第8讲 泊松过程的推广

1、1随机数学随机数学第第8讲讲 泊松过程的推广泊松过程的推广教师教师: 陈陈 萍萍22.2.2 2.2.2 到达时刻的条件分布到达时刻的条件分布0),(ttN本节讨论在给定N(t)=n 的条件下，的条件分布及其有关性质。ts 01( )1)sPsN tt这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知已知0,t 0,t 上有上有1 1个事件发生的条件下个事件发生的条件下, ,事件发生的时间事件发生的时间1 1应该服从应该服从00，tt上的均匀分布。对此我们自然要问：上的均匀分布。对此我们自然要问：(1)(1)这个性质是否可推广到的这个性

2、质是否可推广到的 情形？情形？(2)(2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是否成立？否成立？1,)(nntN定理定理2.2.42.2.4 设设 是泊松过程，则对是泊松过程，则对 有有3 12(,.,)nUUU12( ,)nf u uu12!,0,0,nnnuuutt其它N(t), t012.n 12.nUUU4的泊松过程，第的泊松过程，第i 次受冲击次受冲击0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE5则则N(t), t0为泊松过程为泊松过程. . 证略.定理定理2.2.62.2.6 设设N(t), t0为计数过程，为计数过程

3、，T Tn n为第为第n n个事件个事件与第与第n-1n-1个事件的时间间隔，个事件的时间间隔， 独立同分布且分独立同分布且分布函数为布函数为F(x),若若F(0)=0，且对且对 , ,都有都有1( )1)PsN t ,1nT n ts 00, tts定理定理2.2.72.2.7 设设N(t), t0为跃度为为跃度为1 1的计数过程，满足，的计数过程，满足， t0,N(t) P(t),且在且在N(t)=n条件下，条件下，的条件概率密度是的条件概率密度是1,.,n110.!,.,nnsstnnfsst则则N(t), t0为泊松过程为泊松过程. .证略思考思考: 如何利用以上定理如何利用以上定理

4、对泊松过程进行计算机模拟和检验对泊松过程进行计算机模拟和检验?62.3 Poission过程的推广过程的推广 ( )1(2.3.1)N tiiX tY2E Y 2, varE X ttE YX ttE YN(t),t 0为为Poission过程过程, 1YtsisX tXsE ee 72,N ( )1N tiiX tY2 21exp() 1 ( ) 1122112( )isstsXsee 1E XE Y80,0Nnts tnentnsNtsNP!|)()( 2EtEttN)var()(var2 dGntensNtsNPnt!)()() 1 (09qpPpP1,21 2121( ),()( )0

5、|( )|iiiiiiPP N tn N tsN tPP N tn 10 2121( )|()( )0|( )|iiiiiiiPP N tnP N tsN tPP N tn 112212121211nntstsnnttpteepteeptepte 1221121211nnt st snnt stpepepepe11定义定义2.3.32.3.3 随机过程随机过程N(t),t0称为具有强度函数称为具有强度函数(t) 的的，如果，如果1 1）是一计数过程）是一计数过程, ,且且N(0)=0 N(0)=0 ，2 2）具有独立增量性，）具有独立增量性，3 3）对任意实数）对任意实数t t 0,s0,N(

6、t+s)-N(t)0,s0,N(t+s)-N(t)为具有参数为具有参数 的的PoissonPoisson分布分布. .sttduutm)()(122.4 更新过程更新过程13,1nT n 1nnkkT1( )sup :norntnN tnt2.4.1 2.4.1 更新过程的定义更新过程的定义 14,0( )0,0tktetTf tt ?,0,0,000s tP N sN tsN sP N sP N tsN s15更新过程的基本结论：更新过程的基本结论： 过程的统计特性可由序列过程的统计特性可由序列 的共同分布完全的共同分布完全刻画；刻画； N(t)是关于是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量；为取非负整数值的随机变量； 的分布函数为的分布函数为),()(1tFtFtnnxdFx