刚体的平面运动习题解

1、21第八章 刚体的平面运动习题解习题 8-18-1椭圆规尺 AE 由曲柄 OC 带动，曲柄以匀角速度 3。绕O轴匀速转动。如 OC =BC = AC= f,并取 C为基点，求椭圆规尺 AE 的平面运动方程。解：椭圆规尺 AB 的平面运动方程为:Xc= r cos = r cos，otyc= r sin = r sin0t-0t（顺时针转为负）。习题 8-28-2半径为 f的齿轮由曲柄 OA带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动。如曲柄 OA 以匀加 速度 a 绕 O轴转动，且当运动开始时，角速度 30= 0,转角$ =0,求动齿轮以中心 A为基点的平面运动方程。解：d - =OLdtd -：dt

2、- - t C!0 = :0 c1Ci= 0dtd = :tdtC20丄02C22I2XA=(R r)cos=(R r)cos：tyA=(R r)si n= (R r) si n2VA二OA = (R r) ut二rA-Adtd:t dt2r02C3C3=02r:t2故, 动齿轮以中心A为基点的平面运动方程为:XA=(R r) cos:t2:t2=(R r)sin2口：t22r习题 8-38-3试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。T TVA，VB求证: 1 -VC(VAVB)2证明：已知：如图所示，AC二CB，3 111VC= VAVCA= VA

3、AB，AB= VA(VB- VA)(VA VB)。本题得证。222习题 8-48-4 两平行条沿相同的方向运动， 速度大小不同： v!=6m/s,V2=2m/s。 齿 条之间夹有一半径 f = 0 .5.5m的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。解：运动分析如图所示。其中，I I 为速度瞬心。Vo-20.56 -2一1 v- 4 2 = 4(m/s)(齿轮中心 O O 的速度，方向如图所示。)2AI 61 6 -2AI =1.5(m)齿轮的角速度为:v164(rad / s)AI1.5习题 8-58-5用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设 EE/CD，轮轴的转速n=10r

4、/min,r = 5 0mm,R=15 0mm，试求圆管上升的速度。解:2 3.14 10=1.047(rad / s)60vE二R =150 1.047 =157.05(mm/s)(向上)T T T TVB二 VAVBA二 VAABTV12n606m/ sI4vD= r = 50 1.047 =52.35(mm/s)(向下)钢管作平面运动，其中心的速度(习题8 8- 3 3 结论)为：1v0(157.05 52.35) = 52.35(mm/s)(方向：向上。)2习题 8-68-6两刚体 M,N 用铰 C 连结，作平面平行运动。已知 AC = BC= 6 0 0 mm，在图示位置，vA=20

5、0mm/s, vB=100mm/s，方向如图所示。试求 C点的速度。解：TT TVC= VB VCBTTVBBC VCBC0 = VexvAcos30 = -vcycos30vcy= -vA= 200(mm/ s)VC=Vcy=-200mm/s(方向沿着负y轴方向) 习题 8-78-7题 8-8- 6中若 vB与 BC 的夹角为 6 0,其它条件相同，试求 C 点的速度。1VATVDVCx -0T T TfTVAAC- VCAC5解：运动分析如图所示。T T TVC -VB VCBTTVBBC= VCBCvBcos60=vCxvCx=100 0.5 =50(mm/s)T T TVC=VAVCA

6、TTVAAC=VCACvAcos30= -vcycos30vcxcos60200 0.866二-vcy0.86650 0.5173.2 - -vcy0.8662525 -173.2vcy171.13(mm/ s)cy0.866TVBBxyVcVcx2Vcy2502(-171.13)2=178.29(mm/s)Vcx二arccosVc0二arccos73.71178.29习题 8-88-8杆 OE以 co = 2rad/s的匀角速度绕 O转动，并带动杆 AD;杆 AD 上的 A点沿水平轴 Ox运动 ，C 点沿铅垂轴 Oy 运动。已知 AB=OB=BC=DC=120mm, 求当 0=45时杆上 D

7、点的速度。36VD= ID:TAD=268.33 2 = 5636.66(mm/ s)习题 8-98-9图示一曲柄机构，曲柄 OA 可绕 O 轴转动，带动杆 AC在套管 E 内滑动，套管 E及 与其刚连的 ED 杆又可绕通过 E 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。已知:OB = 4 0 0 mm，当 OA 转至铅直位置时，其角速度BDBD 干与 ACAC 杆的角速度相同，即：-B AC，确定了 AC，问题便可解决。ACAC 杆作平面运动。OAOA 与 BDBD 乍定轴转动。如图 1 1 所示，I I 为 ACAC 杆此时的速度瞬心，图中VB为 ACAC 杆上此瞬时与铰 B B 重合的B的速度。解

