第5章 随机信号通过线性系统

1、第5章 随机信号通过线性系统2022-5-142目录5.1 具有随机输入的线性时不变系统 5.2 平稳白噪声通过LTI系统 5.3 信号功率谱与带宽 5.4 噪声中的信号处理 5.5 平稳序列通过离散LTI系统 2022-5-1435.1 具有随机输入的线性时不变系统 一个系统对输入信号x(t)的作用，可以表示为y(t)=Lx(t)，其中x(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出，Lx(t)表示系统对x(t)的作用，是对信号x(t)进行运算的符号，称为运算子运算子。L代表各种可能的数学运算方法，例如加法、减法、乘法、微分、积分以及微分方程、积分方程的求解运算等。2022-5-1441 1221

2、122( )( )( )( )L a x ta x ta L x ta L x t若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性组合，则称该系统为线性系统线性系统。对于线性系统, 若输入信号x(t)有时移, 使输出y(t)也有一个相同的时移，即y(t-)=Lx(t-), 则称该线性系统为线性时不变线性时不变(LTI)系统系统, 满足以下性质：l 线性性线性性：对于任何a1, a2, x1(t), x2(t)与，有l 时不变性时不变性：()()L x ty t系统完全由算子L 确定。2022-5-145( )( )( )() ( )y tx th tx tu h u du( )()h tH jw(

3、 )()x tX jw( )()y tY jw()()()Y jwX jw H jw线性时不变系统的其他表示形式线性时不变系统的其他表示形式线性时不变系统的输出可看成是输入信号的冲激响应（严格说是零状态响应），表示为：其中2022-5-146线性系统的输出过程当输入信号X(t,i)是随机过程时，系统的输出Y(t,i)映射为Y(t,i)=LX(t,i)。由于i在X(t)对应的整个样本空间取值，使Y(t,i)成为随机函数，构造出一个新的随机过程。若输入信号的均方值E|X(t)|2存在，则该类信号是稳定的。对于稳定的LTI系统，当输入信号稳定时，其输出信号也一定是稳定的。稳定系统满足( )h u d

4、u 2022-5-147几种特殊情形下几种特殊情形下Y(t)的概率分布的概率分布 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程，且X(t)与Y(t)是联合高斯的； 若窄带随机信号通过宽带系统，当在信号X(t)的通带内H(jw)几乎不变时，即Y(t)kX(t)，k为常数，则Y(t)与X(t)具有相似的概率特性； 如果宽带随机信号X(t)通过窄带系统，当X(t)的带宽大于系统带宽约7-10倍时，可近似认为Y(t)总是高斯的，即使X(t)是一般随机信号。2022-5-148 对于时不变系统，若过程X(t)与X(t+)的分布特性相同，则过程Y(t)与Y(t+)的分布特性也相同。 如X(t)是严格平稳

5、的，则Y(t)也是严格平稳的。如X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义平稳的。而且X(t)与Y(t)是联合广义平稳的。2022-5-149系统输出过程的均值与相关函数系统输出过程的均值与相关函数定理定理5.1 对于任何稳定的线性系统，有对于任何稳定的线性系统，有ELX(t) = LEX(t)。证明：由于是稳定的LTI系统，求均值与求积分可以交换顺序，则() ( )()( )( )EX tu h u duE X tuh u duL E X t2022-5-1410定理定理5.2 若若X(t)为平稳过程，为平稳过程，h(t)为实为实LTI系系统，统，Y(t)=X(t)*h(t)，则，则X(t)与

6、与Y(t)是联合广义是联合广义平稳过程，并且有平稳过程，并且有 (1) mY = mXH(j0) (2) RYX() = RX()*h() (3) RXY() = RX()*h(-) (4) RY() = RX()*h()*h(-)2022-5-1411( )()( )( )( 0)XXE Y tE X tuh u dum h u dum H j( 0)( )H jh u du12121212( )( )()( ) ( )() ( )() ( )XXE Y t X tEX tu X t h u duRtut h u duRttu h u du( ) ( )( )* ( )YXXXRRu h u

7、 duRh证明：(1)其中(2)令=t1-t22022-5-1412121212( ) ( )()( )() ( )XXE X t Y tRttuh u duRttu h u du( )() ()( )* ()XYXXRRv hv dv Rh1212( ) ( )()()( ) ( )() ( ) ( )()* () ( )( )* ( ) * ()XXXE Y t Y tE X tu X tvh u h v dudvRvu h u h v dudvRvhv h v dvRhh (3)令=t1-t2, v=-u(4)2022-5-1413( )( )()() ( )hr th thth tu

8、h u du定义系统（冲激响应）的相关函数为2( )()hrH jw( )( )( )YXhRRr|H(jw)|2称为功率传输函数输出过程的均值与相关函数*()()htHjw2022-5-1414推论推论 若若LTI系统的频响函数为系统的频响函数为H(jw)，则其互，则其互功率谱与功率谱关系如下：功率谱与功率谱关系如下：（1） SYX(w) = SX(w)H(jw)（2）SXY(w) = SX(w)H*(jw)（3） SY(w) = SX(w)|H(jw)|22022-5-14152022-5-14161( )( )bth teu tbjw22222( )( )aXXXXaReSwaw2222

