第7章_系统函数

1、系统函数系统函数 第七章第七章Z变换变换第六章第六章拉普拉斯拉普拉斯 变换变换 第五章第五章傅里叶变换傅里叶变换 第四章第四章离散时域离散时域 第三章第三章连续时域连续时域 第二章第二章 绪论绪论第一章第一章状态变量状态变量 第八章第八章基本概念引导基本概念引导 核心内容核心内容 拓宽加深部分拓宽加深部分第七章 系统函数信号与系统课程体系信号与系统课程体系7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图一、系统函数的零、极点分布图第七章 系统函数11101110( )mmmmnnnb sbsbsbH ssasa sa系统函数系统函数()( )()BH sA对连续系统对连

2、续系统11101110( )mmmmnnnb zbzb zbH zzaza za对离散系统对离散系统称的根为系统函数的称的根为系统函数的极点极点 。()0A 12,np pp()H 称的根为系统函数的称的根为系统函数的零点零点 。()0B 12,n ()H LTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s或或z的有理分式，即的有理分式，即 7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图第七章 系统函数系统函数可以写为：系统函数可以写为：( )( )( )B sH sA s11()()mmjjnmiibsasp( )( )( )B zH zA z11()()mmjj

3、nmiibzazp7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图第七章 系统函数极（零）点的分布类型：极（零）点的分布类型： 一阶一阶实实极（零）点：极（零）点：位于位于 s 或或 z 平面的实轴上平面的实轴上 一阶一阶共轭虚共轭虚极（零）点：极（零）点：位于位于 s 或或 z 平面虚轴上，且对称于实轴平面虚轴上，且对称于实轴 一阶一阶共轭复共轭复极（零）点：极（零）点：位于位于 s 或或 z 平面上，并且对称于实轴平面上，并且对称于实轴j我们只讨论我们只讨论零点个数零点个数小于等于小于等于极点个数极点个数的情况。的情况。 二阶及二阶以上极（零）点二阶及二阶以上极（零

4、）点7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性第七章 系统函数二、系统函数与时域响应自由响应自由响应与与冲激响应冲激响应(单位序列响应单位序列响应)的函数形式由的函数形式由A(.)=0确定。确定。 一、连续系统：一、连续系统：极点的位置极点的位置: 左半开平面左半开平面、虚轴虚轴、右半开平面右半开平面 左半开平面：左半开平面：负实单极点、共轭复极点、负实单极点、共轭复极点、r重极点重极点负实单极点负实单极点,(0)p ( ):AH ss( )tAetj一对共轭复极点：一对共轭复极点：1,2,(0)pj ,sjsjcos() ( )tAett 22( ):A ssj7.1 系统函数与系统特性系

5、统函数与系统特性第七章 系统函数二、系统函数与时域响应r重极点：重极点：综上：综上：极点在极点在左半开平面左半开平面时，响应均衰减。暂态分量。时，响应均衰减。暂态分量。 r 重重实实极点极点( )jjtt eAtr 重重复复极点极点cos()jtjjAtt et A(s): ()rs22( ):rA ss7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性第七章 系统函数二、系统函数与时域响应(2) 在虚轴上：在虚轴上：单极点、单极点、r重极点重极点单极点：单极点：r重极点重极点：0p 1( ): H ss( )Atjpj 22( ): +A sscos() ( )Att ( )jjA ttA(s):

6、 rs22( ): ()rA sscos() ( )jjjA ttt 综上：综上：极点在极点在虚轴上虚轴上：响应单极点等幅；重极点增长：响应单极点等幅；重极点增长7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性二、系统函数与时域响应第七章 系统函数(3) 在右半开平面在右半开平面:正实单极点、共轭复极点、重极点正实单极点、共轭复极点、重极点正实单极点正实单极点j,(0)p ( ): -A ss( )teAt一对共轭复极点一对共轭复极点j,(0)pj 22( ): -A sscos( )tAett 重极点重极点综上：综上：极点在右极点在右半开平面半开平面时，响应均增长。时，响应均增长。7.1 系统函

7、数与系统特性系统函数与系统特性二、系统函数与时域响应第七章 系统函数结论结论：LTI连续系统的冲激响应函数形式由连续系统的冲激响应函数形式由H(s)的极点确定。的极点确定。 (1) 左半平面左半平面: 响应函数为衰减的。即当响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。 (2) 虚轴上虚轴上: 单极点对应响应函数为稳态分量，重极点增长。单极点对应响应函数为稳态分量，重极点增长。 (3) 右半平面：右半平面：响应函数都是递增的。当响应函数都是递增的。当t，响应均趋于，响应均趋于。 7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性二、系统函数与时域响应第七章 系统函数2离散系统离散系统: 极