8、:VB=OB -120 2 =240(mm/s)DVBVB240=2(rad/s)IB OB 120ID ；IC2CD2-2IC CDcos1350(120.2)212022 1202 120= 120 .5 =268.33(mm)VC450/C/./450._OIxyATVDOA=BD=300ad/s，试求 D 点OA 300cos：二AB 500AB 500AI AI的速度。aO37A 2500(mm)8vA= OA二:。=300 2 = 600( rad / s)VD=BD匸冷。-300 0.72 = 216(mm /s)习题 8-108-10图示一传动机构，当 OA往复摇摆时可使圆轮绕

9、 O1轴转动。设 OA=15 0mm,01B=100mm，在图示位置，co = 2rad/s，试求圆轮转动的角速度。解：OAOA 乍定轴转动，ABAB 乍平面运动。圆轮作定轴转动。vA=OA- 150 2 =300(mm/s)T T TVB二 VAVBATTVBAB VAABvB二VACOS30=300 0.866 = 259.8(mm/s)XB2598= 2.598(rad/s)：2.6(rad/s)1O1B100O B B 活动地装置在 O 轴上。在 O 轴上装有齿轮 I;齿轮 n 的轴安装在杆 AB 的 B端。已知：A =r2=300. 3mm, OiA= 7 5 0 mm,AB= 1

10、5 0 0 mm，又杆 O的角速度 coO= 6rad/s，求当 a =60 与 3=90 时，曲柄 OB 及轮 I 的角速度。VAAI6002500/3二0.72(rad / s)习题 8-118-11在瓦特行星传动机构中,杆 OiA 绕 O1轴转动,并借杆 AB带动曲柄 OB,而曲柄9vA= O1AO=750 6 =4500(mm/s)T T TVB二 VAVBAffVBAB二VAABvB=VACOS30=4500 0.866 = 3897(mm/s)两轮啮合点（OBOB 的中点）的速度:vnhd=(BI-r2)AB=(3000 0.866 -300 1.732) 1.5 = 3117.6

11、(mm/s)习题 8-128-12活塞 C 由绕固定轴 O转动的齿扇带动齿条而上下运动。在题8-8-1置，曲柄 OA 的角速度 w0=3rad/s，已知 f = 2 0 0mm,a=10 0mm,Omm，求活塞 C的速度。解：OAOA 作定轴转动,A30ABAB 乍平面运动。圆轮 O O 及 OBOB 乍定轴转动。OBVBOB2250 32 300、3=3.75( rad / s)AIABsin30=1500=3000( mm)0.5=VAAI45003000=1.5(rad / s)vnhdr13117.6300 1.732二6(rad /s)2 附图所示位| = 2010vC=v啮合点=a

12、 OB=100 3.464 = 346.4(mm/s)(活塞的速度，方向向上)习题 8-138-13在图示机构中，杆 OC 可绕 O转动。 套筒 AE 可沿 OC 杆滑动。与套筒 AE 的 A端相铰连的滑块可在水平直槽内滑动。已知w = 2rad/s,b = 200mm，套筒长 AB =2 0 0 mm，求 0=30 时套筒 B 端的速度。解：动点：A A 点。动系：固连于 ACAC 杆的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。相对运动：A A 对于 ACAC 勺运动。解:vA= OA0= 200 3 =600( rad / s)T T TVB=VAVBATTVBAB- VAABvBcos30 =

13、vA=600VB60S =692.84(mm/s)0.866OO BOBVBb692.84200二3.464(rad /s)1112解：(1)求板的角速度求板中心 G G 的速度IJ =0.2cos30=0.1732(m)牵连运动：ACAC 杆上与 A A 相重点相对于地面的运动。绝对运动：A A 相对于地面的运动。T T TVA=VeVrb200ve= OAy22 =462( mm/s)cos300.866vA二一V-0462533(mm/s)cos 3000.866T T TVB=VAVBAvBA= AB = 200 2 = 400( mm / s)VB二VA2VBA2- 2VAVBACO

14、S150- 533240022 533 400 0.866:902(mm/ s)习题 8-148-14图示矩形板 BDHFBDHF 用两根长 0.15m0.15m 的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆ABAB 的角速度为4rad/s4rad/s，其方向为顺时针。 试求： 板的角速度；(2)(2)板中心 G G 的速度；(3)(3)板上 F F 点的速度； 找出板中速度等于或小于 0.15m/s0.15m/s 的点。006000.15m 300fVD300.25m0.2mT *VF板=VBBIABABBI0.15 40.2=3(rad /s)130.15IG =0.17320.0482(m)VG= IG

