Ch1-1线性代数

1、线性代数厦门理工学院数理系翟绍辉(Zhai Shaohui) 企鹅是种憨态可掬的小动物，可在水中游嬉，企鹅是种憨态可掬的小动物，可在水中游嬉，也能在陆地上行走。也能在陆地上行走。企鹅的企鹅的沉潜沉潜 然而，南极大地的水陆交接处，全是滑溜溜然而，南极大地的水陆交接处，全是滑溜溜的冰层或者尖锐的冰凌，它们身躯笨重，没有可的冰层或者尖锐的冰凌，它们身躯笨重，没有可以飞翔的翅膀，如何从水中上岸？以飞翔的翅膀，如何从水中上岸？ 在将要上岸时，企鹅猛地低头，从海面扎入海在将要上岸时，企鹅猛地低头，从海面扎入海中，拼力沉潜。潜的越深，海水所产生的压力和浮中，拼力沉潜。潜的越深，海水所产生的压力和浮力越大，企

2、鹅一直潜到适当的深度，再摆动双足，力越大，企鹅一直潜到适当的深度，再摆动双足，迅猛向上，犹如离弦之箭窜出水面，腾空而起，落迅猛向上，犹如离弦之箭窜出水面，腾空而起，落于陆地之上，画出一道完美的于陆地之上，画出一道完美的 形线。形线。U纪录片纪录片深蓝深蓝详尽地展示了企鹅登陆的过程。详尽地展示了企鹅登陆的过程。 这种沉潜为了蓄势，积聚破水而出的力量，这种沉潜为了蓄势，积聚破水而出的力量，看似笨拙，却富有成效。看似笨拙，却富有成效。 甘于沉下去，才可浮上来，企鹅的沉潜规甘于沉下去，才可浮上来，企鹅的沉潜规则，也适用于人的生存。则，也适用于人的生存。 人生又何尝不是如此？当我们面前困难重重，人生又何

3、尝不是如此？当我们面前困难重重，出头之日遥不可及时，何不学学企鹅的沉潜？这出头之日遥不可及时，何不学学企鹅的沉潜？这种沉潜绝非沉沦，而是自强。如果我们在困境中种沉潜绝非沉沦，而是自强。如果我们在困境中也能沉下气来，不被也能沉下气来，不被“冰凌冰凌”吓倒；在喧嚣中也吓倒；在喧嚣中也能沉下心来，不被浮华迷惑，专心致志积聚力量，能沉下心来，不被浮华迷惑，专心致志积聚力量，并抓住恰当的机会反弹向上，毫不疑问，我们就并抓住恰当的机会反弹向上，毫不疑问，我们就能成功登陆！反之，总是随波浮沉，或者怨天尤能成功登陆！反之，总是随波浮沉，或者怨天尤人，注定就会被命运的风浪玩弄于股掌之间，直人，注定就会被命运的风

4、浪玩弄于股掌之间，直至精疲力竭。至精疲力竭。摘自摘自中国青年中国青年 行列式、矩阵、行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、维向量、线性方程组、 矩阵的特征根（向量），标准形与二次型。矩阵的特征根（向量），标准形与二次型。基本理论基础基本理论基础线性代数基本内容线性代数基本内容第一章第一章 行列式行列式 n 阶行列式的理论阶行列式的理论 定义、性质、计算方法；定义、性质、计算方法； n 阶行列式的应用阶行列式的应用 求一类求一类 n 元方程组的克拉默法则元方程组的克拉默法则1.1 行列式的定义 1.1.1 排列,逆序与对换 1.1.2 n阶行列式1.2 行列式的性质与计算 1.2.1 行列式的性

5、质 1.2.2 行列式按行(列)展开大纲要求一、行列式一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性质2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式一一. 全排列全排列 n个元素的所有全排列个元素的所有全排列 = ？个？个.nP 一一. 全排列及逆序数全排列及逆序数如：如：12345678, 75632184, 等均为等均为 8 个元素的全排列。个元素的全排列。n！二二. 逆序与逆序数逆序与逆序数 全排列全排列123 n 称为称为标准排列标准排列, 此时元素之间的顺序称为此时元素之间的顺序称为标准顺序标准顺序. 在任一排列

6、中在任一排列中, 若某两个元素的顺序与标准顺序不同若某两个元素的顺序与标准顺序不同,就称这两个元素构成了一个就称这两个元素构成了一个逆序逆序.213中中, 2与与1就构成了一个逆序就构成了一个逆序.321中中, 2与与3, 1与与2, 1与与3都构成逆序都构成逆序在一个排列中在一个排列中, 逆序的总和称为逆序的总和称为逆序数逆序数. 从第二个元素起数从第二个元素起数, 该元素前有几个数比它大该元素前有几个数比它大, 这个元素的逆这个元素的逆序就是几序就是几. 如如213的逆序数为的逆序数为1, 321的逆序数为的逆序数为3.n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, ,称为称为 n 个元素

