微积分46边际弹性

1、2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用1上课 手机手机 关了吗？关了吗？2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用24.7 导数概念在经济学中的应用导数概念在经济学中的应用一、边际一、边际边际边际: 经济变量的变化率。以成本函数为例说明。经济变量的变化率。以成本函数为例说明。边际成本边际成本: 经济学中定义为产量增加一个单位时经济学中定义为产量增加一个单位时所增加的成本。所增加的成本。设成本设成本CC(x) (产量产量x 0)产量：产量：x到到x+x ，()( )CC xxC xxx 在在x范围内，产范围内，产量量平均每增加一个单位时增加的成本。可看成是：平均每增加一个单位时增

2、加的成本。可看成是：“平均意义下的边际成本平均意义下的边际成本”2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用30lim( )xCC xx 如何从如何从x范围内的平均过渡到点范围内的平均过渡到点x处的瞬时？处的瞬时？取极限取极限也可由也可由“微分近似公式微分近似公式”理解：理解：CC(x1)C(x) ( )( )C xxC x 以导数值近似代替边际成本，表示以导数值近似代替边际成本，表示“产量为产量为x时，再生产一个单位产品大约需增加的成本时，再生产一个单位产品大约需增加的成本” 边际收入，近似等于销量为边际收入，近似等于销量为x时，再时，再多销售一个单位产品时所增加的收入。多销售一个单位产

3、品时所增加的收入。 边际利润，近似等于销量为边际利润，近似等于销量为x时，再时，再多销售一个单位产品时所增加的利润。多销售一个单位产品时所增加的利润。( )R x ( )( )( )L xR xCx ( )L x 类似地：类似地：4例例1某产品总成本某产品总成本C (单位单位:元元)，产量，产量Q(单位单位:件件). 求求:(1)生产生产100件产品时的总成本和平均单位成本件产品时的总成本和平均单位成本;(2)产量从产量从100件增加到件增加到225件时总成本的平均变化件时总成本的平均变化率率; (3)生产生产100件和件和225件产品时的边际成本件产品时的边际成本1000530CQQ 解解:

4、(1)(2)(225)(100)257518006.2225100125CCCQ ( (元元/ /件件) )即产量从即产量从100件增加到件增加到225件时，平均每增加件时，平均每增加件产品，总成本增加件产品，总成本增加6.2元元(100)1800(100)18100100CC ( (元元/ /件件) )(100)10005 10030 1001800C ( (元元) )2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用5(3)115( )53052C QQQ 15(100)56.5100C 15(225)56225C ( (元元/ /件件) )( (元元/ /件件) )生产生产100件和件和2

5、25件产品时的边际成本分别为件产品时的边际成本分别为6.5元元/件和件和6元元/件经济含义：产量为件经济含义：产量为100件时，再多生件时，再多生产产1件产品，总成本将增加件产品，总成本将增加6.5元元左右左右；产量为；产量为225件时，再多生产件产品，总成本将增加件时，再多生产件产品，总成本将增加6元元左右左右.解解: : 1(100)5px( )R xpx 边际收入函数边际收入函数 1()(1002)5Rxx 例例2产品需求函数产品需求函数x1005 p，p为价格，为价格，x为需为需求量求边际收入函数及求量求边际收入函数及x20、50和和70时的边际时的边际收入，并解释结果的经济意义收入，

6、并解释结果的经济意义由由 x1005 p 有有211(100)(100)55x xxx故故(20)12R (50)0R (70)8R 销售量销售量(需求量需求量)为为20个单位时，多销售一个单位产品，总个单位时，多销售一个单位产品，总收入收入约约增加增加12个单位；销售量为个单位；销售量为50个单位时，多销售一个个单位时，多销售一个单位产品，总收入单位产品，总收入基本基本不会改变；销售量为不会改变；销售量为70个单位时，个单位时，多销售一个单位产品，反而使总收入多销售一个单位产品，反而使总收入约约减少减少8个单位个单位经济意义：经济意义：2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用7二、二

7、、弹性弹性无法在不同产品无法在不同产品(计量单位不同计量单位不同)、不同市场、不同市场(货币货币单位不同单位不同)之间比较之间比较怎样更深刻地刻划需求对价格变化反应的灵敏度怎样更深刻地刻划需求对价格变化反应的灵敏度?( )Qp 在某一价格水平下，价格变化百分之一，在某一价格水平下，价格变化百分之一，需求量变化百分之几。需求量变化百分之几。(定义式定义式?)以需求函数为例：设需求价格函数为以需求函数为例：设需求价格函数为QQ ( p)弹性弹性: 一个经济量对另一个经济量变化的反应程度一个经济量对另一个经济量变化的反应程度(灵敏度灵敏度)表示表示:( )Qp 价格为价格为p时，价格增加个单位，需时

8、，价格增加个单位，需求量大约变化求量大约变化 个单位个单位8如何从如何从p范围内的平均过渡到点范围内的平均过渡到点p处的瞬时？处的瞬时？0limpQ Qp p 定义为定义为p点的需求的价格弹性点的需求的价格弹性. 价格在价格在p时，价格变化百分之一，时，价格变化百分之一，需求量需求量(大约大约)变化百分之几变化百分之几 “相对改变量相对改变量”Q Qp p 将此概念推广到一般函数：将此概念推广到一般函数：Qp 在在p的变化范围内的变化范围内,价格平均每变化一个价格平均每变化一个单位单位,需求量变化几个单位需求量变化几个单位0lim( )pQQ pp L在在p的变化范围内，价格平均每的变化范围内

9、，价格平均每变化百分之一，需求量变化百分之几变化百分之一，需求量变化百分之几 变量变化了百分之几变量变化了百分之几900000000() ()()()limlimxxy f xf xxf xf xx xxx 000000()()()()y f xf xxf xxx xxf x 1. 弹性定义弹性定义 设设yf (x)在点在点x0(x00)某邻域有定义，某邻域有定义，f (x0)0若极限若极限存在存在, 称此极限值为称此极限值为yf (x)在点在点x0处的点弹性处的点弹性, 记记0 x xEyEx ; 称称为函数为函数yf (x)在点在点x0与与x0 x之间的弧弹性之间的弧弹性000 x xyEyxyExx (1)2022-5-12微积分-导数概念在经济学中应用10(2)弹性计算公式：弹性计算公式： ( )( )EyxfxExf x 0 xxEyEx 000limxy yx x 000limxxyyx 000()xxxdyf xdx 设设yf (x)在在(a, b)可导且可导且f (x)0，称为称为yf (x)在在(a, b)内内的的(点点)弹性函数弹性函数.2.