912三角形的内角和与外角和

1、9.1.2 9.1.2 三角形的内角和与外角和三角形的内角和与外角和AB C1、三角形的内角和、三角形的内角和如图，已知如图，已知AA、BB、CC为为ABCABC的三个内角的三个内角, ,证明证明A+B+C=180A+B+C=180. .解：如图，延长解：如图，延长BCBC至点至点E E， 在在 ACECE内作内作DCEDCE=B=B，ABC则则CDBACDBAD EA=ACD.A=ACD.ACB+ACD+DCE=180ACB+ACD+DCE=180，A+B+ACB=180A+B+ACB=180. .结论：结论：三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180. .推论：推论：直角三角形的两个

2、锐角直角三角形的两个锐角互余互余. .A+B+C=A+B+C=180的几种变形的几种变形: A= A=180 (B+C).(B+C). B= B=180 (A+C).(A+C). C= C=180 (A+B).(A+B). A+B= A+B=180C.C. B+C= B+C=180A.A. A+C= A+C=180B.B.注：这里的结论,以后可以直接运用. ABC2、三角形的外角、三角形的外角: 三角形的一边与另一边三角形的一边与另一边的延长线所组成的角的延长线所组成的角, 叫做三角形的叫做三角形的外角外角. 三角形外角的特征三角形外角的特征: (1). 顶点顶点在三角形的一个顶点上在三角形的

3、一个顶点上. (2). 一条边一条边是三角形的一边是三角形的一边. (3). 另一条边另一条边是三角形某条边的延长线是三角形某条边的延长线. （实际上三角形的一个外角（实际上三角形的一个外角, 就是三角形一个内角的就是三角形一个内角的邻补角邻补角）思考：思考：三角形三角形同一顶点同一顶点有几个外角有几个外角? ?它们有什么关系它们有什么关系? ?答答: :有两个有两个, ,它们是它们是对顶角对顶角. .ABC D如图如图. . ABCABC 中中,A=70,A=70 ,B=60B=60, ,ACDACD是是ABCABC的一个外角的一个外角, 能由能由A A , BB 求出求出ACDACD 吗吗

4、?如果能如果能, ACDACD 与与A A , BB 有什么关系有什么关系?你能进一步说明你能进一步说明ACDACD与图与图中的其它角有什么关系中的其它角有什么关系? ? 探索思考探索思考ABCD用文字表述为用文字表述为: :* *三角形的一个外角三角形的一个外角等于等于与它与它不相邻不相邻的的两个两个内角的和内角的和. .* *三角形的一个外角三角形的一个外角大于大于与它与它不相邻不相邻的的任何一个任何一个内角内角. . ACD =A+B.ACD =A+B.ACD+ACB=180ACD+ACB=180；ACD ACD A A ；ACD ACD B.B.思考：三角形的外角总比内角大吗？思考：三

5、角形的外角总比内角大吗？ 随堂练习随堂练习例例1 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,EAC, B=C. B=C. 则则AD BC.AD BC.请说明理由请说明理由. .解：解： EAC=B+CEAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ADBCADBC (内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).又又 B=CB=C ( (已知已知),), DAC=CDAC=C(等量代换等量代换).ACDBE AD AD平分平分EACEAC(已知已知).21DAC= EACDAC= EAC(角

6、平分线的定义角平分线的定义).21 C = C = EACEAC例例2 已知已知:如图如图,在在ABC中中, 1是它是它的一个外角的一个外角, E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D,连接连接DE. 则则 12,请说明理由请说明理由.解解: 1是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知), 13(三角形的一个外角大三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角于与它不相邻的任何一个内角).3是是CDE的一个外角的一个外角 (外角定义外角定义)， 32(三角形的一个外角大于和与三角形的一个外角大于和与 它不相邻的它不相邻的任何一个内角任何一个内角)， 12(不等式的性质不等式的性质).CAB

7、F1345ED2已知已知:国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示. 求求:A+B+C+D+E的度数的度数. 随堂练习随堂练习解:1是是BDF的一个外角的一个外角,分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和性质来求解. 1=B+D(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的两个内角的和).又又A+1+2=180又又 2是是EHC的一个外角的一个外角,ABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180.3、三角形的外角和、三

8、角形的外角和v从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。AB C 1 2 3v如图， 1+BAC1+BAC=1=18080, ,v2+ACB2+ACB=1=18080, ,v3+ABC3+ABC=1=18080, ,v则则1+BAC+2+ACB+3+ABC1+BAC+2+ACB+3+ABC=540=540. .v而而BAC+ACB+ABCBAC+ACB+ABC=1=18080, ,v则则1+2+31+2+3=360=360. .结论：结论：三角形的外角和等于三角形的外角和等于360360. .例例3 如图如图,D,D是是ABCABC的的BCBC边上一点边上一点,B

9、=BAD,B=BAD，ADC=80ADC=80,BAC=70BAC=70, ,求求BB、CC的度数的度数. .解：解： ADC ADC是是ABDABD的外角，的外角， C=180C=180-BAC-B-BAC-B B=BAD B=BAD， B= 40B= 40. . ADC= ADC=B+BAD=80B+BAD=80. .ABCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) B+BAC+C=180 B+BAC+C=180，(三角形的内角和等于三角形的内角和等于180) =180=180-40-40-70-70 =70=70 随堂练习随堂练习2、等

10、边三角形的每一个外角等于 .1、已知在ABC中，A=2B-10， B=C+20，求该三角形的各内角的度数.3、一个三角形的三个外角中，至少有两个 角.4、已知ABC中， CB，AD、AE分别是ABC 的高和角平分线，试探索DAE与B和C之 间的关系.5、已知如图，P是ABC内一点， 求证：BPCBAC.ABCP课后作业：课后作业：一、一、校内作业（下午第一节课前交）：校内作业（下午第一节课前交）：1 1、课本第、课本第7979页的页的“练习题练习题”（基础较差的做）；（基础较差的做）；2 2、补充补充：（：（1 1）某三角形的三外角之比是）某三角形的三外角之比是2:3:42:3:4， 则其三个内角之比为则其三个内角之比为 . .（2 2）已知如图，）已知如图，ABCABC中，中，1=B,1=B, 2=C,2=C, BAC=63BAC=63，求，求DACDAC的度数的度数. .（3 3）已知如图，已知如图，ABCABC中，中， BAC=90BAC=90， ADADBCBC于于D D，E E是是ADAD上的一点，上的一点，试比较试比较BEDBED与与C C的大小的大小. . （4 4）正五角星的每个角是多少度？）正五角星的每个角是多少度？课后作业：课后作业：二、二、家庭作业：家庭作业：（1 1）练习册第）练习册第9494页至第