第8章 时间序列基本问题

1、 第二篇第二篇 时间序列数据单方程模型时间序列数据单方程模型第八章第八章 时间序列回归的一般问题时间序列回归的一般问题第九章第九章 结构型时间序列模型结构型时间序列模型第十章第十章 误差项自相关与异方差误差项自相关与异方差第八章第八章 时间序列回归的一般问题时间序列回归的一般问题n第一节第一节 时间序列回归的特殊性时间序列回归的特殊性n 随机变量在特定时间上的观测值按照先后顺序随机变量在特定时间上的观测值按照先后顺序排列而成的数据集称为时间序列数据。时间序列排列而成的数据集称为时间序列数据。时间序列用用xt表示。在不致引起混淆的情况下，还用来表表示。在不致引起混淆的情况下，还用来表示随机变量，

2、或者用来表示这个随机变量在时刻示随机变量，或者用来表示这个随机变量在时刻t的观测数据。由于时间序列数据的特殊性，使得的观测数据。由于时间序列数据的特殊性，使得时间序列回归与横截面数据回归相比有很大不同。时间序列回归与横截面数据回归相比有很大不同。 一、随机过程一、随机过程n横截面数据横截面数据:样本是从总体中产生样本是从总体中产生n时间序列数据：由相应随机过程产生时间序列数据：由相应随机过程产生n自然界中事物变化的过程可以分成两类：自然界中事物变化的过程可以分成两类：n1.确定型过程。可以用关于时间确定型过程。可以用关于时间t的函数描述的过程。的函数描述的过程。n例：真空中的自由落体运动过程。

3、例：真空中的自由落体运动过程。n2.随机过程（非确定型过程）。不能用一个（或几个）关随机过程（非确定型过程）。不能用一个（或几个）关于时间于时间t的确定性函数准确描述的过程。对同一事物的变的确定性函数准确描述的过程。对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。的。n例：河流水位的测量为例。例：河流水位的测量为例。n一组时间序列数据，相当于对应随机过程的一次一组时间序列数据，相当于对应随机过程的一次实现。（类似横截面数据中总体和样本的关系）实现。（类似横截面数据中总体和样本的关系）n例如，某市日电力消耗量是一个随机变量，以

4、年例如，某市日电力消耗量是一个随机变量，以年为单位的日电力消耗量是一个随机过程（相当于为单位的日电力消耗量是一个随机过程（相当于未知总体）。而特定年份实际观测值序列就是一未知总体）。而特定年份实际观测值序列就是一个时间序列（相当于样本）。个时间序列（相当于样本）。n随机过程是生成时间序列数据的内在机制，故又随机过程是生成时间序列数据的内在机制，故又被称为数据生成过程（被称为数据生成过程（DGP）。）。n实际的生成时间序列的随机过程永远是未知的。实际的生成时间序列的随机过程永远是未知的。外面的任务之一就是通过观察到的时间序列对其外面的任务之一就是通过观察到的时间序列对其数据生成过程的某些特征进行

5、推断或估计（类似数据生成过程的某些特征进行推断或估计（类似于横截面回归中通过样本推断总体）。于横截面回归中通过样本推断总体）。 二、常用术语二、常用术语 n（一）滞后（一）滞后nx的当期观测值记为的当期观测值记为xt，它的过去观测值（或前期，它的过去观测值（或前期观测值）观测值） 称为滞后值，前一期值称为一阶滞后值，称为滞后值，前一期值称为一阶滞后值，记为记为xt-1，以此类推，前第，以此类推，前第j期值称为期值称为j阶滞后值，阶滞后值，记为记为 。在回归模型中。在回归模型中xt-j 叫做叫做x的滞后变量（或滞的滞后变量（或滞后项）。后项）。n定义定义 n其中，其中，L称为滞后算子。如称为滞后

6、算子。如 jttjL xx212ttttLxxL xx；（二）差分（二）差分n随机变量的当期值与其滞后值相减的运算叫差分。随机变量的当期值与其滞后值相减的运算叫差分。数值之间的间隔期数称为差分阶数，差分运算的数值之间的间隔期数称为差分阶数，差分运算的次数称为差分次数。次数称为差分次数。n一阶一次差分一阶一次差分 ：n二阶一次差分二阶一次差分 ：nk阶一次差分阶一次差分 ：n高次差分是对差分序列的再差分高次差分是对差分序列的再差分 。n一阶二次差分一阶二次差分 ：1(1)ttt -ttt xx - x = - L x = x - Lx 2222(1)ttt -ttt xx - x = - L x

