线性代数公式定理综合

1、。第一章行列式1逆序数1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2in ，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用i1i2 in表示，i1i 2in 等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即211 。证明如下：设排列为 a1 al ab1bmbc1cn ，作 m 次相邻对换后，变成a1al abb1bmc1 cn ，再作m 1 次相邻对换后，变成 a1al bb1bm ac1cn ，共经过 2m1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加

2、1 ，要么减少 1，相当于211 ，也就是排列必改变改变奇偶性， 2m1次相邻对换后2m112111 ，故原命题成立。2 n 阶行列式的5 大性质性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列） ，其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评注对性质 4 的重要拓展：设 n 阶同型矩阵，Aaij ;BbijABaijbij ，而行列式只是就某一列分解，所以，

3、AB 应当是 2n 个行列式之和，即ABAB 。-可编辑修改 -。评 注 韦达定理的一般形式为：nn 1n 2nan 1nan 2nn a0an xan 1 xan 2 xa00xi;xi xj;xianan1i 1i j1i 1an-可编辑修改 -。一、行列式定义1定义a11a12a1na21a22a2n( 1)( j1 j 2jn ) a1 j1a2 j2anjnan 1an2ann其中逆序数j1 j2 jnj1 后面的j1 小的数的个数j 2 后面比 j2 小的数的个数j n 1 后面比jn 1 小的数的个数 .2三角形行列式a11a12a1 na11000a22a2 na21a2200

4、0annan1an 2anna11a22ann00a1na11a12a1n0a2 na21a220an 1ann 1annan100n n 12 11a1na2n 1an1n n 112a1n a2 n 1an1二、行列式性质和展开定理1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.2展开定理ai1 Ak1ai 2 Ak2ain Aknika1 j A1ka2 j A2 kanj Ankjk三、重要公式设 A 是 n 阶方阵，则AA-可编辑修改 -。1 ATA2A11A3 A*n 1A4 kAk n A5 ABA B ，其中 B也是 n 阶方阵6设 B 为 m阶方阵，则ACA00BCA BB0ACAm

5、nBCB1A B07范德蒙行列式111x1x2xnx12x22xn2xi xj1j i nx1n 1x2n 1xnn 1四有关结论1对于 An n , Bn n(1)A0A0(2)ABAB2. A 为 n 阶可逆矩阵A 0rA n A可逆行变A EA E（A与E等价）列变AX0只有惟一零解AXb有惟一解（克莱姆法则）-可编辑修改 -。A 的行（列）向量组线性无关A 的 n 个特征值i0,i1,2,nA 可写成若干个初等矩阵的乘积r ( AB)r (B)AT A 是正定矩阵A 是 Rn 中某两组基之间的过渡矩阵3. A 为 n 阶不可逆矩阵A0AX0 有非零解r ( A)n0是 A的特征值AA4

6、. 若 A 为 n 阶矩阵，i (i 1,2 n) 为 A 的 n 个特征值，则 Anii 15.若 AB，则 AB行列式的基本计算方法：1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容， 特别是低阶行列式及简单的 n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值） ，因此，务求熟练掌握。典型题 :一 . 数字行列式的计算 .1. 利用行列式的定义 .2. 利用行列式的基本性质 .3.一般的数字行列式，三角化

7、，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式.二 .行列式的代数余子式的相关计算.三.AB 类型成抽象行列式的计算.1. 与向量成分块矩阵结合2 与特征值、特征向量结合.4 与代数余子式结合.四 . 范德蒙行列式与克莱姆法则-可编辑修改 -。第二章矩阵一内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A 是一个方阵时候，A 才有意义，但是AA ；此外当 A 是长方形矩阵时A 没有意义。2 矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：a)矩阵的和： A+B 注意

8、 A 和 B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）kA k (aij )m nkaij m n ；c) 一般地，若 A1, A2 , At是同型矩阵，则 k 1 A1 k2 A2kt At 有意义，称为矩阵 A1, A2 , At 的一个线性运算；3 矩阵的转置将矩阵 A 的行列互换，得到新的矩阵AT 或 A ，称为矩阵 A 的转置。4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义：Am n Bn sCij m s注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而b1 jb2 jcijai1b1 jai 2b2 jain bnjai1ai 2ai 4bnj5 关于矩阵运算的

