绪论有限元分析(船海)

1、12教师、教材、参考书与课时安排教师、教材、参考书与课时安排教师：陈美霞教师：陈美霞 Tel:Email: 教材教材有限元分析及应用有限元分析及应用，胡于进、王璋奇，北，胡于进、王璋奇，北京京 : 清华大学出版社清华大学出版社, 20093 参考书参考书1、有限元分析及应用有限元分析及应用，曾攀，北京，曾攀，北京 : 清华清华大学出版社大学出版社, 20042、有限元法基础及有限元法基础及ANSYS应用应用，黄国权，黄国权主编，北京主编，北京 : 机械工业出版社机械工业出版社, 20043、有限元法基础有限元法基础，蒋孝煜著，北京，蒋孝煜著，北京 : 清华清华大学出版

2、社大学出版社, 19924、ANSYS实用操作手册及帮助文件实用操作手册及帮助文件4 课时安排课时安排授课授课 ：28学时学时上机上机 ：4学时学时课后自己上机练习课后自己上机练习ANSYS软件软件 考试安排考试安排 这门课在第这门课在第 周进行期末考试，形式为笔周进行期末考试，形式为笔试，（开试，（开/ /闭）卷。主要考察有限元法的基本原闭）卷。主要考察有限元法的基本原理，方法，理，方法，ANSYSANSYS软件基本操作等。软件基本操作等。 平时作业：平时作业：3030 考试成绩：考试成绩：70705 学习目的学习目的 有限元法做为一个有效的数值分析工具，在许有限元法做为一个有效的数值分析工

3、具，在许多科学领域当中有成功的应用。本门课程主要有以多科学领域当中有成功的应用。本门课程主要有以下的目的：下的目的：1)1)学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法。介绍有限元法的基本方法。2)2)了解什么是有限元法，以及当前有限元软件的发了解什么是有限元法，以及当前有限元软件的发展水平，学会用有限元软件展水平，学会用有限元软件ANSYSANSYS来分析一些工程问来分析一些工程问题。题。61-1 工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题 在工程技术领域内，经常会遇到两类典在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。型的问题。第一

4、类问题，可以归结为有限个第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合已知单元体的组合。例如，材料力学中的连。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为题称为离散系统离散系统。第一章第一章 绪论绪论7 如左下图所示平面桁架结构，是由如左下图所示平面桁架结构，是由6 6个承个承受轴向力的受轴向力的“杆单元杆单元”组成。尽管离散系统是组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右下图这类复杂的离散系统，可解的，但是求解右下图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。要依靠计算机技术。81-1工程和科学中典型问题工程和科学中典型问题 第二类问题，通常可以

5、建立它们应遵循的基本第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为题称为连续系统，或场问题连续系统，或场问题。 尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确解答。对于许

6、多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。的解答。91-2 场问题的一般描述场问题的一般描述-微分方程微分方程+ +边界条件边界条件1) 应力场应力场-弹性力学弹性力学2) 温度场温度场-热传导热传导3) 电磁场电磁场-电磁学电磁学4) 流速场流速场-流体力学流体力学10A、B-微分算子（如对微分算子（如对坐标或时间的微分）坐标或时间的微分）u-未知场函数，可为标未知场函数，可为标量场（如温度），也可为量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、矢量场（如位移、应变、应力等）应力等）( )( )( )0 A uA uA u12=在内.12( )( )( )0 .B uB uB u在 上 y x

7、11数值计算方法分类数值计算方法分类特特 点点优缺点优缺点差分法差分法离散求解域；差分代替微离散求解域；差分代替微分；解代数方程组分；解代数方程组要求规则边界，几何要求规则边界，几何形状复杂时精度低形状复杂时精度低等效积分法等效积分法（加权余量（加权余量法或泛函变法或泛函变分法）分法）整体场函数用近似函数代整体场函数用近似函数代替；微分方程及定解条件替；微分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛的等效积分转化为某个泛函的变分，函的变分，-求极值问题求极值问题适合简单问题，复杂适合简单问题，复杂问题很难解决问题很难解决有限元法有限元法离散求解域；分片连续函离散求解域；分片连续函数近似整体未知场函数