7、 = x - L x (1)kkkttt kttt xxx L xxL x2111212()()2ttt -ttttttt xx - x = xx xx xxx 222212(1)(1 2)22ttttttttt xL x L L x xLxLxxxx（三）自协方差（三）自协方差n自协方差度量随机变量在两个不同时期的观测值自协方差度量随机变量在两个不同时期的观测值之间关联的方向和程度。定义为时间序列滞后期之间关联的方向和程度。定义为时间序列滞后期的自协方差：的自协方差：n显然时间序列滞后显然时间序列滞后0期的自协方差就是方差：期的自协方差就是方差：n与两个随机变量的协方差一样，自协方差的正负与

8、两个随机变量的协方差一样，自协方差的正负符号和绝对值大小反映了同一个随机变量不同时符号和绝对值大小反映了同一个随机变量不同时期取值的关联方向和程度。期取值的关联方向和程度。cov(,)()( )kt ktt kt kttxxE xE xxE x20var()()tttxE xE x（四）自相关函数（四）自相关函数n自协方差绝对值大小没有确定的上下界，不方便自协方差绝对值大小没有确定的上下界，不方便使用。为了将自协方差标准化为一个使用。为了将自协方差标准化为一个-1，+1之之间的有界函数，我们引入自相关函数：间的有界函数，我们引入自相关函数： n自相关函数的取值范围与横截面数据的相关系数自相关函

9、数的取值范围与横截面数据的相关系数解释完全相同。解释完全相同。00cov( ,)var( )var()()()tt kkktt ktt kx xxxyy（五）自回归（五）自回归np阶自回归序列阶自回归序列AR(p) ： n随机扰动项是相互独立的平稳序列，均值独立于随机扰动项是相互独立的平稳序列，均值独立于滞后变量：滞后变量：n使用滞后算子，使用滞后算子， AR(p)可表示为可表示为 11220tttptptyyyyu12(|,)0tttt pE u yyy212PtttpttyLyL yL yu212(1)PpttLLLyunAR(p)的特征方程：的特征方程：n最简单的自回归方程是没有常数项的

10、最简单的自回归方程是没有常数项的AR(1)： 11tttyyu212( )10ppLLLL 三、时间序列回归的特殊性三、时间序列回归的特殊性n（一）侧重于预测（一）侧重于预测n时间序列回归分析与横截面回归分析的侧重点有时间序列回归分析与横截面回归分析的侧重点有所区别。横截面回归分析大多数采用结构模型所区别。横截面回归分析大多数采用结构模型（即因果模型），关注的是解释变量对被解释变（即因果模型），关注的是解释变量对被解释变量条件均值的效应，预测问题不是主要问题；时量条件均值的效应，预测问题不是主要问题；时间序列回归分析重点考察变量之间的长期均衡和间序列回归分析重点考察变量之间的长期均衡和短期调整

11、问题，预测是其应用的重点，结构分析短期调整问题，预测是其应用的重点，结构分析的重要性倒在其次。由于研究侧重点不同，所以的重要性倒在其次。由于研究侧重点不同，所以除了结构模型之外，时间序列回归还经常采用非除了结构模型之外，时间序列回归还经常采用非结构性模型或动态模型。结构性模型或动态模型。（二）（二）“伪回归伪回归”问题问题n所谓所谓“伪回归伪回归”（ “虚假回归虚假回归”），是指变量间），是指变量间本来不存在系统性的数量依存关系，但回归结果本来不存在系统性的数量依存关系，但回归结果却得出存在系统性关系的错误结论的现象。伪回却得出存在系统性关系的错误结论的现象。伪回归与时间序列的特性有关：归与时

12、间序列的特性有关：n1. 确定性时间趋势（或季节变化）：确定性时间趋势（或季节变化）：“第一种类第一种类型的伪回归型的伪回归” （遗漏时间或季节变量造成）。（遗漏时间或季节变量造成）。n2. 非平稳或高度持久：非平稳或高度持久：“第二种类型的伪回归第二种类型的伪回归”。 大数定律和中心极限定理前提不存在，大数定律和中心极限定理前提不存在，OLSE的的大样本性质（如一致性、渐进正态性）不能成立。大样本性质（如一致性、渐进正态性）不能成立。假设检验往往作出与事实不符的推断，得到误导假设检验往往作出与事实不符的推断，得到误导性的结论。性的结论。（三）往往需要进行数据预处理（三）往往需要进行数据预处理