15、，板=0.0482 3=0.1446(m/s)(3)(3)求板上 F F 点的速度IF=丄0.厂(0.25匚0.1732)0.1243( m)VF= IF，板=0.1243 3= 0.373(m/s)(4)(4)求板中速度等于或小于 0.15m/s0.15m/s 的点Vx = x板_ 0.15x乞0.15/3 =0.05(m)板中速度等于或小于 0.15m/s0.15m/s 的点在以瞬心 I I 为圆心，半径为0.05m的圆内：圆周上速度为0.15m/ s，圆内速度小于0.15m/s。习题 8-158-15图示一静定刚架，设 G支座向下沉陷一微小距离，求各部分的瞬时转动中心的位置及 H与 G点

16、微小位移之间的关系。解：整个刚架的瞬时转动中心如图所示。2a2=sG 514VB-SB，SH即:BI2=VA，VAAI1=AI2，AB：t5a it2SG二注2a t2SG2=vH=t = HI1AD=t = a Sa込tLtSGa it=SH= ,：SG习题 8-168-16机构在图示位置时，曲柄OA垂直于AB,AB平行于OO，试求A、D两点微小位移之间的关系。已知CD = 400mm，BC = BO。解:VD=SDSDI1DI1800 .：t30=Sc=VC-t=Cl1“CD=-t-(800今SD2800 t=-SBSASD4SDVBSBBI2二VA二Al=AI:SB300150y3=co

17、s30SD4=lSd即：SA=3：SD8习题 8-178-17桥由三部分组成，支承情况如图所示。（1）当 E支座有一微小水平位移；（2）A支座向下沉陷一微小距离；（3）C 处发生一微小水平位移。试分别绘出三种情况下桥各个 部分的瞬时转动中心。解：（1）绘制当 E支座有一微小水平位移时，桥各个部分的瞬时转动中心。此时，只有 BEBE 部分和 DEDE 总分会运动。这两部分的瞬时转动中心如图所示。1617(2) 绘制 A支座向下沉陷一微小距离时，桥各部分的瞬时转动中心。ACDACD 的瞬时转动中心在右边的无穷远处；DEDE 的瞬时转动中心在 E E 点；EBEB 的瞬时转动中心在| |3处。(3)

18、 绘制当 C处发生一微小水平位移时，桥各部分的瞬时转动中心。图中I1、I2、丨 3分别为 ACDACD DEDE EBEB 的瞬时转动中心。 习题 8-188-18刚体作平面运动时，在什么情况下平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的 投影相等？ 解：刚体作平面运动时，平面图形内任意两点的加速度之间的关系为:naA二aBaBA，或a -aB aBA aBA。上式的关系如图所示。由图可知，当且仅当fT TTTaBA=0时，才有aA =aB,即aAAB aBAB。T T当a - aB时，作平面运动的刚体作瞬时平动。换句话说，218当刚体作瞬时平动时，平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的投影

19、相等。习题 8-198-19绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为 R,在轮上有圆柱部分，其半径为：r, 线绕于圆柱上，线的 E端以速度 u与加速度 a 沿水平方向运动，求绕线轮轴心 O的速度和加速 度。解：T TVA=VBT T TVO= VAVOA(C C 点为速度瞬心 I I )VO _ RVAR rRVARuVO二R r R -r因为 c c 点作直线运动，所以dv。dRuR du RRaaO()a =dt dtRr R rdt R - r R - r习题 8-208-20在图示机构中，曲柄 OA,长I，以匀角速- -0 0绕 O转动，滑块 E 沿 X轴滑动。已知AB =AC =21，

20、在图示瞬时，OA垂直于X轴，求该瞬时 c 点的速度及加速度。解:(1 1 )求该瞬时 C点的速度0A0A 乍定轴转动；BCBC 乍平面运动。VA=0A0=l0aA=0A：0= ld 0= 0dtaA=0AI 汀韦19T T TVB -VA VBAffVBAB=VAABoovBcos30vAcos30VB二 VA，即刚体 BCBC 乍瞬时平动，故VC=7A I0C C 点的加速度:naCA二ACCA=21Be-02八2T0210acA=AC:BC=2l:.3、3ac =.aA2(acA)2-2aAacAcos1500(2 2 )求该瞬时 C点的加速度A A 点的加速度：VC = BC ：BC-0