8、；数近似整体未知场函数；解线性方程组解线性方程组节点可任意配置，边节点可任意配置，边界适应性好；适应任界适应性好；适应任意支撑条件和载荷；意支撑条件和载荷；计算精度与网格疏密计算精度与网格疏密和单元形态有关，精和单元形态有关，精度可控度可控121-3 有限元法基本思想有限元法基本思想 有限元分析的有限元分析的力学基础力学基础是弹性力学，是弹性力学，而方程而方程求解的原理求解的原理是采用加权残值法或泛是采用加权残值法或泛函极值原理，函极值原理，实现的方法实现的方法是数值离散技术，是数值离散技术，最后的最后的技术载体技术载体是有限元分析软件。是有限元分析软件。131-3 有限元法基本思想有限元法基

9、本思想v 先将先将求解域离散求解域离散为有限个单元，单元与单元只为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替个单元的集合近似代替v 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示单元节点上物理量来表示-通常称为通常称为插值函数插值函数或位移函数或位移函数141-3 有限元法基本思想有限元法基本思想v 基于问题的基本方程，建立基于问题的基本方程，建立单元节点的单元节点的平衡平衡方程方

10、程（即单元刚度方程）（即单元刚度方程）v 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成合成整体的刚度方程整体的刚度方程，这是一组以节点物理量，这是一组以节点物理量为未知量的线性方程组，引入边界条件求解该为未知量的线性方程组，引入边界条件求解该方程组即可。方程组即可。151-3 有限元法基本思想有限元法基本思想 节节点点 单单元元 x y ( )jjj x y ju jv ( )mmm xy mu mv ( )iii x y iu iv 16实例实例1(离散系统离散系统)结构离散结构离散1 2 3 X2 Y2 首先分析单元首先分析单元1节点位移向量表示：节点位

11、移向量表示：节点力向量表示：节点力向量表示：111111122,Tu v u v111111122,TxyxyFFFFF17 节点节点1沿沿x方向的位移方向的位移 、其余节点位其余节点位移全为移全为0时时轴向压力为：轴向压力为： 1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 12u12v 11u11v22xF 23xF 111u11111()cosFAlAEEAlEAl18实例实例1（单元分析）（单元分析） 节点节点1作用于单元作用于单元1上的力，在上的力，在x和和y方向的分量分别为：方向的分量分别为： 1121111coscosEAkFl112111sincos

12、sinEAkFl同理，节点同理，节点2作用于单元作用于单元1上的力，其大小与之相上的力，其大小与之相等，方向相反，等，方向相反，x和和y方向的分量分别记为：方向的分量分别记为： 21131coslEAksincos1141lEAk注注： 表示第表示第e个单元的第个单元的第j个自由度产生单位位个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第移，而其它自由度上的位移为零时，第i个自由度个自由度上所受的力。常称其为上所受的力。常称其为单元的刚度系数。单元的刚度系数。 eijk,19实例实例1（单元分析）（单元分析） 同理可求同理可求 分别作单位位移时分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实

13、际受力相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为为 和实际位移和实际位移为为 ，则据各个节点节点力，则据各个节点节点力平衡得：平衡得：111212uvv、 、11111122,xyxyFFFF11111122,u v u v20单元单元2节点力平衡方程节点力平衡方程 222 FKn单元单元1节点力平衡方程节点力平衡方程 1111111111111121132142111111111121122123224211111111123113213323421111111112411421432442111 xyxyFKFk uk vk uk vFk uk vk uk vFk uk vk uk vFk u

14、k vk uk v:记记为为矩矩阵阵形形式式21实例实例1（整体分析）（整体分析） 整体分析：作用于每个节点上的节点力平衡，即整体分析：作用于每个节点上的节点力平衡，即11 eexiiyiieeFXFY结合前式推导得：结合前式推导得：11111111121314111111212223241112122222313233113112131411121222241424321442223242222331323334222234142434400000000uXkkkkvYkkkkuXkkkkkkkkvYkkkkkkkkukkkkvkkkk233XY22实例实例1（引入约束求解）（引入约束求解）