13、n1.去除趋势（对确定性时间趋势序列）、差分去除趋势（对确定性时间趋势序列）、差分（对非平稳或是高度持久序列）等预处理，使得（对非平稳或是高度持久序列）等预处理，使得数据具有平稳性和遍历性。数据具有平稳性和遍历性。n2. 对数化（增长率）。定义：对数化（增长率）。定义：n增长率（报告期数值基期数值）增长率（报告期数值基期数值）/基期数值基期数值n往往用相邻两期数值对数差近似地反映增长率：往往用相邻两期数值对数差近似地反映增长率： n在经济生活中，不同变量的增长率之间存在稳定在经济生活中，不同变量的增长率之间存在稳定关系的可能性远远大于绝对量之间存在稳定的关关系的可能性远远大于绝对量之间存在稳定

14、的关系的可能性。系的可能性。1111lnlnlnln(/)ttttttttyyyyyyyy 第二节第二节 时间序列回归时间序列回归OLSE 的统计性质及其假定的统计性质及其假定n在横截面回归分析中，我们讨论了在什么样的条件下，最在横截面回归分析中，我们讨论了在什么样的条件下，最小二乘估计量（小二乘估计量（OLSE）才具有我们期望的有限样本性质）才具有我们期望的有限样本性质（如无偏性、有效性）；具有我们期望的渐进性质（如一（如无偏性、有效性）；具有我们期望的渐进性质（如一致性、渐进正态性、渐进有效性）。在时间序列回归中，致性、渐进正态性、渐进有效性）。在时间序列回归中，也是如此。但由于时间序列数

15、据的特殊性，保证这些性质也是如此。但由于时间序列数据的特殊性，保证这些性质成立的某些条件可能有所变化。成立的某些条件可能有所变化。n本节将要讨论在时间序列条件下，为保证本节将要讨论在时间序列条件下，为保证OLSE也具有我也具有我们期望的统计性质，如何对回归模型进行合理假定的问题。们期望的统计性质，如何对回归模型进行合理假定的问题。一、时间序列条件下一、时间序列条件下OLSE的有限样本性质及的有限样本性质及其假定其假定n与横截面数据多元线性回归模型类似，一般化的与横截面数据多元线性回归模型类似，一般化的时间序列回归模型形式如下：时间序列回归模型形式如下：n n其中，其中，y是被解释变量是被解释变

16、量nx是解释变量（可以是外生变量，也可以是是解释变量（可以是外生变量，也可以是y的滞的滞后变量）后变量）nu是随机干扰项，是随机干扰项，t是观测时期。是观测时期。n 01 122.tttkkttttyxxxuuX 1 ,2 ,(1,.,)Xtttktx xx012(,.,)k= n根据给定的时间序列数据，运用根据给定的时间序列数据，运用OLS（与横截面（与横截面回归相同），可以得到回归系数回归相同），可以得到回归系数OLSE：n n表明表明OLSE是是Y（或（或u）的一个线性函数。我们希）的一个线性函数。我们希望在时间序列条件下，线性估计量望在时间序列条件下，线性估计量OLSE也具有也具有无偏

17、性、有效性和正态性的有限样本性质。无偏性、有效性和正态性的有限样本性质。-1) XXXY 121TTyyyy112111222212(1)111kkTTkTTkxxxxxxxxxX01(1) 1kk n（一）（一）OLSE的无偏性的假定条件的无偏性的假定条件n 是一个随机变量，但对于所有样本，是一个随机变量，但对于所有样本， 。n为了保证为了保证OLSE的无偏性，我们需要如下三个假的无偏性，我们需要如下三个假定：定：n假定假定TS.1：参数线性假定：参数线性假定n即变量之间具有线性关系：即变量之间具有线性关系：n这个假定与横截面回归的第一个假定本质上相同。这个假定与横截面回归的第一个假定本质上

18、相同。由于我们只在预设的线性模型下讨论，所以这个由于我们只在预设的线性模型下讨论，所以这个条件自然满足。注意的是，该假定没有对模型中条件自然满足。注意的是，该假定没有对模型中的变量是否是线性形式作出假定。的变量是否是线性形式作出假定。 01 122.Xtttkkttttyxxxuu n假定假定TS.2： 随机项零条件均值假定（或解释变量随机项零条件均值假定（或解释变量严格外生假定）严格外生假定）n即当所有时期的解释变量给定时，有即当所有时期的解释变量给定时，有n n隐含了以下两个假定：隐含了以下两个假定：n解释变量解释变量x严格外生严格外生n随机项的条件均值等于随机项的无条件均值，表随机项的条

19、件均值等于随机项的无条件均值，表明不仅均值独立于同期的明不仅均值独立于同期的x，而且均值独立于以前，而且均值独立于以前时期和以后时期的时期和以后时期的x，所以这个假定也称为，所以这个假定也称为x的严的严格外生假定。格外生假定。(|)= (|,)= ( )=0,1,2,.,XXX Xttt-itt+itE uE uE utTn这个假定排除了这个假定排除了u（实际上是（实际上是y）对）对x的反馈效应。的反馈效应。例如，我们有模型：例如，我们有模型：n当年粮食产量当年粮食产量f（当年降水量，当年化肥投入）（当年降水量，当年化肥投入） +随机干扰项随机干扰项n降水量：严格外生。降水量：严格外生。n化肥

