1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-5

1、5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数从两个熟悉的函数2yxyx与与的图象来看的图象来看凸性的不同：凸性的不同：2(),yxyxA B上任取两点上任取两点 AB弦恒在曲线弦恒在曲线的上方的上方(下方下方) . AB段段2yx ABxyO ABxy xyO如如(1)和和(2)式中的不等号改为严格不等号式中的不等号改为严格不等号,则相应则相应定义定义1 设设 f 为区间为区间 I上的函数若对于上的函数若对于 I 上的任意上的任意12,(0,1),xx 两点和任意实数总有两点和任意实数总有1212(1)()(1) (), (1)fxxf xf x则称则称 f 为为 I上的一个凸函数上的一个凸函数.

2、反之如果总有反之如果总有则称则称 f 为为 I 上的一个凹函数上的一个凹函数.1212(1)()(1) (), (2)fxxf xf x的函数称为严格凸函数和严格凹函数的函数称为严格凸函数和严格凹函数.2()yx 由此可得在，上为严格的凸函数，由此可得在，上为严格的凸函数，很明显，若很明显，若 f (x)为为(严格严格)的凸函数的凸函数, 那么那么 f (x)就就引理引理 f (x)为区间为区间 I上的凸函数的充要条件是：上的凸函数的充要条件是：有有中中的的任任意意三三点点对对于于,321xxxI 32212132()()()()(3)f xf xf xf xxxxx .0上的严格凹函数上的严

3、格凹函数， yx 为为为为(严格严格) 凹函数，反之亦然凹函数，反之亦然.213(1).xxx从而有从而有 因为因为 f (x)为为 I 上的凸函数，所以上的凸函数，所以 213()(1)f xfxx13()(1) ()f xf x3221133131()().xxxxf xf xxxxx 312321213() ()() ()() (),xxf xxxf xxxf x证证,1323xxxx 设设（必要性）（必要性）于是于是1x2x3xOyx 整理后即为整理后即为 (3) 式式.即即322212() ()() ()xxf xxxf x321213() ()() (),xxf xxxf x213

4、(1),xxx由于必要性的证明是可逆的，从而得到由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）（充分性）对于任意对于任意 13,(0,1).xx 设设32212132()()()().f xf xf xf xxxxx 则则1313(1)()(1) (),fxxf xf x所以所以 f 为为 I 上的凸函数上的凸函数.同理可证同理可证 f 为为 I 上的凸函数的充要条件是：对于上的凸函数的充要条件是：对于 123,Ixxx中的任意三点有中的任意三点有313221213132()()()()()(). (4)f xf xf xf xf xf xxxxxxx注注 (4) 式与式与 (1) 式是等价的

5、式是等价的. 所以有些课本所以有些课本将将 (4) 式式 作为凸函数的定义作为凸函数的定义. ( 参见下图参见下图 )詹森詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦丹麦 ) 1x2x3xyx1( )f x2( )f x3( )f xO121, n 必必有有1111()()().nnnnfxxf xf x12121()()() ,nnxxxff xf xf xnn 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理对于凹函数，请读者自行写出相应的定理.1, 01,nixxI 条条件件是是：任任给给1,2, ,in1,in 特别取则特别取则这是著名的这是著名的詹森不等式詹森不等式 . .由数学归纳

6、法不难证明：由数学归纳法不难证明：f 为为 I 上的凸函数充要上的凸函数充要 (5) 式是凸函数最常用的不等式式是凸函数最常用的不等式 .即：即：1111()(5)nniiiifxf xnn例例 1 设设 f 为开区间为开区间 (a, b) 上的凸函数上的凸函数, 那么它在那么它在下面举例说明凸函数的内在性质下面举例说明凸函数的内在性质. .证证012, 0,xa bhh对于任意的（）使对于任意的（）使上处处连续上处处连续.(a, b) 中每一点的左、右导数存在中每一点的左、右导数存在. 特别是在特别是在 (a,b)000()()( ),( )(0,)f xhf xF hF hbxh 令令则则

7、在在0.( , ),xa bxx上递增 取由引理又得上递增 取由引理又得00000()()()(),(0,).f xf xf xhf xhbxxxh 01002012()()()().f xhf xf xhf xhh 00102,xxhxhb由引理得到由引理得到0().fx 同理可证存在同理可证存在这就证明了这就证明了F(h)有下界有下界. 所以所以00000()()lim( )lim().hhf xhf xF hfxh 存在存在注注 开区间上的凸函数处处连续开区间上的凸函数处处连续, ,但不一定处处可但不一定处处可 导导; ; 闭区间上的凸函数在端点不一定连续闭区间上的凸函数在端点不一定连续

8、. .定理定理 6.13 设设 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数, 则下述则下述(i)( );f xI为上的凸函数为上的凸函数12(iii),Ixx对于上的任意两点有对于上的任意两点有(ii)( );fxI 为上的增函数为上的增函数21121()()()().f xf xfxxx 注注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方.论断互相等价：论断互相等价：证证12, (i)(ii)xxIh 任任取取和和正正数数使使1212, , .xxxhI xhI且且22()().hf xf xh 112121()()()()hfff xxxxfxxh