8、点位置：极点位置：单位圆内单位圆内、单位圆上单位圆上、单位圆外单位圆外单位圆内：单位圆内：实极点实极点,(2，所以，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。不稳定。 (2)若为稳定系统，故收敛域为若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)二、系统的稳定性7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性例例7.2-1：如图反馈因果系统如图反馈因果系统1( )12G sss当常数当常数K 满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？解：解：( )K ( )( )X

9、 sY sF s( )( )( )( )( )( )K( )YY sG s X sG sGsssF2( )( )1( )( )1-K ( )32-KY sG sH sF sG sss解得系统函数解得系统函数21,233-2K22p极点为：极点为：为使所有极点位于左半开平面为使所有极点位于左半开平面2233-2K22解得：解得：K27.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性例例7.2-2：如图所示离散系统如图所示离散系统当当K满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？解：解：-1-2( )-K( )( )X zzzX zF z-1-2( )

10、123( )Y zzzX z系统函数为：系统函数为：-1-22-1-22( )12323( )( )1KKY zzzzzH zF zzzzz其极点为：其极点为：1,2-11-4KP2若若1-4K0时，系统有实极点，为使极点在单位圆内：时，系统有实极点，为使极点在单位圆内：-1+ 1-4-12kK07.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性其极点为：其极点为：1,2-11-4KP2若若1-4K0时，系统有复极点，时，系统有复极点， 22-14 -114k1k1,2-14K-12jp为使极点在单位圆内：为使极点在单位圆内：综上：综上：01k7.2 系统的因果性

11、与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数三、连续因果系统稳定性三、连续因果系统稳定性罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则 对连续因果系统，只要判断对连续因果系统，只要判断H(s)的极点，是否都在左半平面上，即的极点，是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。 所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。二、系统的稳定性1877年年Routh提出了一种判别代数方程根的方法，不必求解方程提出了一种判别代数方程根的方法，不必求解方程就可知道它包含有多少个具有正实部的根和零实部根，就可

12、知道它包含有多少个具有正实部的根和零实部根，1895年年Hurwitz导出类似方法导出类似方法7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数1. 连续因果系统稳定的连续因果系统稳定的充要条件充要条件 ，即实系数多项式，即实系数多项式A(s)=ansn+a0=0 的所有根位于左半开平面的充要条件为：的所有根位于左半开平面的充要条件为： 例例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号不相同，不稳定符号不相同，不稳定 例例2 A(s)=3s3+s2+2 ， 缺项，不稳定缺项，不稳定 例例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步由罗斯列表判断。需进一步由罗斯列表判断。二、系统的

13、稳定性(1) 不缺项不缺项；(2) 系数的符号相同系数的符号相同;(3) 罗斯罗斯-霍维茨列表中霍维茨列表中的第一列数元素的符号相同的第一列数元素的符号相同。若第一列元素若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。 7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数2. 罗斯列表罗斯列表 第第1行行 an an-2 an-4 第第2行行 an-1 an-3 an-5 第第3行行 cn-1 cn-3 cn-5 第第4行行 dn-1 dn-3 dn-5 一直排到第一直排到第n+1行行312111nnnnnna

14、aaaac514131nnnnnnaaaaac其它各行由第其它各行由第3行同样方法得到。行同样方法得到。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。总次数就是右半平面根的个数。 二、系统的稳定性将多项式将多项式A(s)的系数排列为如下阵列的系数排列为如下阵列罗斯列表罗斯列表7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性例：例： 试判别以下特征方程的系统是否

15、稳定试判别以下特征方程的系统是否稳定06223sss16有符号变化有符号变化, 系统不稳定系统不稳定解：罗斯霍维茨阵列解：罗斯霍维茨阵列12110607.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性04523ksss154k系统稳定条件为系统稳定条件为00520kk020k例：例：,k为何值时系统稳定为何值时系统稳定205kk00解：罗斯霍维茨阵列解：罗斯霍维茨阵列即即7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数二、系统的稳定性例：判断系统稳定性，特征方程为：例：判断系统稳定性，特征方程为：4322230ssss112230330,20(0)

16、0320解：罗斯霍维茨阵列解：罗斯霍维茨阵列系统不稳定系统不稳定注意：注意：在排罗斯阵列时，在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为如第一列的某个元素为0或或某一行元素全为某一行元素全为0，这时可，这时可断言：该多项式不是霍尔断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。维兹多项式。7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数例例 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列： 2 12 2 1 8 041811222 8.5 02第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。

17、二、系统的稳定性7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性第七章 系统函数例例 已知某因果系统函数已知某因果系统函数 kssssH1331)(23为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？ 解解 列罗斯阵列列罗斯阵列 33 1+k(8-k)/31+k所以，所以， 1k0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|奇数行，其第奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。个元素必大于最后一个元素的绝对值。 特例：对二阶系统。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得 A(1)0 A(-1)0