20、投入：不严格外生。化肥投入：不严格外生。n更为严格的假定：对于静态模型和有限分布滞后更为严格的假定：对于静态模型和有限分布滞后模型，假定解释变量是非随机变量，或不同实现模型，假定解释变量是非随机变量，或不同实现（抽样）中保持固定取值。（抽样）中保持固定取值。n但这一假定距离现实更远。而假定但这一假定距离现实更远。而假定TS.2在承认在承认x随随机性的特点的同时，又假定机性的特点的同时，又假定u均值独立于均值独立于x，使二，使二者对者对y的影响可以分离开来，相对而言更加宽松和的影响可以分离开来，相对而言更加宽松和符合实际一些。符合实际一些。n2.模型设定正确模型设定正确n随机项随机项u具有零条件

21、均值，表明模型函数形式设具有零条件均值，表明模型函数形式设定正确，即没有模型设定偏误。而且没有变量遗定正确，即没有模型设定偏误。而且没有变量遗漏问题，解释变量也不存在系统的测量误差。漏问题，解释变量也不存在系统的测量误差。n假定假定TS.3：无多重共线性假定：无多重共线性假定n n这个假定保证了模型参数可以通过样本估计出来，这个假定保证了模型参数可以通过样本估计出来，并保证一定的估计精度。并保证一定的估计精度。n在上述三个假定成立的条件下，在上述三个假定成立的条件下，OLSE是总体参是总体参数的线性无偏估计量。其证明过程与横截面数据数的线性无偏估计量。其证明过程与横截面数据回归完全一样，在此从

22、略。回归完全一样，在此从略。1,2,rank()rank(1,.,)1kkT XX XXn比较：放弃了横截面数据回归的随机抽样假定，比较：放弃了横截面数据回归的随机抽样假定，代之以解释变量的严格外生假定（包含在假定代之以解释变量的严格外生假定（包含在假定TS.2中）。这是一个关键假定。中）。这是一个关键假定。n（二）（二）OLSE有效性的假定条件有效性的假定条件n对于参数任意的线性无偏估计量对于参数任意的线性无偏估计量 ，有，有n这意味着高斯马尔科夫定理在时间序列下成立。这意味着高斯马尔科夫定理在时间序列下成立。n要保证要保证OLSE有效性，需要在前三个假定的基础有效性，需要在前三个假定的基础

23、上，再增加两个假定：上，再增加两个假定：n假定假定TS.4：同方差假定：同方差假定n给定给定X,随机误差项的条件方差在所有的随机误差项的条件方差在所有的t上都相等：上都相等：var(var( 2var( |)=var()=,1,2,XttuutTn这个假定意味着：这个假定意味着：n1. 不能依赖条件不能依赖条件Xt。否则条件异方。否则条件异方差差n2.在所有时期都是恒定的在所有时期都是恒定的ut是产生自平稳过程。是产生自平稳过程。n同方差假定与横截面回归类似。当然，时间序列同方差假定与横截面回归类似。当然，时间序列回归还包括动态异方差的情况。回归还包括动态异方差的情况。n假定假定TS.5：无序

24、列相关假定：无序列相关假定n给定有关时期的自变量给定有关时期的自变量,任何两个不同时期随机误任何两个不同时期随机误差项不相关：差项不相关：var( |)Xtucov(|,)(|,)0,tstststsu uE u uts,X XX Xn忽略它是以为条件的，假定忽略它是以为条件的，假定TS.5变为：变为：n否则，随机误差项之间存在序列相关或自相关。否则，随机误差项之间存在序列相关或自相关。（时间序列回归中特有的问题）。（时间序列回归中特有的问题）。n在假定在假定TS.1-假定假定TS.5成立的条件下，成立的条件下，OLSE的条的条件方差为件方差为n n我们可以证明，均方误差（即残差的方差）是我们

25、可以证明，均方误差（即残差的方差）是 的无偏估计：的无偏估计：cov()=0,tsu ,uts21222var(|,0,1,2,.,() (1)ujjjujijjjkxxR)=()XXX2211tueRSSTkTk2n在假定在假定TS.1-假定假定TS.5成立的条件下，高斯马尔成立的条件下，高斯马尔科夫定理在时间序列回归中也成立。说明在此时，科夫定理在时间序列回归中也成立。说明在此时，截面截面OLS方法同样适用于时间序列回归。方法同样适用于时间序列回归。n（三）（三）OLSE正态性的假定条件正态性的假定条件n由于由于OLSE是是y的线性函数，从而是的线性函数，从而是u的线性函数，的线性函数，所

