)(2)aa (1)(2)(),b 取取01, 及及02ab 可可解解出出, ,统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方

4、阵对角化,nAP对对阶阶方方阵阵若若能能找找到到可可逆逆矩矩阵阵使使1,.PAPA 为为对对角角阵阵 这这就就称称为为把把方方阵阵对对角角化化(1) ?A问问题题是是 在在什什么么条条件件下下方方阵阵能能对对角角化化1(2) ?APPAP 若若能能对对角角化化, ,则则如如何何求求可可逆逆阵阵 使使1,PPAP 假假设设有有可可逆逆阵阵使使1 2 n 12,nPPppp 把把用用其其列列向向量量表表示示为为统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A1PAP 则则,APP 121122,(,),nnnA pppppp 即即(1,2, ),iiiA ppin ,iiAPp

5、 可见是的特征值 而的列向量就是可见是的特征值 而的列向量就是.iA 的对应于特征值的特征向量的对应于特征值的特征向量 因而若因而若 P 是由是由 A 的的 n 个特征向量所构成个特征向量所构成, 则总有则总有;APP 1,PAP 但要但要,P需可逆需可逆即即要求要求 A 有有n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A定理定理: n 阶方阵阶方阵A与对角阵相似与对角阵相似 (即即A 能对角化能对角化) 的的充要条件是充要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.12,npppAn若若是是的的 个个线线

6、性性无无关关的的特特征征向向量量12(,),nPppp 则则取取112(,),nP APdiag iip 其其中中与与对对应应. .推论推论: 如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 有有 n 个互不相同的特征值个互不相同的特征值, 则则 A 必能对角化必能对角化. 当当 A 的特征方程有重根时的特征方程有重根时, 就不一定有就不一定有 n 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化从而不一定能对角化.统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A例例: 设设 分别是分别是 A 的对应于特征值的对应于特征值1,1, 21111 , 2 , 3148 的的特征向

7、量特征向量, 求求 A.解解:111123 ,148P 令 令 1100010 ,002PAP 则 则 1441572 ,231P 可求出 可求出 1100010002APP 13175263611568025 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A 4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 一、一、实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质(1) 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.(2) 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量 相互正交相互正交.(3) ,nAk 设设是是 阶阶实实对对称称矩矩阵阵的的 重重特特征征值值

8、 则则(), R AEnkk从而对应特征值恰有个从而对应特征值恰有个.线线性性无无关关的的特特征征向向量量统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A定理定理: 实对称矩阵实对称矩阵A 必能对角化必能对角化, 且存在正交阵且存在正交阵P1,PAP 使使 .An 其其中中是是以以的的个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的对对角角矩矩阵阵 二、二、利用正交阵将实对称矩阵对角化的步骤利用正交阵将实对称矩阵对角化的步骤(1),;sA 1 1求求出出的的所所有有互互不不相相等等的的特特征征值值 (2)iiAE x0求出每一对应的特征方程组求出每一对应的特征方程组的的一一基基础础

9、解解系系, ,再将它们正交规范化,再将它们正交规范化,i 得对应的得对应的;一组正交的单位特征向量一组正交的单位特征向量(3)将所求的所有单位正交特征向量合在一起,将所求的所有单位正交特征向量合在一起,P构成矩阵构成矩阵1PPAP 就是使的正交阵.就是使的正交阵.统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A例例: 设设120222 ,023A 1 .PPAP 求求一一正正交交阵阵使使为为对对角角阵阵解解: A 特征多项式特征多项式120222023AE ( 1)(2)(5), 1231,2,5;A 得的特征值为得的特征值为统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线

10、性性 代代 数数 A11, 对应对应(),AE x0特征方程组为特征方程组为220232024AE 由由续解续解:120222 ,023A 1231,2,5;A 的的特特征征值值102 012 ,000r 13232,2,xxxx 122 ,1 得基础解系得基础解系111p 单位化得单位化得2/32/3 ;1/3 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A22, 对应对应(2),AE x0特征方程组特征方程组1202202021AE 由由101 011/2 ,000r 1323,/2,xxxx 211/2 ,1 得基础解系得基础解系续解续解:120222 ,023A

11、1231,2,5;A 的的特特征征值值222p 单位化得单位化得2/31/3;2/3 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A35, 对应对应(5),AE x0特征方程组特征方程组4205232022AE 由由101/2 011,000r 1323/2,xxxx 31/21,1 得基础解系得基础解系续解续解:120222 ,023A 1231,2,5;A 的的特特征征值值333p 单位化得单位化得1/32/3 ;2/3 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A续解续解:123(,)Pppp 令 令 2/32/3 1/32/3 1/32/3