21、a；=OAaA=OAnaA =aAa.dt=0B B 点的加速度：t t 弓naB -aA aBA aBARBA= AB BA= 21 ;：，BC二0aAaZaCATacaBAaAcos300= ABBA=21BC.3：BC20Tacj -aAacAacATVC20aci 2 222 22)(J0)0J+ 纟+2 x|国；32:2.08I0习题 8-218-21图为一机构的简图，已知轮的转速为一常量n =60r/min，在图示位置 OA/EC,AC丄 EC，求齿板最下一点 D的速度和加速度。解：(1 1) 求 D D 点的速度在图示瞬时，ABAB 乍瞬时平动。2兀n3.14 60VB=-vA-

22、 OA - 0.5 -A6060VDCD2=- =- =4VBCB 0.5vD=4 3.14 = 12.56( m/s)(2 2) 求 D D 点的加速度B B 点的加速度：=3.14(m/s)VB= IB“AB：ABAB= 0aBA= ABAB- 021aBaAaBAaBALn t丁 paB aB= aA aBA RBAaBcosv -aBcos：二aAcos :aBCOST- aBcos(90 - v) =aAcos(90-J)aBcosv - aBsin v - aAsin亍aAsin日+aBsin日naB-(aAaB)tan丁cos 922V-= (0.5o- )tan0.52=(0.

23、50AV)tan0.5=0.5OA 0.5OA)tan v=：O-tan二260、20.5-()60 1.20.5二20.3T0.5兀2a- BC“CD=0.3aD 二CD :CD二20.32兀汉60W0.5飞一一-C30.5-“CD05：20.3CD0.3fa a-=0=0上式在x轴上的投影为:=(2二n60)0.51.2A AC Ca a-A口aA= ana a-a a=0B BaD D322JIBC 0.5习题 8-228-22在图示机构中，曲柄0A长r，绕0轴以匀角速度转动。在图示瞬时，=60,匕-90，又AB = 6r,BC =3、.3r，试求滑块C的速度和加速度。解:VBVA VB

24、AVA-（0A0A 乍定轴转动）VA= IIAAB=3AB（ ABAB 乍平面运动）故,1AB3VB1=I iB心，AB=6 r cos30* = . 3r小（ABAB 乍平面运动）VB=I=I 22BC=6、3BC( BCBC 乍平面运动)aD=CDCD=2汉(2兀)2=8n2aD=J(aD)2+(aD)2= (备22 2 2)2(8二2)2= 102.675(m/s2)=arcta nnaD= arcta n82/03=39.8123故,1=12C ；：:BC= 9r0632r 03A-0aAaAn2=3AoTaB33r33r3AaBAa.BQB B6r6r上式在法线（ABAB）方向上的投

25、影为:0n0aBcos60aBA- aAcos60丄aB=6r 22AB-022=6r (1 J23aBT3CT 材二3B3CBTacB上式在 BCBC 线上的投影:03C二aBsin 603CB12r03亠3r21V)2r012习题 8-238-23四连杆机构 OAEO1中，OO1= OA = O1B=100mm,OA 以匀角速度=2rad /s转动，当（=90时，O1E与 OO1在一直线上，求这时：（1）AE 及 O1E的角速度；（2）AB 杆与 O杆的角加速度。B B24(1)求 AE及 OiE的角速度T T TVB -VAVBAvA=OA - 100 2 = 200(mm/s)(OAO

26、A 乍定轴转动)vA二Al，AB= 100，AB= 200(mm/s)(ABAB 乍定轴转动)AB二2(rad /s)vB=OO1B-a；ASin aBACOsR/OiB1 100200:-OlB(400 -894.431788.85) =16(rad /s)1100223.61223.61习题 8-248-24如图所示, ,轮 O在水平面上滚动而不滑动，轮心以匀速 v。=0 . . 2m/s 运动。轮缘上固连销钉 E,此销钉在摇杆 O1A的槽内游动，并带动摇杆绕 O1轴转动。已知：轮的半径 R=0 . . 5 m,在图示位置时，AO1是轮的切线，摇杆与水平面间的交角为 6 0。求摇杆在v0s

27、in 300vBO二vr0 2vr=v0sin30vBO=0.2 0.5 R0= 0.10.50.3(m/s)0.5由轮 O O 勺平面运动得:该瞬时的角速度和角加速度。解：由轮 O O 乍平面运动得：T T TvB v0VB0由 B B 作复合运动得：T T TVB=VeVr故，T T T TV0- VB0二VeVr上式在X轴上的投影为：- vOcos30 - -veve=v0cos30=0.2 0.866 =0.1732(m/s)，O1AOiB0.17320.5 tan 600=0.2(rad / s)T T f fv0 vB0二vevr在y轴上的投影为:27T _ T 群 PaB- ao