15、 整体矩阵记为：整体矩阵记为： 将将 代入可得整体方程代入可得整体方程 KR11330u v uv 1212223311341212122243214422uXkkkkvYkkkk（边界条件）（边界条件）23实例实例2 （连续问题）（连续问题）通过通过材料力学材料力学求解和求解和有限元有限元求解进行比较求解进行比较24LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)图 2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图图(a)(a)单位杆长重量为单位杆长重量为q q，杆长为，杆长为L L，截面面积为，截面面积为

16、A A，弹性模数为，弹性模数为E E25实例实例2材料力学材料力学方法求解直杆拉伸：方法求解直杆拉伸： 图图(b)-位移法位移法 考虑微段考虑微段dx，内力内力 N=q (L-x) dx的伸长为的伸长为 x截面上的位移：截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变应变 应力应力N(x)dxq(Lx)dx(dx)EAEA2 x x 0 0q(Lx)dxqxu(dx)(Lx)EAEA2xduq(Lx)dxEAxxqE(Lx)A262qxu(Lx)EA2取取xa令令a3Lx2ax3a252qauEA则则282qauEA292qauEA27实例

17、实例2 （结构离散）（结构离散）有限单元法有限单元法求解直杆拉伸：求解直杆拉伸： iL1iL 图 2-3i+1ii-12)LL( q1ii 1、离散化、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把、外载荷集中到结点上，即把投影部分的重量作用在结点投影部分的重量作用在结点i i上上1L2LiL1iL 1图 2-2nn-1i+1ii-12Ln每个节点都受到外力作用（即重力），每个节点都受到外力作用（即重力），相当于把重力平分到每个节点上。相当于把重力平分到每个节点上。28实例实例2 （单元分析）（单元分析）有限单元法有限单元法求解直杆拉伸：求解直杆拉伸： 3、假设线单元上的位移为线性函、假设线单元上的位移

18、为线性函数，数，对于第对于第Li个单元个单元111 ( ) ( )iiiiiuuuuxuxxLi1xiududxLiui1iuE()LiiiuEi L1 ()iiiiiuuNAA EL111 ()iiLiiiuuNA EL同理，同理，对于第对于第Li+1个单元个单元Ni-1Nii-1iLiNiNi+1ii+1Li+129i N1i N 图 2-5i2)LL( q1ii 实例实例2 （单元分析）（单元分析）有限单元法有限单元法求解直杆拉伸：求解直杆拉伸： 4、以、以i i结点为对象，列力的平结点为对象，列力的平衡方程衡方程令令 将位移和内力的关系代入得将位移和内力的关系代入得 0 xF1 i1

19、()2iiLLiiiqLLNN1iiiLL2 i-1 i i 11(1) (1) 2iiiiquuuLEA用结点位移表示的平衡方程，其中用结点位移表示的平衡方程，其中i=1i=1，2 2， n n有有n n个方程个方程未知数也有未知数也有n n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力 30aL1 aL3 aL2 0 u1 u2 u3 u0123图 2-6实例实例2 （整体分析与求解）（整体分析与求解）有限单元法有限单元法求解直杆拉伸：求解直杆拉伸： 假设线单元数为假设线单元数为3 3个的情况，个的情况，平衡方程有平衡方程有3 3个：个：i=1i=1时，时

20、，i=2i=2时时, ,i=3i=3时，时，2 1 22 quuaEA2 1 2 3 2 quuuaEA2 2 3 2 quuaEA11 i i i11 ()(300)2iiiLLLiiiqLLiNNNL时，其中 ，0(0)u 2 i-1 i i 11(1) (1) 2iiiiquuuLEA1iiiLL31联立解得联立解得2 15 qa2 EAu 2 28 qa2 EAu EAqa29u23 与材料力学的精确解答在结点处完全相同。与材料力学的精确解答在结点处完全相同。321-4 有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤 所研究问题的数学所研究问题的数学建模建模 物体离散物体离散 单元分析单元分析