9、运算律要注意的问题：1）一般地ABBA其 原因是 a)AB 与 BA 不一定同时有意义；b) 即使 AB与 BA都有意义， AB 与 BA的阶数也未必一致；例如Aaij 3 2, Bbjt 2 3，则 AB与BA都有意义，但其阶数不 同；-可编辑修改 -。c) 即使 AB与 BA其阶数相同，但 AB与 BA 也未必相同；如果 AB=BA，则称 A 与 B 是可以交换的。1111BA例如 A1, B，则 AB与BA都有意义，但是 AB1112）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若 ABAC, A 0，推不出 BC，例如若 AX 0, A0,推不出 X 03）若 AB有意义，则 AB TBT AT3

10、 几种特殊类型的矩阵（ 1）0 矩阵；（2）单位矩阵；（ 3）对角矩阵；数量矩阵； （ 4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（ 5）对称矩阵：若 Aaijn n ,aija ji，即 AAT；（ 6）反对称矩阵：若Aaijnn, aij-aji ，即 A-AT；关于反对称矩阵常用的结论：1） A 的主对角线上的元素全是0；2）若 A 是奇数阶行列式，则 A 0 ;(7) 正交矩阵：若 A满足： AATAT A E或ATA 1 ，则称 A 是正交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若 A 是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵 T 使得：12TTAT T 1AT；n1n（ 8）阶梯形矩阵若 A 满

11、足： 0 行全在非0 行的下方，非0 行的第一个非0 的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（ 9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（ 10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（ 1）分块矩阵的加法：若 A+B,其对矩阵 A,B 的分块方法完全一致；

12、（ 2）分块矩阵的乘法：若 AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。-可编辑修改 -。5 初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（ 1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（ 2）初等变换初等行变换、初等列变换；（ 3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵 A 做一次初等行变换成为B，则 B=PA（其中 P 是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：122A 231131122r1( 2) r2013B131122100122则 BPA即B 01 3210231131001131对于矩阵 A 作一次初等列变换成

13、为B，则 B=AP（其中 P 是与上述列变换相对应的初等矩阵） 。122举例说明 A 231131102c1( 2) c2211B111102122120B211231010111131001(4) 矩阵 A与 B 等价如果 A 能够通过初等变换变为B 则称 A 与 B 等价，用式子表示就是：BPt Pt 1P1 AQ1Q2Qs, 其中 Pi , Q j 是初等矩阵Er0每一个矩阵 A 都与矩阵等价，其中 r 是矩阵 A 的秩，即存在00初等矩阵 Pi ,Q j 使得： Pt Pt 1 P1 AQ1Q2QsEr0006 关于 n 阶矩阵的逆矩阵（ 1）逆矩阵的定义：设A 是一个 n 阶矩阵，若

14、有n 阶方阵 B 使得AB=E或 BA=E-可编辑修改 -。则称矩阵A 是可逆的；（ 2） n 阶方阵 A 可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B 使得AB=E 或 BA=E(即定义）；2）用 A 的行列式A 来描述：A0 ;3）用矩阵的秩来描述：r ( A)n这里 n是矩阵 A的阶数；4）用向量的观点来描述：矩阵A 的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有 0 解；6）用矩阵 A 的特征值来描述：A 的特征值全不0；（ 3）逆矩阵的性质1）若 A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若 A,B 是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且AB 1B1A1;3）

15、A11A, AT1( A1) T , kA 1k 1 A 1，A 111A 1nA , An;A 0100 A10 A4A1,0 B 11）0 B 1A 1B 10 BB 000（ 4）逆矩阵的求法1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法： A | E一系列初等行变换E|B，则B A 12）对于抽象的矩阵A, 求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B 使得： AB=E，或 BA=E，此时的 B 就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵A 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（ 5）关于伴随矩

