2018年度二次函数压轴题题型归纳

1、2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：AB y Va yB 2 Xa Xb 22、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：至J1,它B22直线y k1x b1 ( k1 0)与y k2x b2 ( k2 0)的位置关系：(1)两直线平行kik2且bib2(2)两直线相交kik?(3)两直线重合k1k2且b1b2(4)两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元

2、二次方程x22 m 1 x m2 = 0有两个整数根，m5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定此 抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2 3(m 1)x 2m 3 0 (m为实数)，求证：无论m为何值，方程总有 一个固定的根。解：当m 0时，x 1 ;2 c3 m 1.3当 m0 时， m 30,x , X1 2 、X2 1 ;2mm综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题

3、，举例如下：已知抛物线y x2 mx m 2 ( m是常数)，求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个周 定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程y x2 2 m 1 x ； y x2 2 0,解得：y 1； .抛物线总经过一个固定的点(1, -1)。1 x 0x 1(题目要求等价于：关于m的方程y x22 m 1 x不论m为何值，方程包成立)小结：关于x的方程ax b有无数解a 0,b 07、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图，直线li、12 ,点A在12上，分别在li、12上确定两点M、N ,使得AM MN之和最 小。li、I2上确止两点M、N ,使得

4、(2)如图，直线li、12相交，两个固定点A、B,BM MN AN之和最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图，&pa=1/2 - PMAx=1/2 AN Ay9、函数的交点问题：二次函数(y= ax2+ bx+c)与一次函数3Y2(1)解方程组y ax bx C可求出两个图象交点的坐标。 y= kx+ h2可判断两个图象的交点的个数没有交点 0仅有一个交点010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形

5、”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形 时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行肩关 的图形平移l1 l2 左一 k2、k x1x2平行四边形矩形梯形跟直角肩关 的图形勾股定理逆定理 利用相似、全等、 平行、对顶角、互 余、互补等a c/22AB y Na VbXaxb直角三角形 直角梯形 矩形跟线段肩关 的图形利用几何中的全 等、中垂线的性质 等。._i122AB V Va VbXa Xb等腰二窗形全等 等腰梯形跟角肩关的 图形利用相似、全等、 平行、对顶角、立 余、互补等【例题精讲】-基础构图:y=x2 2x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个） 和

6、最小，差最大1在对称轴上找一点P,使得PB+PC勺和最小，求出P点坐标2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得 ACP为等腰三角形，求出P坐标讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上, 且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F的坐标讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得 ACP为直角三角形， 求出P坐标或者在抛物线上求点P,使4ACP是以AC为直角边的直角三角形.二综合题型例1 (中考变式)如图，抛物线y交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与 ABC勺面积。x2 bx c与x轴交与

7、A(1,0),B(-3 , 0)两点，顶点为D。在抛物线第二象限图象上是否存在一点 求出点P的坐标。若没有，请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A B重合)，过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段 EF的值最大，并求此时E点的坐标?(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点 AH、D为顶点的四边形为平行四边形？(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时，使三角形例2 考点: 关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点 A、C的坐标分别为(1,0)、(0, -

8、C),点B在x轴上.已知某 二次函数的图象经过 A B C三点，且它的对称轴为直线 x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为mi试用含m的代数式表示线段(3)求PBC0积的最大值，并求此时点 P的坐标.例3 考点:讨论等腰如图，已知抛物线y= lx2 + bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A B,点A的坐标为(2, 0), 2点C的坐标为(0, 1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DHx轴于点D,连结DC当DCE勺面积最大时，求点D的坐标；

9、(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACF%等腰三角形，若存在，求点 P的坐标，若不存在，备用图说明理由.ty例4考点:讨论直角三角 如图，已知点A (一1, 0)和点B (1,2),在坐标轴上确定点P,使得4AB西直角三角形，则满足这样条件的点P共有(A) 2个(B) 4个(C)6 个(D) 7个 已知：如图一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=x 22+ bx+c的图象与一次函数y=Nx+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D E两点且D点坐标2为(1, 0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC勺面积S;点P,若不存在，请说明理由.(3)在x轴上是

