简明大学物理第二版 复件 4-1 简谐振动的基本概念和规律

1、4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动. . 物体围绕一固定位置往复运动，称为物体围绕一固定位置往复运动，称为机械振动机械振动 。 其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动. . 机械振动可分为机械振动可分为 周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. .简谐运动简谐运动复杂振动复

2、杂振动合成合成分解分解4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回一、简谐振动的动力学方程及其解一、简谐振动的动力学方程及其解运动方程运动方程为说明简谐振动的基本特征，先看两个具体的例子。为说明简谐振动的基本特征，先看两个具体的例子。例例4-1 水平弹簧振子的运动。水平弹簧振子的运动。xxFmoFkx 把连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发把连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统称为生形变的物体系统称为弹簧振子弹簧振子。 设设x轴的原点与弹簧的平衡位置重合，振子在任意位置

3、时轴的原点与弹簧的平衡位置重合，振子在任意位置时所受合外力为所受合外力为4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回mk2令令22ddxFkxmamt0dd222x tx动力学方程动力学方程 xxFmo由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得22d0dxkxtm4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回例例4-2 单摆小角度摆动单摆小角度摆动 一根质量可以忽略并且不会伸缩一根质量可以忽略并且不会伸缩的细

4、线长的细线长l l，上端固定，下端系一质，上端固定，下端系一质量为量为m m可看作质点的摆球，就构成一可看作质点的摆球，就构成一个个单摆单摆。可以看作定轴转动的刚体。可以看作定轴转动的刚体。小角度摆动，重力矩可以写成小角度摆动，重力矩可以写成sinmglmgl负号表示力矩方向与角位移方向相反。负号表示力矩方向与角位移方向相反。根据转动定理有根据转动定理有 222ddmglJmlt4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回222ddmglJmlt22d0dgtl2gl令令222d0dx xt动力学

5、方程动力学方程 x4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回简谐振动的定义：简谐振动的定义：222d0dx xt上述二阶常系数线性齐次微分方程的通解为：上述二阶常系数线性齐次微分方程的通解为： 如果质点的动力学方程可以归结为如果质点的动力学方程可以归结为 的形式，且其中的的形式，且其中的 决定于振动系统本身的性质，则决定于振动系统本身的性质，则该质点的运动称为该质点的运动称为简谐振动简谐振动。 积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定cos()xAt4-1 4-1 简谐振动的基本概念

6、和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回dsin()d =cos()2xAttAt v2222dcos()d cos()xaAttAtAx 简谐振动物体的速度：简谐振动物体的速度： 简谐振动物体的加速度：简谐振动物体的加速度： cos()xAt简谐振动物体的运动方程：简谐振动物体的运动方程： tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回二、描述简谐振动的特征量二、描述

7、简谐振动的特征量1 振幅振幅 作简谐振动的物体离开作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值平衡位置最大位移的绝对值A A，称为振幅。，称为振幅。在在SI中，振幅的单位是米，符号为中，振幅的单位是米，符号为m。 maxxA tx图图AAxT2Tto4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回2 相位与初相位相位与初相位sin()At vcos()xAt相位：相位： t 相位相位初相位初相位初相位：初相位： 当当t=0时，时， 称为初相位称为初相位, 1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系

8、; ;( , )txv4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . (0)t2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20) (2nn4）设两个振动状态所对应的相位分别为设两个振动状态所对应的相位分别为12和若若 ，称振动状态，称振动状态1超前于超前于振动状态振动状态2；12 若若 ，称振动状态，

9、称振动状态1滞后于滞后于振动状态振动状态2；12 若若 ，称振动状态，称振动状态1与振动状态与振动状态2同步同步或或同相同相。12 4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回22020vxA00tanxv 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件0cosxA0sinA v 对给定振动系统，振幅和初相由初始条件决定对给定振动系统，振幅和初相由初始条件决定.sin()At vcos()xAt4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动

10、与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回3 3 周期和频率周期和频率（1 1）周期）周期 物体作一次完全振动所需的时间称为物体作一次完全振动所需的时间称为周期周期，用，用T T 表示。表示。 cos()yAtcos ()cos(2 )AtTAt2T在在SI中，周期的单位是秒，符号为中，周期的单位是秒，符号为s。 周期仅与振动系统本身的物理性质有关。周期仅与振动系统本身的物理性质有关。弹簧振子弹簧振子2mTk单摆单摆2lTg4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回 单位时间内物体

11、所作完全振动的次数，称为频单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用率，用 表示。表示。 12 T在在SISI中，频率的单位是赫兹，符号为中，频率的单位是赫兹，符号为HzHz。 (2)(2)频率频率T22(3) 圆频率或角频率圆频率或角频率与频率与频率 只相差常数只相差常数 倍倍,称圆频率或角频率称圆频率或角频率. 2周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关，称的物理性质有关，称固固有有周期、周期、固有固有频率和频率和固有固有圆频率。圆频率。4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上