9、22222222221( )( )()211XYXXaSwSw H jwaw bwabaawbw22211( )abXYaReebaab解：（1）输入是平稳信号，则由功率谱之间的关系，有因此2022-5-1417()0YXmm H jw222(0)(0)()XYYYYRmRb ab22()22()( , )2Xb a b yYXb abfy te0( )0( , )0.5YP Y tfy t dy（2）由于X(t)是高斯信号，Y(t)也是高斯信号，且则（3）因为Y(t)的均值为0，故2022-5-14182022-5-1419/1/11()( )( )1/1t RCjwcH jwh teu t

10、RjwcjwRCRC( )0XmE X t22000(, )cos 2()cos 2cos22XaRtta Ef tf tf22002200222201( )( )()(2)(2)21(2)(2)2 14YXaSwSw H jwwfwfWRCawfwff R C2022220( )cos22(14)YaRff R C解：故X(t)是广义平稳的。2022-5-14202022-5-14211( )lim() ( )21lim()( )2() ( )TTTTTTA Y tX tu h u duTX tu dt h u duTA X tu h u du( )() ( )( )XYA Y tmtu h

11、 u dum t输出信号的时间平均为：如果X(t)是各态历经的，则AX(t-u)=mX(t-u)。Y(t)均值也是各态历经的。同样，Y(t)的相关函数也是各态历经的。2022-5-14225.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统平稳白噪声的均值为0，相关函数与功率谱为：0( )( )2NNR 0( )2NNSw 白噪声通过系统h(t)的输出噪声为Y(t)，功率谱为2022-5-1423( )0Ym t 00( )( )( )* ()( )22YYhNNRChhr 20( )()2YNSwH jw200(0)()(0)42YYhNNPRH jwdwr输出信号输出信号Y(t

12、)的均值、相关函数与功率谱的均值、相关函数与功率谱2022-5-14242022-5-14251()1H jwjwRC/1( )( )t RCh teu tRC2( )NSw22222222(1/)( )()11/YRCSwH jwwRCwRC2(0)2YYPRRC解：（1）系统的频率响应为：其冲激响应为：噪声功率谱为：输出信号功率谱为：输出信号的相关函数为：信号功率为： RCYeRCR/222022-5-1426( 0)0YXmm H j222(0)2YYYRmRC22/2( , )yRCYRCfy te（2）因为X(t)是高斯的，由X(t)的平稳性知道，Y(t)也 是高斯的，则Y(t)的均

13、值和方差为：Y(t)的概率密度函数为：2022-5-14272022-5-1428( )( )* ( )YXXRRh02( )( )YXhRN0( )( )2XNR 解：由定理，因为则00( )( )* ( )( )22YXNNRhh 2022-5-1429白噪声通过低通与带通线性系统白噪声通过低通与带通线性系统2022-5-1430wN0/20WW设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统0/2( )0YNSw0W其它0( )/2XGN2

14、0/2 0w( )( )( )0 wYXNWSHSW2022-5-1431wN0/20WW设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 0( )/2XGN01( )( )cos2YYRSd 001cos22WNd 0sin2NW 2022-5-1432wN0/20WW设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 0( )/2XGN 00012222YNN WPWN B2022-5-1433wN0/20WW设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱 输出相关时间输出相关时间 0( )/2XGN ( )

15、sin( )(0)YYYCWCW 2022-5-1434wN0/20WW设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱 0( )/2XGN Y00sin1( )24cWddWWB02)sin(dxxax0a结论：输出随机信号的相关时间与系统结论：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间宽，相关时间 越小，输出随机信号随越小，输出随机信号随时间变化时间变化(起伏起伏)越剧烈；反之，系统带越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。变化就越缓慢。 2022-5-1435wN0/2|H (

16、w)|00w0wW系统的中心频率远大于系统的带宽，系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。则称这样的系统为窄带系统。0W000/2, (w -W/2)w(w +W/2)( )0, YNSw其他白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统2022-5-14360( )/2XSN2000X/2, (w -W/2)w (w +W/2) ( )( )( )0, YNSHS其他若输入白噪声的功率谱为若输入白噪声的功率谱为则输出的功率谱为则输出的功率谱为 2022-5-1437YY01( )( )cos2RSd 00/20/21cos22WWNd 00sin/2cosNW 输出相

17、关函数为输出相关函数为 2022-5-1438输出的相关系数为输出的相关系数为0sin( )( )2( )cos(0)(0)2YYYYYWCRWCR 带通系统输出的平均功率为带通系统输出的平均功率为 00012222YNN WPWN B 带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，0sin1222cWdWWB因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致。因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致。2022-5-14392022-5-1440N维密度函数为： 21212/2110011,;,exp22nnnniiniif x xx n n