26、以只要假定所以只要假定u服从正态分布，就能保证参数的服从正态分布，就能保证参数的OLSE的正态性。的正态性。n假定假定TS.6：正态性假定：正态性假定n n假定假定TS.6包含了假定包含了假定2（零条件均值）、假定（零条件均值）、假定TS.4（同方差）和假定（同方差）和假定TS.5（无序列相关）。除此之（无序列相关）。除此之外，它还假定了条件分布的正态性。外，它还假定了条件分布的正态性。 2| . . .(0,)Xtuii d Nn假定假定TS.1-假定假定TS.6称为时间序列的经典假定。称为时间序列的经典假定。n在经典假定下，给定在经典假定下，给定X，参数的，参数的OLSE遵循正态分遵循正态

27、分布，而且，在原假设下，布，而且，在原假设下，t、F、x2等统计量分别等统计量分别服从常规的服从常规的t分布，分布，F分布和分布和x2分布，类似横截面分布，类似横截面数据回归中的参数检验方法和置信区间构造方法数据回归中的参数检验方法和置信区间构造方法都是有效的。都是有效的。n这一个结论意味着，在假定这一个结论意味着，在假定TS.1-假定假定TS.6下，横下，横截面回归方法全部可以用到时间序列的回归，经截面回归方法全部可以用到时间序列的回归，经典线性模型方法可以用于时间序列数据的建模。典线性模型方法可以用于时间序列数据的建模。n但经典线性模型方法用于时间序列数据的建模，但经典线性模型方法用于时间

28、序列数据的建模，比在横截面数据条件下受到更多限制，尤其是严比在横截面数据条件下受到更多限制，尤其是严格外生性假定和无序列相关假定经常都得不到满格外生性假定和无序列相关假定经常都得不到满足。尽管如此，经典线性模型方法对于时间序列足。尽管如此，经典线性模型方法对于时间序列建模实践而言，仍不失为一个合理的起点。建模实践而言，仍不失为一个合理的起点。二、二、OLSE的渐进性质成立的假定条件的渐进性质成立的假定条件n如前所述，保证如前所述，保证OLSE具有良好有限样本性质的具有良好有限样本性质的假定条件比较严苛，尤其是严格外生性假定和无假定条件比较严苛，尤其是严格外生性假定和无序列相关假定经常都得不到满

29、足，从而导致序列相关假定经常都得不到满足，从而导致OLSE的部分或全部优良性质不再具备。在这种的部分或全部优良性质不再具备。在这种情况下，我们转而求助于情况下，我们转而求助于OLSE的渐进性质，即的渐进性质，即在样本规模在样本规模T渐次增大的情况下，我们希望渐次增大的情况下，我们希望OLSE具有期望的良好性质，如一致性、渐进正态性和具有期望的良好性质，如一致性、渐进正态性和渐进有效性。保证渐进有效性。保证OLSE的渐进性质存在也需要的渐进性质存在也需要某些条件，但要比有限样本下的条件宽松。某些条件，但要比有限样本下的条件宽松。n（一）一致性及其假定条件（一）一致性及其假定条件n如果将时间序列的

30、观测时期数为时总体参数的如果将时间序列的观测时期数为时总体参数的OLSE记为记为 ，所一致性指，所一致性指n ，或，或n可以证明，可以证明， 是是的一致估计量，当且仅当的一致估计量，当且仅当n因此，一致估计量一定是渐近无偏的，并且在真因此，一致估计量一定是渐近无偏的，并且在真实值附近离散的程度随观测时期（样本容量）的实值附近离散的程度随观测时期（样本容量）的增大逐渐趋于增大逐渐趋于0。T lim1TTPlimTTPT lim()TPE limvar()0TP n以一元线性回归模型为例，一致估计量的前提。以一元线性回归模型为例，一致估计量的前提。n不管数据具有何种特征，对不管数据具有何种特征，对

31、n应用应用OLS，参数的估计量都是，参数的估计量都是01tttyxu1122()()()()()()()tttttttxxyyxxxxuuxxxx*11122* 2()()()()()()tttttttttxx uuxx ux uxxxxx*()ttxxxn我们分下列二种情况进行讨论。我们分下列二种情况进行讨论。n1.如果如果x是非随机变量，或在重复观测（抽样）是非随机变量，或在重复观测（抽样）中取固定的值，中取固定的值，nx是随机变量，但满足假定是随机变量，但满足假定TS.2，即，即x严格外生严格外生（u均值独立于均值独立于x），则都有），则都有n n所以，所以， ，即，即OLSE是无偏的。