16、阵1) 伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2) 伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵 A 均有此伴随矩阵 A*使得 AA*A* AA E当 A0时，A11A*,当 A0时： AA*A*A 0A-可编辑修改 -。对于一般地方阵 A，其伴随矩阵 A*的秩为：n若 r ( A)nr ( A* )1若 r ( A) n 10若 r ( A)n 2当 A 0时，A*n 10时 A*0 。A ,当A（ 6）关于矩阵的秩1）矩阵秩的定义：在矩阵 A 中，有一个不等于0 的 r 阶子式 Dr，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 r称为矩阵 A 的秩， Dr 称为矩阵 A 的最高阶非0

17、 子式。规定0 矩阵的秩是 0。2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A 实行初等变换其秩不变A一系列初等变换B，则 r ( A) r (B)3）矩阵秩的求法应用上面的结论，求矩阵A 的秩其一般方法是A一系列初等变换T（ T是阶梯型矩阵），则 r（ A） r (T )T的非 0行的行数4）有关矩阵秩的重要结论r Ar ATr AAT（若 A是实矩阵）若 A0，则 1r ( A)min m, nr ( AB)r ( A) r ( B), r ABminr ( A), r (B) , max r ( A), r (B)r A | B r ( A) r ( B)若 P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意

18、义，则r ( A)r (PA)r ( AQ)r (PAQ )A00Ar ( B)rBr ( A) r (B), rr ( A)0B0若 A 为 mn 矩阵， B 为 ns 矩阵，且 AB=0，则：r ( A)r ( B)n此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型-可编辑修改 -。题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用AA 1A 1AE来进行。题型二矩阵可逆的计算与证明（ 1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（ 2）如果给定了抽象的条件，要求A 1 ，此时注意将条

19、件转化为AB=E，或 BA=E,此时的 B 就是要求的A 1 。在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。题型三关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。题型四有关初等矩阵及其初等变换的问题题型五解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程： AX B或XAB或AXCB这里 的矩阵 A,C 一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程 AX B，其一般的解法为：A | B初等行变换E | D ，则这里的矩阵DA 1B；或者先求出 A 1，再计算 A 1B 。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解

20、方法。题型 5 关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T, 由此可求出矩阵A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于矩阵A 的行向量组的秩，等于矩阵A 的列向量组的秩等性质。3 注意矩阵秩的有关不等式。题型 6 求一个方阵的高次幂当 A 是一个方阵的时候，Ak 才有意义，否则没有意义。第三章n维向量空间3.1 n维向量的定义1. 定义-可编辑修改 -。定义： n 个数 a1 , a2 , an 构成的有序数组 ,记作( a1 , a2 , , an ) ,称为 n 维行向量ai 称为向量的第 i 个分量aiR 称为实向量

21、（下面主要讨论实向量）aiC 称为复向量零向量：( 0,0,0 )负向量： ()(a1,a2 , ,an )a1a2列向量： n 个数 a1 , a2 , an 构成的有序数组 ,记作an ,或者(a1, a2 , an ) T,称为 n 维列向量0a10(a2)零向量：0负向量：an若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组 3.2 n 维向量的线性运算1定义线性运算：(a1 , a2, an ) ,(b1 ,b2 , ,bn )相等：若 aibi (i 1,2, , n) ,称加法：(a1b1 , a2 b2 , ,anbn )数乘： k( ka1 , ka2, kan

22、 )减法：()(a1b1 ,a2b2 ,anbn )2 线性运算律：(a1 , a2 ,an ) ,(b1 , b2 , , bn ) ,(c1, c2 , ,cn )(1)(5)1(2)()()(6)k(l)(kl )(3)(7)k ()kk(4)()(8)(k l )kl 3.3 向量组的线性相关性1线性组合与线性表示对 n 维向量及1 , m ,若有数组 k1 , km 使得k11km m , 称为 1 ,m 的线性组合 ,或可由1 ,m 线性表示例如，21005010,1,2,3,43001000-可编辑修改 -00001。有2100050100325300010即 =21 523 3