7、的个元素的全排列全排列. 简称简称排列排列. 将一个排列所有元素的逆序相加将一个排列所有元素的逆序相加, 即得到这个排列的逆序数即得到这个排列的逆序数. 怎样求怎样求?例例1 ( (P.2例例1.1.1 ) )例例1 求全排列求全排列n(n-1)(n-2) 321逆序数逆序数.解解 n-1 前面有前面有1 个数比它大个数比它大, 故有故有1 个逆序个逆序; n-2前面有前面有2 个数比它大个数比它大, 故有故有2 个逆序个逆序; 依次下去依次下去, 1 前面有前面有n-1 个数比它大个数比它大,故有故有n-1个逆序个逆序, 将所有元素的逆序相加将所有元素的逆序相加, 得逆序数得逆序数: 1+2

8、 + +(n - 1) = n(n -1)/ 2 逆序数为逆序数为奇数奇数的排列称为的排列称为奇排列奇排列, 逆序数为逆序数为偶数偶数的排列称为的排列称为 偶排列偶排列. 132，213，321逆序数分别为逆序数分别为 1, 1, 3 奇排列奇排列。例如例如: 在在 3 个元素的全排列中个元素的全排列中: 123，231，312的逆序数分别为的逆序数分别为 0, 2, 2 偶排列偶排列; 二二. 对换对换 在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到一个新排列，这样一种变换称为一个新排列，这样一种变换称为对换对换. . 将相邻两数对换

9、称为将相邻两数对换称为相邻对相邻对换换. .对换有三个性质对换有三个性质: 一一般般时时：相相邻邻时时：)2()1(mlbbbaaa11 ba 1,:的的逆逆序序abanmlccbbbaaa111m 次次m +1 次次m 个个nmlccbbbaaa111的的逆逆序序不不变变。的的逆逆序序abba1,: 的逆序不变；的逆序不变；b共共2m+1次次nmlccabbbaa111总之改变奇偶性总之改变奇偶性 对换次数对换次数 = 其奇偶性变化的次数其奇偶性变化的次数 2. 奇奇(偶偶)排列调成标准排列的对换次数为奇排列调成标准排列的对换次数为奇(偶偶)次次.(推论推论) 3. n个元素的全排列中个元素

10、的全排列中, 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半: n!/2. (推论推论)1. 任意一个排列经一次对换后改变奇偶性任意一个排列经一次对换后改变奇偶性. (P.2 th1) 22221211212111bxaxabxaxa三三. 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式121211221111212122222121:,:babababababaabab 2112221122211211:aaaaaaaa )()(1222aa - -222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx 2112221122211211aaaaaaaa 主对角线主对角线次对角

11、线次对角线212111112212211)(babaxaaaa 0,211222112121221aaaababax 211222111212112aaaababax 二阶行列式二阶行列式P. 24 2-(1)二阶行列式二阶行列式:第二个第二个 所有不同的列所有不同的列第一个第一个 所有不同的行所有不同的行 每行、列都出现，且仅出现一次每行、列都出现，且仅出现一次下标出现的规律：下标出现的规律：- - - - - - - - - - - - - - - - - 333231232221131211aaaaaaaaa？333231232221131211aaaaaaaaa？32211331231

12、2aaaaaa .332112322311312213aaaaaaaaa 332211aaa aaa321jjj 1 2 3t)1( 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa对角线法对四阶行列式不成立对角线法对四阶行列式不成立! 必须另从二、三阶行列式的表达式中必须另从二、三阶行列式的表达式中寻找规律寻找规律, 以抽象出阶行列式的概念以抽象出阶行列式的概念.P.24 2-(2),2-(3)332112322311312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

13、aaaaa 332112322311312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 321321)1(jjjtaaa的的逆逆序序数数为为321jjjt ？ ？2112221122211211aaaaaaaa 2121)1(jjtaa第一个脚标？第一个脚标？第二个脚标？第二个脚标？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 的的一个全排列一个全排列对对1 2 3的的排列求和排列求和类似地，可以把这种定义形式推广到类似地，可以把这种定义形式推广到n阶行列式

14、。阶行列式。 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3的的逆逆序序数数是是排排列列nppt1三三. n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211记为一阶行列式一阶行列式 a = a.每行每列取且仅取一个元素做积每行每列取且仅取一个元素做积共共 n ! 项项称为称为n 阶行列式阶行列式.由由 n 个数排成个数排成 n 行行 n 列的数表列的数表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211.)det(nnijijaaD 可可简简记记为为求和，对排列n1t) 1(npnppaaa2121注注:4、行列式是一个数、行列式

15、是一个数;3、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n1、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn5、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 2、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 求和求和，对排列对排列n1t)1( npnppaaa2121nnnnnnaaaaaaaaa212222111211定理定理2 (P.8) nnnjjjnjjjjjtaaa1212121)()1( nnnjjniiijjjtaaa1212121)()1(nii 1)(21niii nnnn

16、nnjjiijijijijjjtiiitaaa1122112121)()()1(n 21,21n nnnnppppppptaaa211121)()1( 0)12( nt例例1 n 212)1()21( nnnt.)1(212)1(nnn 特殊行列式特殊行列式 的计算的计算 nnnjjniiijjjtaaa1212121)() 1(nii 1)(21niii对角行列式对角行列式次对角行列式次对角行列式nnnnaaaaaa21222111000000nnaaa2211 nnnnjjjjjjjtaaa211121)()1( 0)12( nt?0000001222111211 nnaaaaaa例例2?00000022211211 nnnnaaaaaa=下三角行列式下三角行列式上三角行列式上三角行列式次上三角次上三角行列式行列式0000000000001)1(2211)1(111)1(12)1(21nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa 1)1(