32、是无偏的。112()()tttx uEEx*2*2()0()()ttttttx uxEE uxx 11()E*()( )ttttE x ux E un2. x是随机变量，不满足假定是随机变量，不满足假定TS.2，但与，但与u同期无同期无线性相关关系，即线性相关关系，即 意味着意味着 不再有不再有n即即OLSE是有偏的。但在大样本下，如果满足一是有偏的。但在大样本下，如果满足一定的前提条件，定的前提条件， 是是 的一致估计量的一致估计量n *cov( ,)()0ttttx uE x u*()()ttttE x ux E u*20()tttx uEx*()ttx uTcov( ,)ttx u*()

33、limcov(,)0ttttTx uPx uT两边求概率极限，有两边求概率极限，有11covvartttxux（, ）（ ）*111* 2* 2lim(/ )limlim()( )lim( ( ) / )ttttTTTttTPx u Tx uPPxPxTn即在大样本下，即使假定即在大样本下，即使假定TS.2不能满足，只要不能满足，只要与同期线性无关，在一定的前提条件下，仍然与同期线性无关，在一定的前提条件下，仍然可以获得一致估计量：随着样本容量增加，可以获得一致估计量：随着样本容量增加， 逐渐逼近真实的总体参数逐渐逼近真实的总体参数。这时，尽管。这时，尽管OLSE是有偏的，但一致性保证了是有偏

34、的，但一致性保证了OLSE在大在大样本下的估计精度。样本下的估计精度。n现在重点讨论与同期不相关时保证一致性成立现在重点讨论与同期不相关时保证一致性成立的前提条件。的前提条件。n横截面数据回归中，横截面数据回归中，OLSE具有一致性的大样具有一致性的大样本性质是基于大数定律和中心极限定理推导出本性质是基于大数定律和中心极限定理推导出来的，而应用大数定律和中心极限定理要求样来的，而应用大数定律和中心极限定理要求样本观测值是独立同分布（本观测值是独立同分布（i.i.d.）的。）的。n但对于时间序列而言，假定相邻观测值独立不太但对于时间序列而言，假定相邻观测值独立不太合理；作为随机过程的一个实现，也

35、不能将时间合理；作为随机过程的一个实现，也不能将时间序列如同横截面数据一样是看作来源于一个同质序列如同横截面数据一样是看作来源于一个同质总体。所以大数定律和中心极限定理成立的条件总体。所以大数定律和中心极限定理成立的条件相应变为：相应变为：n1.遍历性。如果时间间隔遍历性。如果时间间隔 时时, 与与 是渐进独立的，则称序列是遍历是渐进独立的，则称序列是遍历的。此时序列不存在长期记忆性，间隔较长的观的。此时序列不存在长期记忆性，间隔较长的观测值近乎独立，也称为测值近乎独立，也称为“渐进独立渐进独立”或或 “弱相弱相依依”；2.平稳性。即为了保证观测的平稳性。即为了保证观测的“同分布同分布”性，要

36、求性，要求时间序列数据产生于一个平稳随机过程。时间序列数据产生于一个平稳随机过程。 “遍历性遍历性”和和“平稳性平稳性”代替了横截面条件下的代替了横截面条件下的样本观测值的样本观测值的“独立同分布独立同分布”假定，是时间序列假定，是时间序列回归中回归中OLSE具有一致性的前提条件。具有一致性的前提条件。m ,.,ttkxx+,.,tmtkmxx+n综上所述，要保证综上所述，要保证OLSE的一致性，全部假定条的一致性，全部假定条件为：件为：n假定假定TS.1：参数线性假定（同假定：参数线性假定（同假定TS.1.）n假定假定TS.2： 随机项零条件均值假定随机项零条件均值假定(或或x外生性假外生性

37、假定定) 弱于假定弱于假定TS.2 n假定假定TS.3：遍历性、平稳性假定：遍历性、平稳性假定n（1）遍历性：在）遍历性：在s较大时，观测值近乎独立；较大时，观测值近乎独立；用于代替横截面数据回归中的随机抽样用于代替横截面数据回归中的随机抽样n（2）平稳性：产生时间序列的随机过程是平稳的，）平稳性：产生时间序列的随机过程是平稳的，即具有平稳分布代替同分布即具有平稳分布代替同分布n假定假定TS.4：无多重共线性假定（同假定：无多重共线性假定（同假定TS.3.）。）。n（二）渐进正态性及其假定条件（二）渐进正态性及其假定条件n假定假定TS.5：同方差性假定：同方差性假定n对于任意的对于任意的t，u