28、aBOaBO由 B B 的复合运动得:28f T T TaB- ae ar ac上式在x轴上的投影为:Tnae -ac =一aBo2O1BTQA2，O1AV R02Rtan60：o一2o/*一-R0解：(1 1 )求。点的速度T T T T T Tn故，aeara aOaBOaOaBOnnaeaearaaOaBOaaBO式中，ao妝=0dtaBo二R%=0dt n 故，ae ae ar a aBO二an-：JO1A式中,- O1ARta n600 -計栄0.4(rad/s)2-R-0 2-O1AVrRta n60故，：62-0.5 0.42 0.2 0.30.5 1.732=0.0462(ra

29、d /s)习题 8-258-25等边三角板 ABC，边长=400mm，在其所在平面内运动。已知某瞬时 A 点的速度VA=8 0 0mm/s, 加速度 a2A=3200mm/s ，方向均沿 AC, B 点的速度大小VB= 4 0 0 mm/s, 加速度大小 aB= 8 0 0 mm/s2o试求该瞬时 C 点的速度及加速度。O1A r29VB二 VAVBA上式在X轴上的投影为:30vBCOS T- vAcos60COST-vAcos60/vB=800 0.5/400 =1=CI：=611.1 1.732 =1058.4(mm/s)(2(2 )求。点的加速度 假定角加速度顺时针转，如图所示。 n /

30、3BX aBy- 3A 3BA 3BA上式在x轴上的投影为:3BX二aACOS60_ aBA= 3200 0.5 -400 (一3)2= 400(mm/s2)aBy = .aB-(3BX)2二 8002-4002= 692.82(mm/s2)T T T T aBXaBy- 3AaBA3BA在y轴上的投影为:-aBy二aASin600-aBAaBy =aASin60BA3BA= aBy3Asin600=692.82 3200 0.866 = 3464.02(mm/s2)二AC2=400(、3)2=1200(mm/s2)=AC：= 400 8.66 = 3464(mm/s2)ac-a；A)2+(a

31、Ca)2=P(3200-1200)2+34642=4000(mm/s2) 假定角加速度逆时针转，如图所示。-00VB400BI0=1.732(rad/s)AB tan300400 0.5774BI = 400ta n300=231(mm)CIh$23124002-2 231 400cos150=611.1(mm):一锤二34642=8.66(rad/s2)AB 400VCn3CAaCA31aB =aA aBA aBAaBx -aACOS60_ aBA= 3200 0.5 -400 (.一3)2=400(mm/s2)aBy=aAsin 60aBA= 3200 0.866 aBA=2771.2：u

32、：BAaBy二a；-aBx=8002-4002=480000aBy=692.822771.2：BA=692.82aBA=2078.38(mm/s2)(与图示方向相反)aCA=AC2=400 ( 3)2=1200(mm/s2)aCA=AC：=400 (-5.2) = -2080(mm/s2)(与图示方向相反)ac= J(aA-aCA)2+(ag)2=p(3200 1200)2+ (-2080)2= 2885.6(mm/s2)习题 8-268-26反平行四边形机构中，AE = CD=4 0 0mm,柄 AE 以匀角速度 co = 3rad/s绕 A点转动，求 CD 垂直于 AD 时 BC 杆的角速

33、度及角加速度。aBAAB-2078.384002-5.2(rad /s )TaBxBC = AD=2 0 0mm，曲A ATaBya aBA32CE ED =CD =400200COS J400sin v - 400cosJ2sin v - 2COS T- 2(1 sin v)d -sin2)- 2(1sin r)2 21-sinJ- 4-8sin v 4sin 5sin2J-8Sin二3 = 0v -arcsin0.6=36.87BI = BC tan v - 200 tan 36.87=150(mm)vB= Bl :BC- AB=400 3150 BC- 400 3BC= 8( rad /

34、S)200vC=CDCD=ClBC08 =2000COS36.87CD= 2000/CD =2000/400 =5(rad/S)由 BCBC 乍平面运动得：T T 卡aC -aB aCB aCB由 CDCD 乍平面运动得:T T t T T故，a；+aC =aB +a；B +aCB上式在y轴上的投影为：aCsin -a；cos)- -a；B= -BC Be =一200 8-12800aC=(aCcos日-12800)/Sin日400 52cos36.870-12800sin 36.870上式在x轴上的投影为:sin8 -y(-8)4 5 32汽58 _2101（不合，舍去）0.6=8000(mm/s2)A ADyA AD233_aCsin日- agcosT = -aB_acBa；sin v aCcos v - aBaCBnooaCB=aCsin 8 +afcos8 aB=4OOcoCDsin日