10、否存在点P,使彳PBC以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线丫 = 2乂2+ x + c (aw0)与x轴交于点A (2, 0),点B (6, 0),与y轴交于点C (1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDE等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点 M抛物线上有一动点P, x轴上有一动点Q.是 否存在以A、M P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.综合练习: 口平面直角坐标系xOy中，抛物线y a

11、x2 4ax 4a c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交 于点C,点A的坐标为(1,0) , OB= OC抛物线白顶点为D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 P满足/ AP& / ACB求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB勺平分线的对称点为A ,若QA QB 般,求点Q的坐 标和此时 QAA的面积。2、/平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y ax2 +2ax c的图像与y轴交于点C 0,3 ,与x轴 交于A、B两点，点B的坐标为 3,0 o(1)求二次函数的解析式及顶点 D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OMf巴

12、四边形ACD的成面积为1 : 2的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点， 问：点P在何处时 CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点 P的坐标。可口图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 2x2 2X与x轴负半轴交于点A,顶点为B ,且 m对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示)；(2) D为OB中点，直线AD交y轴于E,若E (0, 2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点M在直线OB上，且使得 AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标4、已知关于x的方程(

13、1 m)x2 (4 m)x 3 0。(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)若正整数m满足8 2m 2,设二次函数y (1 m)x2 (4 m)x 3的图象与x轴交于A B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 y kx 3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)5如图，抛物线y=ax2+2ax+c (a*0)与y轴交于点C (0, 4),与x轴交于点A (-4, 0)和B.(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE/ AC交BC于点E,连

14、接CQ当CEQ勺面积最大时， 求点Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2, 0) .问 是否有直线l ,使OD既等腰三角形？若存在，请求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y = x2+(mi- 1)x+nn-2的图象与x轴相交于A (xb 0), B (x2, 0)两点，且xix2.(1)若x1x21,求m的取值范围；(3)是否存在实数m,使彳导过A、B两点的圆与y轴相切于点C (0, 2),若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由；(4

15、)若过点D (0, -y)的直线与(1)中的二次函数图象相交于 M N两点，且DN=g ,求该 23直线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y= x 2+mx+m-5(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y x2 2(m 1)x m2 0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m0, cw0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m n),且AB=2.(1)求m b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且B(=V20 0求抛物线所对

16、应的函数关系式(友情提醒： 请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)例1.已知：二次函数y x2 4x m的图象与x轴交于不同的两点A ( x1 , 0)、B ( x2 , 0) ( x1 X2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.(1)求实数m的取值范围；(2)如果(xi+1) (x2+1) =8,求二次函数的解析式；(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、B,顶点为点C1,且 ABCi是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.综合提升1 .已知二次函数的图象与x轴交于A, B两点，与y轴

17、交于点C (0, 4),且| AB =2 图象 的对称轴为x=1.(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线y = x + m的下方，求m的取值范围.22 .已知二次函数 y= x +mx2.(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且 A五 平,求m的值;(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M N,且 & MNC =27,求m的值.3 .已知关于x的一元二次方程x22(k+1)x+k2= 0有两个整数根，k5且k为整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数y=x2 2(k+1)x

18、 + k2的图象沿x 轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3)根据直线y=x+b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求 b的取值范围.4 .已知二次函数的图象经过点 A (1, 0)和点B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为m(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线y=x+1所得线段的长为22,求m的值.四、中考二次函数定值问题1 .如图，已知二次函数Li： y=x2- 4x+3与x轴交于A. B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数 L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0).写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF的长度；如果会，请说明理由.2 .如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2, O)、B(2, 0)、C(0, l)三点，过坐标原点。的 直线y=kx与抛物线交于 M N两点.分别过点 G D(0, 2)作平行于x轴的直线11、(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以