38、有相同的条件方差，即有相同的条件方差，即n n 这个假定只给出了本期解释变量的条件，弱于经这个假定只给出了本期解释变量的条件，弱于经典线性模型下的假定典线性模型下的假定TS.4（以（以X所有时期的观测所有时期的观测值为条件）。值为条件）。n假定假定TS.6：无序列相关性假定：无序列相关性假定n对于所有的对于所有的 ，n n弱于假定弱于假定TS.5 2var(|)Xttutscov( ,|,)(|,)0XXXXtstststsu uE u un在大样本下，如果时间序列满足假定在大样本下，如果时间序列满足假定TS.1-假定假定TS.6（尤其是满足假定（尤其是满足假定TS.3的弱相依和平稳性假的弱相

39、依和平稳性假定），按照中心极限定理，不管随机项是否服从定），按照中心极限定理，不管随机项是否服从正态分布，正态分布，OLSE具有渐进正态性，通常的具有渐进正态性，通常的t、F和和X2推断程序也是渐进生效的。这就为推断程序也是渐进生效的。这就为OLS在时在时间序列回归中的应用提供了理论依据。间序列回归中的应用提供了理论依据。n（三）渐进有效性及其假定条件（三）渐进有效性及其假定条件n可以证明：在大样本下，如果时间序列满足假定可以证明：在大样本下，如果时间序列满足假定TS.1-假定假定TS.6，最小二乘估计量（，最小二乘估计量（OLSE）具有）具有最小的渐进方差，最小的渐进方差，OLSE具有渐进有

40、效性。具有渐进有效性。有限样本有限样本大样本大样本假定假定统计性质统计性质假定假定统计性质统计性质TS.1：参数线：参数线性性无无有有正正TS. 1参数线性参数线性一一 渐渐 渐渐TS.2：解释变：解释变量严格外生量严格外生偏偏效效态态TS. 2解释变量外解释变量外生生致致 进进 进进TS.3：无多重：无多重共线性共线性性性性性性性TS.3：遍历性、：遍历性、平稳性平稳性性性 有有 正正TS.4：同方差：同方差假定假定TS.4：无多重共：无多重共线性线性 效效 态态TS.5：无序列：无序列相关相关 TS.5：同方差：同方差性性 性性TS.6：正态性：正态性TS.6：无序列相：无序列相关关 第三

41、节第三节 时间序列的平稳性时间序列的平稳性n时间序列的非平稳性是导致伪回归的重要原因，时间序列的非平稳性是导致伪回归的重要原因，而参数估计量的一致性需要以平稳性为前提，所而参数估计量的一致性需要以平稳性为前提，所以平稳性对时间序列回归至关重要。只有经济变以平稳性对时间序列回归至关重要。只有经济变量的时间序列是平稳的，才可以使用经典线性回量的时间序列是平稳的，才可以使用经典线性回归模型方法。如果经济变量时间序列是非平稳的，归模型方法。如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法，否则做出的统计推断则需要寻找新的处理方法，否则做出的统计推断很可能是误导性的。很可能是误导性的。n一、时间序

42、列的平稳性一、时间序列的平稳性n时间序列的平稳性（时间序列的平稳性（Stationary），严格地说应该），严格地说应该称为产生时间序列的随机过程的平稳性，是指生称为产生时间序列的随机过程的平稳性，是指生成变量时间序列数据的随机过程的统计规律不会成变量时间序列数据的随机过程的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。随着时间的推移而发生变化。 n从理论上，有两种意义的平稳性，严平稳、弱平从理论上，有两种意义的平稳性，严平稳、弱平稳。严平稳是指随机过程的联合分布函数与时间稳。严平稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位移无关。的位移无关。n弱平稳（协方差平稳）是指随机过程的分布参数弱平稳（协方差平稳）

43、是指随机过程的分布参数期望、方差和自协方差不随时间推移而变化。即期望、方差和自协方差不随时间推移而变化。即满足如下三个条件：满足如下三个条件： n产生于平稳随机过程的时间序列是平稳时间序列。产生于平稳随机过程的时间序列是平稳时间序列。 ( )tE x22var()()ttxE xcov( ,)()()tt ktt kkx xE xxn一个最基本的协方差平稳随机过程是白噪声一个最基本的协方差平稳随机过程是白噪声（White Noise，简写为，简写为WN）过程：）过程： n ytutn其中，其中，E(yt )0n记为记为n显然，给定任意的时刻显然，给定任意的时刻t，y具有相同的均值与方具有相同的