18、 a2|a0| 二、系统的稳定性7.2 系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性二、系统的稳定性第七章 系统函数例例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解解4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15209 -210 5641 ， 154 ， 20956 所以系统稳定。所以系统稳定。 排朱里列表排朱里列表A(1)=107.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数描述系统的方法：描述系统的方法：微分方程微分方程(差分方程差分方程)：方框图：方框图：比较直观。比较直观。信号流图：信号流图：用用有向的线图有向的线图描述线性方程变量间因果关系的图，描述线

19、性方程变量间因果关系的图，比方框图更加简便。可以通过比方框图更加简便。可以通过梅森公式梅森公式将信号流图与系统函数将信号流图与系统函数联系起来。联系起来。信号流图信号流图：用：用结点结点和和有向线段有向线段来描述系统，是一种赋来描述系统，是一种赋权权的有向图。的有向图。)()()()()()(zFzHzYsFsHsY7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数一些基本概念：一些基本概念： 1.1.结点与支路结点与支路： 信号流图中的每个信号流图中的每个结点结点表示一个表示一个变量或信号变量或信号。 连接两结点间的有向线段称为连接两结点间的有向线段称为支路支路。每条支路上的权值每条支路上

20、的权值(支路增益支路增益)就是该两结点间就是该两结点间的系统函数的系统函数2. 源点源点与与汇点汇点：源点源点: 仅有出支路的结点仅有出支路的结点(或输入结点或输入结点)。汇点汇点: 仅有入支路的结点称为汇点仅有入支路的结点称为汇点(或输出结点或输出结点)。 有入有出的结点为有入有出的结点为混合结点混合结点 自回路自回路: 只有一个结点和一条支路的回路。只有一个结点和一条支路的回路。 7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数4. 前向通路：前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。从源点到汇点的开通路称为前向通路。 前向通路增益前向通路增益: 前向通路中各支路增益的乘积前向通路中

21、各支路增益的乘积回路增益：回路增益：回路中各支路增益的乘积称为回路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。 通路：通路：从任一结点出发沿着支路箭头从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同支路和结方向连续经过各相连的不同支路和结点到达另一结点的路径。点到达另一结点的路径。423xxxfa232xxx2342xxxx44xx232xxx44xx12345xxxxx1abc开通路：开通路：通路与任一结点相遇不多于一次。通路与任一结点相遇不多于一次。闭通路闭通路(回路回路)：通路的终点就是通路的：通路的终点就是通路的起点起点(与其余结点相遇不多于一次与其余结点相遇不多于一次)。不接触回路不

22、接触回路: 相互没有公共结点的回路。相互没有公共结点的回路。7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数信号流图的基本性质信号流图的基本性质: (1) 信号只能沿支路箭头方向传输信号只能沿支路箭头方向传输, 支路输出支路输出=支路输入支路输入支路增益支路增益 (2) 当结点有多个输入时，该结点将当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路所有输入支路的信号的信号相加相加， 并将和信号并将和信号传输给传输给所有与该结点相连的所有与该结点相连的输出支路输出支路。4?x5?x6?x123axbxcx4dx4ex7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数信号流图所描述的是代数方程或方程组

23、，因而信号流图能按代数规信号流图所描述的是代数方程或方程组，因而信号流图能按代数规则进行化简。则进行化简。流图化简的基本规则流图化简的基本规则：1. 串联支路的合并：串联支路的合并：增益分别为增益分别为a 和和b的支路相串联，可以合并的支路相串联，可以合并为一条增益为为一条增益为ab的支路，同时消去中间的结点。的支路，同时消去中间的结点。2.并联支路的合并：并联支路的合并：两条增益分别为两条增益分别为a 和和b的支路相并联，可以合并的支路相并联，可以合并为一条增益为为一条增益为ab的支路。的支路。3. 自环的消除：自环的消除：一条一条x1x2x3的通路，如果的通路，如果x1x2支路的增益为支路

24、的增益为a，x2x3支路的增益为支路的增益为c，在，在x2处有增益为处有增益为b的自环，则可化简为的自环，则可化简为的支路，同时消去的支路，同时消去x2 。7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数1acb212xaxbx32xcx311acxxb211axxb7.3 信号流图信号流图一、信号流图第七章 系统函数例例7.3-1：求图所示信号流图的系统函数求图所示信号流图的系统函数1222102101221010( )( )( )1bb sb sb sb sbY sH sF sa sa ssa sa10210( )( )( )( )( )( )y ta y ta y tb ftb ft