21、整体分析与求解整体分析与求解 结果分析及后处理结果分析及后处理 P P 力学模型力学模型(平面应力问题平面应力问题)有限元模型有限元模型331-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 在寻找连续系统求解方法的过程中，在寻找连续系统求解方法的过程中，工程工程师和数学家师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结从两种不同的路线得到了相同的结果，即果，即有限元法有限元法。有限元法的形成可以回顾到。有限元法的形成可以回顾到二十世纪二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和法的发展和工程师工程师对对结构相似性结构相似性的直觉判断。的直觉判断。从固体力学的角

22、度来看，桁架结构等标准离散从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。结构上存在相似性。341-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 1956年年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将新的计算方法，将矩阵位移法矩阵位移法推广到求解平面应力推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元单元”，利

23、用单元中近似位移函数，求得单元节，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的点力与节点位移关系的单元刚度矩阵单元刚度矩阵。351-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 1954-1955年，年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。表了一组能量原理和结构分析论文。 1960年，年，Clough在他的名为在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了的论文中首次提出了有限元（有限元（finite element）这一术语。这一术语。 数学家数学家们则

24、发展了微分方程的近似解法，包括们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。有限差分方法，变分原理和加权余量法。361-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 在在1963年前后，经过年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许（卞学磺）等许多人的工作，认识到多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。导出的有限元计算公式。 19

25、65年年O.C.Zienkiewicz和和Y.K.Cheung（张佑启）（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年年B.A.Szabo和和G.C.Lee指出可以用加权余指出可以用加权余量法特别是量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。求解非结构问题。371-5 有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较

26、著名的有：陈伯屏（结构出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。年期间，我国的研究工作受到阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为结为场问题场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工

27、程设计和以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。优化提供了有力的工具。 有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种各种微分方程描述的场问题微分方程描述的场问题的求解。的求解。381-6 有限元法的几个热点问题有限元法的几个热点问题 新型单元的研究新型单元的研究 1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究 面向物理问题的有限元建模面向物理问题的有限元建模 如有限元建模专家系统、决策支持系统、

28、网格划分算法等如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等 有限元法计算速度的研究有限元法计算速度的研究 如并行计算等如并行计算等 结构优化结构优化391-7 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 结构离散（有限元建模）结构离散（有限元建模） 内容：内容： 1）网格划分）网格划分-即把结构按一定规则分割成有即把结构按一定规则分割成有限单元限单元 2）边界处理）边界处理-即把作用于结构边界上约束和即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷载荷处理为节点约束和节点载荷401-7 有限元法的基本概念有限元法的基本概念n要求：要求： 1）离散结构必须与原始结构保形）离散结构必须与原始

29、结构保形-单元的单元的几何特性几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同）一个单元内的物理特性必须相同-单元单元的物理特性的物理特性(例如：材料等例如：材料等)0iijiiiEEEpef 41单元与节点单元与节点 单元单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域物理特性的最小结构域 节点节点：单元与单元间的连接点。：单元与单元间的连接点。 节点力节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力：单元与单元间通过节点的相互作用力（即内力）（即内力） 节点载荷节点载荷：作用于节点上的外载（即外力）：作用于节点上的外载（即外力）421 2 3 X2 Y

30、2 1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 22xF 23xF 节点载荷节点载荷节点力节点力43注意：注意： 1)节点是有限元法的重要概念，节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，点传递，而单元边界不传递力，这是离这是离散结构与实际结构的重大差别；散结构与实际结构的重大差别； 2）节点力节点力与与节点载荷节点载荷的差别的差别44非法结构离散非法结构离散 不同材料不同材料节点不合法节点不合法45典典型型单单元元类类型型单元类型单元类型单元图形单元图形节点数节点数节点自由度节点自由

31、度一维杆单元一维杆单元21二维梁单元二维梁单元23平面单元平面单元32平面四边形平面四边形42二维轴对称二维轴对称问题问题32二维板壳单二维板壳单元元43四面体单元四面体单元4346插值函数（或位移函数）插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为构成，故称为插值函数插值函数，如单元内物理量为位移，则该，如单元内物理量为位移，则该函数称为函数称为位移函数。位移函数。 选择位移函数的一般原则：选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是内部是