44、均值与方差，且任意阶的自协方差为零，满足协方差平稳差，且任意阶的自协方差为零，满足协方差平稳性条件。如果性条件。如果yt 同时还服从正态分布，则被称同时还服从正态分布，则被称为高斯白噪声过程，是一个独立同分布（为高斯白噪声过程，是一个独立同分布（i.i.d.）的协方差平稳过程，记为的协方差平稳过程，记为 2var()tycov(,)0tt ky y2(0,)tyWN2(0,)tyi.i.d.N-3-2-1012320406080100120140160180200white noisen平稳性对于时间序列分析的直观意义在于，只有平稳性对于时间序列分析的直观意义在于，只有生成时间序列的随机过程是

45、平稳的，我们才能使生成时间序列的随机过程是平稳的，我们才能使用过去的事实（规律）推断未来。然而，在现实用过去的事实（规律）推断未来。然而，在现实经济生活中，许多时间序列是非平稳的。非平稳经济生活中，许多时间序列是非平稳的。非平稳性有两个来源：趋势（性有两个来源：趋势（Trend）和结构突变）和结构突变（Structural Breaks）。）。n二、时间序列的非平稳性来源之一：趋势二、时间序列的非平稳性来源之一：趋势n时间序列的趋势包括确定性趋势和随机趋势。尽时间序列的趋势包括确定性趋势和随机趋势。尽管在样本容量管在样本容量T较小时，二者具有类似的动态路较小时，二者具有类似的动态路径，但二者的

46、概率性质完全不同。径，但二者的概率性质完全不同。（一）确定性趋势（一）确定性趋势n含有确定性趋势的非平稳随机过程是非平稳的。含有确定性趋势的非平稳随机过程是非平稳的。例如对于最简单的确定性趋势模型例如对于最简单的确定性趋势模型n可见，尽管其方差和自协方差是常数，但均值是可见，尽管其方差和自协方差是常数，但均值是时间时间t的线性函数。由于趋势平稳过程的均值不是的线性函数。由于趋势平稳过程的均值不是常数，所以趋势平稳过程是不平稳的。常数，所以趋势平稳过程是不平稳的。01ttytu2(0,)tuNW201; var(); c()0)ov(,tt ktttyyyE yn由于围绕其均值以固定的幅度波动，

47、所以称为趋由于围绕其均值以固定的幅度波动，所以称为趋势平稳过程。当然，确定性趋势也可以是其他形势平稳过程。当然，确定性趋势也可以是其他形式的，如式的，如n但所有的趋势平稳过程都可以通过去除趋势达到但所有的趋势平稳过程都可以通过去除趋势达到平稳。例如，从直线模型去除其趋势成分，只剩平稳。例如，从直线模型去除其趋势成分，只剩下白噪声过程，自然是平稳的。下白噪声过程，自然是平稳的。n当然，对于直线模型也可以进行差分运算使其平当然，对于直线模型也可以进行差分运算使其平稳化，但对非线性趋势无效。所以，差分处理对稳化，但对非线性趋势无效。所以，差分处理对于趋势平稳过程的平稳化不具有一般性意义。于趋势平稳过

48、程的平稳化不具有一般性意义。230123ttytttun（二）随机趋势（二）随机趋势n比确定性趋势过程更为常见的是随机趋势过程。比确定性趋势过程更为常见的是随机趋势过程。一个最简单的随机趋势过程是随机游走过程：一个最简单的随机趋势过程是随机游走过程：n给定给定yt的初值为的初值为y0 ，则易知，则易知（自相关系数是两个无穷大量的比值（自相关系数是两个无穷大量的比值 ,没有定义没有定义 。）。）01201ttthhyyuuuyu0()tE yy2var()tyt211,| (0,)tttttyyuu yNW8085909510010511050100150200250300JPYn另一种常见的随

49、机趋势过程是带漂移项的随机游另一种常见的随机趋势过程是带漂移项的随机游走过程走过程 :n由于通过差分运算可以去除上述过程中的随机趋由于通过差分运算可以去除上述过程中的随机趋势，所以含有随机趋势的随机过程称为差分平稳势，所以含有随机趋势的随机过程称为差分平稳过程。过程。 211,|(0,)tttttNWyyuuy01201ttthhyytuuuytu20()var()ttE yytyt04080120160200240020406080100120140TYY vs. Tn还有一种不太常见的随机趋势过程是带漂移项和还有一种不太常见的随机趋势过程是带漂移项和确定性趋势的随机游走过程确定性趋势的随机游走过程 :n差分后，再去除确定性趋势，也符合协方差平稳差分后，再去除确定性趋势，也符合协方差平稳的条件的条件 211,|(0,)tttttytyuuyNW01201201(12)()(1) 2 ()22ttthhthhyyttuuut tytuyttu-100001000200030004000020406080100120140TYY vs. Tn因为上述三