12、 ,1/32/32/3 1PAP 则则100020005 1231,2,5 对对应应的的单单位位特特征征向向量量分分别别为为12/32/3 ,1/3p 22/31/3,2/3p 31/32/3 ,2/3p 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A例例: 设设011101 ,110A 1 .PPAP 求求一一正正交交阵阵使使为为对对角角阵阵解解: A 特征多项式特征多项式111111AE 2(2)(1) , 1232,1;A 得的特征值为得的特征值为统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A续解续解:12, 对应对应(2),AE x0特征方程

13、组为特征方程组为2112121112AE 由由011101 ,110A 1232,1;A 的特征值的特征值101 011 ,000r1323,xxxx 111 ,1 得基础解系得基础解系111p 单位化得单位化得111 ;31 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A231,对应对应(),AE x0特征方程组为特征方程组为111111111AE 由由续解续解:011101 ,110A 1232,1;A 的特征值的特征值111 000,000r 123,xxx 211,0 得基础解系得基础解系310 ,1 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数

14、数 A23231111,0 ,01 对应的特征方程组的对应的特征方程组的基础解系基础解系续解续解:23, 将正交化:将正交化:2,2 2令=令=2333222, 111 ,22 再再单单位位化化得得22p 2 2= =111,20 333p = =111 ;62 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A续解续解:123(,)Pppp 令 令 1/31/21/61/31/21/6 ,1/302/6 1PAP 则则200010001 12 对应的单位特征向量为对应的单位特征向量为1p 231 对应的单位正交特征向量为对应的单位正交特征向量为p 2 23p 111 ,31

15、 111,20 111 ;62 统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A思考题思考题2 2：,( ).(A) ; (B) ; (C) ;(D) . A BnABEAEBABABtt EAt EB 设设为为 阶阶矩矩阵阵, ,且且与与相相似似, ,则则与与有有相相同同的的特特征征值值和和特特征征向向量量与与都都相相似似与与一一个个对对角角阵阵对对任任意意常常数数 ，与与相相似似思考题思考题1:1: n 阶方阵阶方阵 A 具有具有 n 个不同的特征值是个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（与对角矩阵相似的（ ）.(A) 充分且必要条件充分且必要条件; (B) 充分而非必

16、要条件充分而非必要条件; (C) 必要而非充分条件必要而非充分条件; (D) 既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件BD统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A思考题思考题3:3: n阶方阵阶方阵A 能与对角矩阵相似的充分必要能与对角矩阵相似的充分必要条件是（条件是（ ） (A) A是实对称矩阵是实对称矩阵; (B) A的的n个特征值互不相等个特征值互不相等; (C) A具有具有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量; (D) A的特征向量两两正交的特征向量两两正交C统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A思考拓展思考拓展1: 设设

17、 求求 a 使使 A 能对角化能对角化.00111,100Aa 解解: A 特征多项式特征多项式011110AEa 2( 1)(1) , 1231,1;A 得的特征值为得的特征值为统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A续解续解:11, 对应对应(),AE x0特征方程组为特征方程组为10112101AEa由由00111,100Aa 1231,1;A 的特征值的特征值101 021 ,000ra ()2,R AE ;可得1个线性无关的特征向量可得1个线性无关的特征向量231,A从而能对角化,则对应特征值从而能对角化,则对应特征值;应有2个线性无关的特征向量应有2个线

18、性无关的特征向量统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A231,而对而对(),AE x0特征方程组为特征方程组为续解续解:00111,100Aa 1231,1;A 的特征值的特征值231对应有2个线性无关的特征向量对应有2个线性无关的特征向量()1,R AE 10110101AEa 而而101 001 ,000ra 1.Aa 能对角化,则要求能对角化,则要求统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A思考拓展思考拓展2: 求一个三阶实对称矩阵求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征值它的特征值为为 6, 3, 3, 且特征值且特征值6对应的一个特征向量为对应的一个特征向量为.,pT1) 111 (设特征值设特征值3对应的特征向量为对应的特征向量为 x = (x1 , x2 , x3)T ,由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量 正交正交, , 0 3211 xxxx,p故故求得这个方程组的基础解系为求得这个方程组的基础解系为,101,01132 pp取取 p2 , p3 为特征值为特征值3对应的两个线性无关的特征向量；对应的两个线性无关的特征向量；统计软件分析与应用4.3 相似矩阵相似矩阵线线 性性 代代 数数 A),(321pppP 令令