12、页帮助帮助返回返回例例4-3 原长为原长为0.50m的弹簧上端固定，下端挂一质量的弹簧上端固定，下端挂一质量为为0.1kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.60m，若将砝码向上推，使弹簧回到原长，然后，若将砝码向上推，使弹簧回到原长，然后放手，则砝码做上下振动。放手，则砝码做上下振动。（1）证明砝码的运动为简谐振动；）证明砝码的运动为简谐振动；（2）求此简谐振动的振幅、角频率和频率；）求此简谐振动的振幅、角频率和频率；（3）若从放手时开始计时，求此简谐振动的振动方）若从放手时开始计时，求此简谐振动的振动方程。程。解解（1）以振动物体的平衡位置为坐标原点，建

13、立）以振动物体的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的如图所示的Ox坐标系。设坐标系。设t时刻砝码位于时刻砝码位于x处，由处，由牛顿第二定律，得牛顿第二定律，得xom0 xx0lmmg0()k xx202d()dxmgk xxmt4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回202d()dxmgk xxmtxom0 xx0lmmg0()k xx式中式中x0为砝码处于平衡时弹簧的伸长量，有为砝码处于平衡时弹簧的伸长量，有0mgkx式代入式，化简，得式代入式，化简，得 22d0dxkxtm因此，砝码的运动为

14、简谐振动。因此，砝码的运动为简谐振动。 4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回(2)砝码振动的角频率和频率分别为砝码振动的角频率和频率分别为-1-109.8rad s9.9 rad s0.1kgmx1.58 Hz2设砝码的谐振动方程设砝码的谐振动方程由初始条件，由初始条件，t=0时，时，x=-x0=-0.1m，v=0，得，得sin()At vcos()xAt0.1m, A则其速度公式为则其速度公式为(3)简谐振动的振动方程为简谐振动的振动方程为0.1cos(9.9) mxt4-1 4-1 简

15、谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回三、简谐振动的几何描述三、简谐振动的几何描述旋转矢量法旋转矢量法1.旋转矢量旋转矢量1）旋转矢量的模等于简谐振动的振幅）旋转矢量的模等于简谐振动的振幅A 2）旋转矢量绕旋转矢量绕O点作逆时针方向匀点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率振动的角频率 。3）在）在t = 0时，矢量时，矢量A和和x轴的轴的夹角为夹角为 ，矢量，矢量A的矢端在的矢端在x轴上的投影点的坐标为轴上的投影点的坐标为0cosxAxoA0 x 以以O O为

16、原点的旋转矢量为原点的旋转矢量 的端点的端点在在OxOx轴上的轴上的投影点投影点的运动的运动为简谐运动为简谐运动. .A0cosxA0t 4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回矢量矢量A的矢端在的矢端在x轴上的投影点的坐标为轴上的投影点的坐标为cosxAtt在任意时刻在任意时刻t ，旋转矢量，旋转矢量 与与x轴的夹角为轴的夹角为A 以以O O为原点的旋转矢量为原点的旋转矢量 的端点的端点在在OxOx轴上的轴上的投影点投影点的运动的运动为简谐运动为简谐运动. .Axo0t 0 xAtxcosx

17、Att4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回tmvvx0Atnaa2.2.用旋转矢量表示简谐运动的速用旋转矢量表示简谐运动的速度和加速度度和加速度mAsin sinmtAt 在在x 轴上的投影轴上的投影2naA2cos cosnaatAt 4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回3. 3. 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 如果画一个图表示出作匀速圆如果画一个图表示出作匀速圆

18、周运动的质点的初始径矢的位置，周运动的质点的初始径矢的位置，并标以并标以，则相应的简谐运动的，则相应的简谐运动的三个特征量都表示出来了，因此三个特征量都表示出来了，因此可以用这样一个图表示一个确定可以用这样一个图表示一个确定的简谐运动的简谐运动.简谐运动的这种表简谐运动的这种表示法叫做示法叫做旋转矢量法旋转矢量法.cosxAtxOA0t 4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回例例4-4 物体沿物体沿x轴作谐振动，其振幅为轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为周期为T=2.0 s，t=0时

19、物体的位移为时物体的位移为x0=-5cm.且向且向x轴负方向运动轴负方向运动.试求试求 (1) t=0.5s时物体的位移；时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到何时物体第一次运动到x=5cm处处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处处?解解由已知条件，该谐振动在由已知条件，该谐振动在t=0时时刻的旋转矢量位置如图所示刻的旋转矢量位置如图所示.由由图及初始条件可知图及初始条件可知 23由于由于 22s, TT所以所以,该物体的振动方程为该物体的振动方程为20.1cos3xtx0t -5O4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本概念和规律第四章第四章 机械振动与机械波机械振动与机械波下页下页上页上页帮助帮助返回返回(1)将将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为代入振动方程，得质点的位移为 20.1cos0.50.087m3x (2) 当物体第一次运动到当物体第一次运动到x=5cm处时，旋处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为转矢量从初始位置转过的角度为，如图，如图所示，所以有所示，所以有 1t即即 11s2Tt(3)当物体第二次运动到当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过处时，旋转矢量又转过232123ttt 22s333Tt x0t 23-552t1t4-1 4-1 简谐振动的基本概念和规律简谐振动的基本