18、nf xxN BN B2022-5-1441系统的等效噪声带宽系统的等效噪声带宽2022-5-1442202000022002020201()22()1()2()111()2 2()(0)2()YNiwhNH jwdwPBN GNH jwH jwdwH jwH jwedwH jwrH jw由实值系统频率响应的偶对称性WN=2BN正好是系统功率传递函数|H(jw)|2的矩形等效带宽。2022-5-1443低通和带通系统的等效噪声带宽低通和带通系统的等效噪声带宽2022-5-1444221()1H jwwRC/1( )2t RChr teRC200,( 0)1wH j2(0)142( 0)hNrB

19、RCH j例例5.6 求求RC积分电路的等效噪声带宽。积分电路的等效噪声带宽。解：RC积分电路的功率传递函数为则因为故所求等效噪声带宽为312dBBRC331.57NdBdBBBB2022-5-1445 随机信号功率谱的物理意义：SX(w0)反映的是X(t)在w0局部的功率强度， SX(w0)对任何w0都是非负的。对于SX(w0)0的频率处，E|Y(t)|2=0，这表示X(t) 在均方意义下没有该频率分量。 SX(w)指明了X(t)有效的频率范围与各频率分布的状态信息。 互功率谱的物理意义：SXY(w) 反映了两个信号的关联性沿w轴的密度状况。如果SXY(w)0，表明它们的相应频率分量是正交的

20、。5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽 2022-5-14462022-5-1447111( )( )U tL X t222( )( )V tL Y t121212121122( , )( , )( , )*( )*( )UVXYXYRt tL LRt tRt th th t1212( , )( )*( )*()UVXYRt tRhh12( )( )()()UVXYSwSw Hjw Hjw解：2022-5-1448（1）若X(t)与Y(t)正交，RXY()=0，则 RUV()=0，即U(t)与V(t)正交。（2）若X(t)与Y(t)无关，RXY() = mXmY，则 RUV() = mXm

21、YH1(j0)H2(j0) = mXH1(j0)mYH2(j0)=mUmV 即U(t)与V(t)无关。2022-5-1449（3）若H1(jw)与H2(jw)的非零频带不重叠，即H1(jw)H2(jw) = 0, 则SUV(w) = 0，即U(t)和V(t)正交。又H1(j0)与H2(j0)中至少有一个为零，使mU与mV中至少有一个为零，因此，U(t)与V(t)也无关。（4）即使X(t)与Y(t)为同一信号，若H1(jw)与H2(jw)为不同频带的带通滤波器，U(t)和V(t)也正交且无关。结论：正交或无关的平稳信号分别经过结论：正交或无关的平稳信号分别经过LTI系统系统后仍是正交或无关的；平

22、稳信号的不同频带内的后仍是正交或无关的；平稳信号的不同频带内的分量总是彼此正交且无关的。分量总是彼此正交且无关的。2022-5-1450随机信号的带宽随机信号的带宽000001( )11(0)( )2()2 () 22 ()j weqS wRBdwS w edws wS wS w 平稳信号X(t)的（矩形）等效带宽等效带宽(Equivalent Bandwidth)定义为：对于低通信号，对于低通信号，w0 = 0；对于带通信号，；对于带通信号，w0通通常取在常取在S(w)的最大值处。的最大值处。2022-5-14511/22000()( )12( )rmswwS w dwBS w dw000(

23、 )( )wS w dwwS w dw平稳信号X(t)的均方根带宽均方根带宽(RMS Bandwidth)定义为对于低通信号，w0 = 0；对于带通信号，w0等于S(w)的重心，即2022-5-14521, ( );0, TRTT22224sin (/2)sin (/2)( )(/2)wTTwTS ww TwT01(0)1( )/22(0)2 (0)2eqRBS w dwFSST5.8 假定随机二元传输信号的取值概率假定随机二元传输信号的取值概率p=q=0.5，求信号的矩形等效带宽。求信号的矩形等效带宽。解：当p = q = 0.5时，参见例3.15。S(0)=T，故等效矩形带宽为其中，F=1

24、/T，是二元数据宽度的倒数，称为数据率。2022-5-1453匹配滤波器匹配滤波器 问题：对于有限时长的确定信号问题：对于有限时长的确定信号s(t)，通过，通过接收信号接收信号X(t)检测检测s(t)是否出现。是否出现。X(t)=x(t)+N(t)，其中，其中N(t)是白噪声，是白噪声，x(t)是是未知信号。当未知信号。当s(t)出现时，出现时，X(t)=s(t)+N(t)。解决问题的途径：设计LTI滤波器，使Y(t)=X(t)*h(t)=s(t)*h(t)+N(t)*h(t)，以便检测信号S(t)是否出现。2022-5-1454 检测信号时只关心在某时刻t0是否可由抽样值Y(t0)有效判定s(t)的存在。 设计目标：使Y(t0)中的信号与噪声之比最大化，选择合适的门限值，当Y(t0)大于该门限时，就判定Y(t)中含有s(t)。2022-5-1455202( )( )soutNy tSNE Yt22220001( )( )()()224NNNNE YtE YtH jwdwH jwdw02201( )()()2jwtsy