.微分中值定理

1、§ 2.2 微分中值定理一、罗尔定理设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a) f(b).则至少存在一点(r a, b，使得f! £二0.几何意义：条件(1)说明曲线y f (x)在A(a, f (a)和B(b, f (b)之间是连续曲线包括点A和点B.条件(2)说明曲线y f (x)在A, B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点 A和B条件(3)说明曲线y f x在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线y f x在A点和B点之间不包括点A和B至少有一点，它的切线 平行于x轴。注意：构造辅助函数时，可考虑

2、以下形式 k(1) F (x) x f (x)(加法)f(x)F(x) -V (加法) x(3) F(x) f (x)ekx (函数加导数)【例1】设f x在0, 3上连续，在 0, 3内可导，且f 0 f 1 f 23,f 31 ,试证：必存在 0, 3 ,使f 0。证 ；f (x)在0, 3上连续，f (x)在0, 2上连续，且有最大值M和最小值m,于是 m f (0) M ； m f (1) M ； m f (2) M ,一1 一一 一故 m - f(0) f (1) f(2)M o3由连续函数介值定理可知，至少存在一点c 0, 2 ,使得1 f c - f(0) f(1) f(2)13

3、因此f c f 3 ,且f x在c, 3上连续，c, 3内可导，由罗尔定理得出必存在 c, 303，使得f 0。1【例2】设f x在0,1上连续，在 0,1内可导，且32f x dx f 0 .-3求证：存在f卜0, 1使f I f0、一 , ,"2 I 12证由积分中值7E理可知，存在 c r -,1 ,使得 f x dx f c 1 3 J 31得至Uf c 3 2 f x dx f (0)3对f x在0, c上用罗尔定理(三个条件都满足)，故存在匹0, c C(0,1),使f| £二0【例3】(07)设函数f(x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数

4、且存在 相等的最大值，f(a) g(a), f (b) g(b),证明：存在 (a,b),使得f ( ) g ()。分析：令F(x) f(x) g(x) F(x)在a,b连续，在(a,b)可导，在题设条件下， 要证存在 (a,b), F ( ) 0。已知F(a) F(b) 0,只需由题设再证c (a, b),F(c) 0。证明：由题设 x1 (a,b),M max f (x) f (x1), 'a,b'x2 (a,b),M maxg(x) 9(x2)。 a,b若 x1x2，取 cx1 x2，则 F (c) 0。若 XiX2,不妨设XiX2,则 F(Xi)f(Xi)g(Xi)0

5、, F(X2)f(X2)g(X2)0c Xi,X2, F(c) 0由F(a) F(c) F(b) 0 ,对F(x)分别在a,c和c,b用罗尔定理再对F (x)用罗尔定理i (a,c),2 (Gb),使得 F ( i) F ( 2) 0。(i, 2)(a,b),使得 F ( ) 0,即 f ( ) g ()。二、拉格朗日中值定理设函数f x满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间a,b内可导。则存在a,使得或写成f b有时也写成fX0X f X0这里X0相当a或b都可以，X可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线y f x在点A a, f a和点B b, f b之间包括点A和点B是连续曲线。

6、条件(2)说明曲线y f x 不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明曲线 y f X在A、B之间不包括点 A和点B至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。推论1 若f x在a, b内可导，且f x 0,则f x在a, b内为常数。推论2 若fx,gx在a, b内皆可导，且 f x g x ,则在 a, b内f x g x c,其中c为一个常数。推论3 设f (x) , g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f (x) g(x)(x a, b)(1)f (x) g (x),x (a,b)(2)x0a,b, f (x0)g(xo)(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f a f b时的特

7、殊情形，就是罗尔定理)【例1】 设不恒为常数的函数f x在a, b上连续，a, b内可导，且f a f b ,证明a, b内至少有一点 证 由题意可知存在c匚(a,b)使得如果fc fa,则fx在a,f f(c) f(a) nT 10c a 如果fb fc,则fx在c,f 20，b c因此，必有f £(a,b),使得fE ,使得f 0.f c f a f bc上用拉格朗日中值定理存在« £ (a,c),使b上用拉格朗日中值定理存在12£ (c,b),使0 成立.【例2】 设f (x) 0, f(0)二0,证明对任意x10, x20恒有f(xiTx2)f(

8、xi)Tf(x2)证 不妨假设x1 < x2 ,由拉格朗日中值定理有 f(xi)二 f(xi)-f(0)二(Xi-0)fi),0fiXiX2 ,从而可知 f(Xi +X2)- f (X2)二(X1-X2)- X2 f2), X2 " Xif /f1 ，2， f(l(X)(0, fJ(X)单调减少，于是 flg)"42)这样由两式可知f(X1)f(X1 X2)- f (x2)因此,f (Xi、2)( f(Xi)- f(X2)成立.【例 3】(04)设 e a b e2,证明 in2 b in2 a g (b a).e.22,分析：即证1nb ln a 3,符合拉格朗日中

9、值定理。(b a) e证明：令f(X) ln2X,在a,b上用拉格朗日中值定理得f ( ) 2ln-22f(b)f(a)ln2b ln2ab ab a其中 (a,b)(e,e2)。注意到则(x) Un 0(x e)X(X)in xx(x)在(e,)单调下降in(e2)in e22- ein2b in2a(b a)解法二引入辅助函数，利用函数单调性 三、柯西中值定理设函数f x和g x满足:(1)在闭区间 a, b上皆连续;a, b使得(2)在开区间 a, b内皆可导且g x 0。则存在（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g x x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：

10、考虑曲线 AB的参数方程 x g t t a, b ,点A g a , f a ,点y ftB g b , f b曲线AB上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有点，它的切线平行于割线 AB。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理 最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看 作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽 然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗o 第小区iG史伯）【例1】 设f x在a, b上连续，a,内可导，且b a 0,证明：存在尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯 西中值定理也是较少。f (a,b)使 fUb.ab证考虑柯西中值定理(g x待定

11、)f j ； - f b I f a - f_J_X_b_|_ag!1gb.ga - g b |g a最后一步是把分子用拉格朗日中值定理 .再把欲证的结论变形，dl. "fh -2, a +b - b2 |a2两式比较，看出令 g x x2即可.b ivq b2aba2tf r 0类似地，欲证 f手工一| |金，则取g xx3即可四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）设f x在xo处有n阶导数，则有公式f x f x0f xo-7Tx x0fxo2k x x0HIx0nx xoRnn!xxo.nR x其中 Rn x o x xo x xo 称为皮亚法余项。 lim

12、n ox xo15 x xo前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ,所以对常用的初等函数如ex,sin x,cosx,ln（1 x）和（1 x）a （ a为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2 （拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设f x在包含xo的区间a, b内有n 1阶导数，在 a, b上有n阶连续导数，则对x a, b ,有公式f xonrx xonx xo2 III ；x %n Rf n 1 fn 1其中Rn x x Xo（在与x之间）称为拉格朗日余项n 1 !上面展开式称为以 xo为中心的n阶泰勒公式。当xo o时，也称为n阶麦克劳林公式。如果lim Rn x 。，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 n【例1】 设函数f x在o,1上二阶可导，且fo fo f1 o,f1 1.求证：存在f £ 0, 1 ,使得f，）4先把f x在x 0处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式f 0 x - f 1 x