25、b f t7.3 信号流图信号流图二、梅森公式第七章 系统函数信号流图的信号流图的特征行列式特征行列式 ：所有：所有不同回路不同回路的增益之和；的增益之和； jjLnmnmLL,：所有：所有两两不接触回路两两不接触回路的增益乘积之和；的增益乘积之和； rqprqpLLL,：所有：所有三三不接触回路三三不接触回路的增益乘积之和；的增益乘积之和； i ：由源点到汇点的第：由源点到汇点的第i条前向通路的标号条前向通路的标号 Pi ：由源点到汇点的第：由源点到汇点的第i条条前向通路增益前向通路增益； i ：第：第i条前向通路特征行列式的条前向通路特征行列式的余因子余因子 ，它是，它是与第与第i条前向通

26、条前向通 路路 不接触的子图不接触的子图的的特征行列式特征行列式； 1iiiHP, ,1jmnpqrjm np q rLL LL L L 梅森公式：梅森公式：7.3 信号流图信号流图二、梅森公式二、梅森公式第七章 系统函数例例7.3-2：求图所示信号流图的系统函数求图所示信号流图的系统函数解解：(1) 求特征行列式求特征行列式121xxx111LG H 232xxx222LG H 343xxx333LG H 14321xxxxx41234LG G G H 1iiiHP, ,1jmnpqrjm np q rLL LL L L 两两互不接触回路：两两互不接触回路：131313L LG G H H1

27、12233123413131 G HG HG HGG G HGG H H 梅森公式：梅森公式：22211jjLG H 7.3 信号流图信号流图1iiiHP二、梅森公式第七章 系统函数11235PH H H H11 (2) 求，从源点到汇点的前向通路有求，从源点到汇点的前向通路有iP1234FxxxxY 14FxxY 245PH H1235452211223312341313(1)1H H H HH HG HYHFG HG HG HG G G HG G H H112233123413131 G HG HG HGG G HGG H H 7.3 信号流图信号流图二、梅森公式第七章 系统函数例例7.3

28、-3：如图所示为某反馈系统的信号流图，求系统函数：如图所示为某反馈系统的信号流图，求系统函数H(s)。7.3 信号流图信号流图二、梅森公式第七章 系统函数1121222(1)22( )1 2425AssssHssssss子系统子系统A：2条前向通路，条前向通路，3个回路，个回路，1对不相接触的回路对不相接触的回路1112244( )1222(3)BsHssssss s子系统子系统B：1条前向通路，条前向通路，3个回路，个回路，1对不相接触的回路对不相接触的回路1iiiHP7.3 信号流图信号流图二、梅森公式第七章 系统函数232( )3( )1( )( )254AABHsssH sHs Hss

29、ss1121222(1)22( )1 2425AssssHssssss1112244( )1222(3)BsHssssss s7.4 系统结构系统结构一、直接实现第七章 系统函数信号流图信号流图(方框图方框图)(H为了对信号为了对信号(连续或离散连续或离散)进行某种处理进行某种处理(如滤波如滤波)，就要构造出合，就要构造出合适的适的实际结构实际结构硬件实现的结构或软件运算结构。硬件实现的结构或软件运算结构。同样的系统函数同样的系统函数 H(s) 或或 H(z) ，往往有多种不同的实现方法。常用，往往有多种不同的实现方法。常用的有：的有：直接形式直接形式、级联形式级联形式和和并联形式并联形式。一

30、、一、直接实现直接实现：以二阶系统为例，其系统函数可以写为：以二阶系统为例，其系统函数可以写为：2210210( )b sb sbH ssa sa121221021012121010( )11 ()bbsb sbbsb sH sa sa sa sa s 可以改写为：可以改写为：由梅森公式由梅森公式分母：分母：两个回路两个回路(相互接触相互接触)12210, , bbsb s分子：分子：三个前向通路三个前向通路( )1i1210, a sa s7.4 系统结构系统结构一、直接实现第七章 系统函数122101210( )1 ()bbsb sH sa sa s 分母：分母：两个回路两个回路(相互接触

31、相互接触)12210, , bbsbs分子：分子：三个前向通路三个前向通路( )1i1210, asas7.4 系统结构系统结构一、直接实现第七章 系统函数推广到高阶系统的情形：推广到高阶系统的情形：()(1)(1)1101(1)110( )1n mn mnnmmnnnb sbsbsb sH sasa sa s分母：分母：n个回路组成的特征行列式，而且各回路都互相接触。个回路组成的特征行列式，而且各回路都互相接触。分子：分子：m1条前向通路的增益，而且各前向通路都没有不接触回路。条前向通路的增益，而且各前向通路都没有不接触回路。7.4 系统结构系统结构一、直接实现第七章 系统函数()(1)(1)1101(1)110( )1n mn mnnmmnnnb sbsbsb sH sasa sa s7.4 系统结构系统结构一、直接实现第七章 系统函数例例7.4-2：描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为 求其直接形式的模拟框图。求其直接形式的模拟框图。4 ( )2 (2)(3)2 ( )4 (1)y ky ky kf kf k解：其系统函数解：其系统函数123123( )24( )( )420.51 0.50.25zsYzzH