23、，00 40001所以称是1,2,3 ,4 的线性组合，或可由1 ,2, 3 , 4 线性表示。判别是否可由向量组1 ,2 ,3 ,m 线性表示的定理：定理 1向量可由向量组1, 2,3 , m 线性表示的充分必要条件是：以 1 ,2 , 3 , m 为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。2向量组的线性相关性对 n维向量组1 ,m ,若有数组 k1 , km 不全为 0, 使得k11kmm0称向量组1 ,m 线性相关 ,否则称为线性无关线性无关：对 n 维向量组1 ,m ,仅当数组 k1 , km 全为 0 时, 才有k11kmm0称向量组1 ,m 线性无

24、关 ,否则称为线性相关定理 2向量组1 ,2 , m4012 21 3 线性相关其中至少有一个向量可由其余1 ,2 ,3 个向量线性表示推论：向量组1 ,2 ,m4012213 线性无关任何一个向量都不可由其余1,2 ,3 个向量线性表示定理 3n 维向量组1 ,2 ,m 线性相关Ax0 有非零解，其中A(1,2,m) 。推论： n 维向量组1 ,2 , m 线性无关Ax0 只有零解，其中A(1,2 ,m ) 。定理 4若向量组1 ,2 ,m 线性无关 ,1 ,2 , m ,线性相关 ,则可由1 ,2 ,m 线性表示 ,且表示式唯一一些结论：(1) 单个零向量线性相关 , 单个非零向量线性无关

25、；(2) 含零向量的任何向量组线性相关；(3) 基本向量组 e1, e2 , ,en 线性无关；(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；(5) mn 时， m 个 n 维向量必线性相关 .特别： m=n+1 ；(6)n个 n 维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零；(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量 .3.4向量组的极大线性无关组1. 等价向量组设向量组 T1 : 1,2 , ,r ,T2 :1 ,2 , s若 i (i1,2, r ) 可由1,2 ,s 线性表示 ,称 T1 可由 T2 线性表示；若 T1 与 T2 可以互相线性表示 , 称 T1 与 T2 等价(1)

26、自反性： T1 与 T1 等价(2)对称性： T1 与 T2 等价T2 与 T1等价(3)传递性： T1 与 T2 等价 ,T2 与 T3等价T1 与 T3等价-可编辑修改 -。等价向量组的基本性质：定理 设1,2 , s 与1, 2, s 是两个向量组，如果(1)向量组1 ,2 ,s 可以由向量组1 , 2,s 线性表示；(2)st则向量组1 ,2 ,s 必线性相关。推论1 向量组1 ,2 ,s 可以由向量组1 ,2 ,s 线性表示，并且1 ,2 ,s 线性无关，那么 st 。推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量组的极大线性无关组设向量组为 A , 如果在 A 中

27、有 r 个向量1, 2,r满足：(1)A0 :1, 2, r 线性无关；(2)任意 r1 个向量线性相关（如果有r1个向量的话）称1, 2, r为向量组为A 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注： (1)只含零向量的向量组没有极大无关组；(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组2421211, 2, 3354141 中，首先1,2 线性无关， 又部分组是极大无关组。还可以验证2 , 3 也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的基本性质：性质 1 任何一个极大无关组都与向量组本身等

28、价。性质 2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。3向量组的秩与矩阵秩的关系3.1向量组的秩定义 3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做r (1 ,2421, 22, 311354例如，向量组141 的秩为 2.关于向量组的秩的结论:(1) 零向量组的秩为0；1 ,2 ,3线性相关， 所以1,2 组成的2 ,s ) 。(2)向量组1 ,2 ,s 线性无关r ( 1 ,2 ,s )s ，向量组1, 2,s 线性相关r ( 1,2 ,s )s. ，(3)如果向量组1 ,2 , s 可以由向量组1 ,2 ,t 线

29、性表示，则 r ( 1 , 2 , s ) r ( 1 , 2 , , s );(4) 等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。-可编辑修改 -。3.2矩阵的秩3.2.1行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义 4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理 1:矩阵的初等行 ( 列) 变换不改变矩阵的行( 列 ) 秩。引理

30、2：矩阵的初等行( 列) 变换不改变矩阵的列( 行 ) 秩。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义 5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为 r(A),或 rankA ，或秩 A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。矩阵秩的求法首先复习 :行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。求向量组的秩、极大无关组的步骤：(1) 向量组1, 2,s 作列向量

31、构成矩阵A ；(2) A 初等行变换 B ( 行最简形矩阵 )(3) 求出 B 的列向量组的极大无关组(4)A 中与 B 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A 的极大无关组。矩阵秩的性质(1) 等价的矩阵，秩相同；(2)任意矩阵A ，有 r ( A) r ( AT ) ；(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若 P 可逆，对于任意的矩阵A ，有 r ( PA)r (A)r ( AP)(4) 对于 Am n , Bn p ,r ( A B)r ( A) r ( B);r ( AB)min r ( A), r (B);r ( AB)r ( A)r (B)n;当AB O时，有r (

32、A)r (B) n.3.3矩阵的秩与行列式的关系定理n 阶方阵 A ，r ( A)nA 的 n 个行 ( 列 ) 向量组线性无关A 0,即 A 为可逆矩阵 ( 也称为满秩矩阵 )r ( A)nA 的 n 个行 ( 列 ) 向量组线性相关A0. 3.5 向量空间1向量空间的概念定义 1： 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间说明：集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指,V,有V ;V , k R,有 k V .一般地，由向量组 a1 ,a2 , am 所生成的向量空间为-可编辑修改 -。V x1a12 a2m am1 ,2

33、 , mR2向量空间的基与维数定义 2：设 V 是向量空间，如果r 个向量1,2 ,rV ，且满足(1) 1 , 2 , r 线性无关；(2)V中任何一向量都可由1 ,2 ,r 线性表示，那么，就称向量组1,2 ,r 是向量空间V 的一个基，r 成为向量空间V 的维数，记作dimVr ，并称 V 是 r 维向量空间。注：（ 1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（ 2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组， V 的维数就是向量组的秩。（ 3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标定义 3：设向量空间V 的基为1 , r , 对于V ,表示式x11xrr 唯

34、一（定理2） ,称 (x1, xr )T为在基1 , r 下的坐标（列向量）注：为 n 维向量 ,在V的基 1, ,r 下的坐标为 r 维列向量因为线性无关的“n 维向量组”最多含有n个向量 ,所以由n 维向量构成的向量空间的基中最多含有n 个向量 ,故 r n 3.5 欧式空间1 内积的概念a1b1a2 ,b2定义 1：n 维实向量anbn，称( , ) a1b1 a2b2anbnb1b2Ta1 ,a2 , , anbn为和的内积。, 为行向量，则 ( ,)T若。向量空间的性质：(1)(,)( ,)(2)(,)(,) (,)(3)(k,)k(,)(4)(,)0 等号成立当且仅当0定义 2实数

35、(,)a12a22若1，称为单位向量。(把向量单位化：若0, 则0 ，考虑为把单位化。向量长度的性质：(1)非负性：当0 时，0 ；当(2)齐次性： kk；an2 为向量的长度 ( 或模，或范数) 。, )1122(,)21，即的模为 1，为单位向量，称0时，0；-可编辑修改 -。(3)柯西 施瓦兹不等式：(,)；(4) 三角不等式：,arccos ( , )定义 3：设实向量, 称( 0)为与之间的夹角定义4：若( , )0,称与正交,记作(1),时 ,2 ；(2)或时,有意义 ,而,无意义注：（ 1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。2标准正交基的向量组定义 5正交向量组：非零实向量1 ,2 , ,s 两两正交。正交单位向量组(标准正交向量组)：非零实向量1 ,2 , , s 两 两 正 交 ， 且 每 个 向 量 长 度 全 为 1 ， 即1(ij )( i , j )(ij ) 。0定理：正交向量组是线性无关的。例如，书p100 例例 1 已知三维向量空间中两个向量1111,2211正交，试求3使 1, 2,3 构成三维空间的一个正交基 .3 正交矩阵定义 6：A 是一个 n 阶实矩阵，若 AT AE ，则称 A 为正交矩阵。定理：设 A、B 都是