9、f已知是凸函数，由(4)式已知是凸函数，由(4)式因为因为令令,0 h11110()()lim()(),hhf xxffxfxh 22220()()lim()(),hhf xf xfxfxh所以所以( ).fx 故递增故递增211221()()()(),f xf xfxfxxx 1212,(ii)(iii,.)x xIxx对对于于任任意意不不妨妨设设212112()()( )().f xf xfxxxx 则则( ),fx 因为递增 所以因为递增 所以21121()()()().f xf xfxxx 12012(iii)()1i)xxxxx仍仍设设，(01), 则则10010()()()(),(

10、6)f xf xfxxx 20020()()()().(7)f xf xfxxx ABxyO(6)(7)(1) 将式乘以 ，式乘以作和，并注意到将式乘以 ，式乘以作和，并注意到120(1)0,xxx故故01212()(1)()(1) ().f xfxxf xf x我们在这里再一次强调，我们在这里再一次强调， 的切线位于曲线的下方的切线位于曲线的下方. 于相应曲线段的上方于相应曲线段的上方;而它而它 义是义是:曲线曲线 y = f (x) 的弦位的弦位函数函数 f 是凸函数的几何意是凸函数的几何意 点击上图动画演示点击上图动画演示证证 由定理由定理 6.13 立即可得立即可得.定理定理6.14

11、设设 f (x) 在区间在区间 I 上二阶可导，则上二阶可导，则 f (x)( )0 ( )0).fxfx我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对对理理. 于凹函数也有类似的性质于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定请大家写出相应的定 在区间在区间I上是凸上是凸(凹凹)函数的充要条件为：函数的充要条件为：(, 0),( )0 ,( ) xfxf x 所以当时为凸函数；所以当时为凸函数；(0),( )0,( ).xfxf x 当，时为凹函数当，时为凹函数解解 因为因为例例 2 ( )arctan.f xx 讨讨论论函函数数的的凹凹凸凸性性区区间间2

12、22( ),(,).(1)xfxxx 21( ),1fxx (,),x (本例说明：在凸本例说明：在凸(凹凹)函数的条件下，可微函数函数的条件下，可微函数的的极值极值点与稳定点是等价的点与稳定点是等价的.)例例 3 设函数设函数 f (x)为为 (a, b) 上的可导凸上的可导凸(凹凹)函数函数.00 ()0 ( ).fxxf x 那那么么的的充充要要条条件件是是为为的的极极值值点点证证 充分性是显然的充分性是显然的(费马定理费马定理). 下面证明必要性下面证明必要性.由定理由定理 6.13 的的 (ii), 是递增的是递增的. 所以所以()fx 0()0.fx 即即设设 f (x)是凸函数是

13、凸函数, x0 是是 f (x) 的稳定点的稳定点, 00( )(),( ,);f xf xxa x00( )(),(, ).f xf xxxb00( )(),( , ),()( )f xf xxa bf xf x综综上上, ,即即是是的的0( ,)( )0, ( )xa xfxf x 当当时时，是是递递减减的的，故故(i)0(, )( )0,( ),xx bfxf x 当时,是递增的 故当时,是递增的 故(ii)极小值极小值. . 注注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极0()( )( )f xf xf x若若是是的的一一个个极极值值，则则仅仅有

14、有惟惟一一的的极值，并且是极小值极值，并且是极小值.证证 应当注意，这里并没有假设函数应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微的可微 ( )( , )f xa b设是区间上的一个严格凸函数，设是区间上的一个严格凸函数，例例 4此下面这个例题自然就产生了此下面这个例题自然就产生了.值总是极小值值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值可微凹函数的极值总是极大值. 因因 性，所以例性，所以例 2 的方法就失效了的方法就失效了.102( ) f xxxx因为严格凸,所以当时,因为严格凸,所以当时,01200120()()()().f xf xf xf xxxxx 0120 ()() ()()

15、0.f xf xf xf x( )f x又因是严格凸的，所以又因是严格凸的，所以0120()()0,()()0,f xf xf xf x0().f x所以是极小值所以是极小值0()f x由于是极值,因此由于是极值,因此120, x xx当充分接近时,有当充分接近时,有对于任意因为对于任意因为 f (x0) 是极小值，所以是极小值，所以0(, ),xxb 10()().f xf x 又因为又因为 f(x0) 是严格凸函数，所以是严格凸函数，所以100100()()( )()0,f xf xf xf xxxxx0 ( )().f xf x 即即同理可证：对于任意仍有同理可证：对于任意仍有 f (x

16、0) f (x) .0( ,),xa x 10(,),xxx 存在使得存在使得00()() ()()f xf xf xf x和和同时成立同时成立, 矛盾矛盾. .所以极值点惟一所以极值点惟一. .设设 f (x) 有另一极小值有另一极小值 . 根据以上讨论，把根据以上讨论，把 ()f x x 和和 x0 分别看作极值点时分别看作极值点时, 有有均为正数均为正数.1( )ln1 ,( )0,fxxfxx( )0f xx 所所以以在在时时为为严严格格凸凸的的. .由由詹森不等式詹森不等式1( ( )( )( ),33abcff af bf c3(), ,a b cacbabca b ca b c

17、证明不等式其中证明不等式其中例例 5( )ln ,f xxx 设则设则证证1lnln.333abcabcabca b c 即即又因又因3,3abcabc 故有故有31lnln().33abcabcabca b c 再由对数函数是严格增的，就证得再由对数函数是严格增的，就证得3().a b cabcabca b c .11qpbqapab ( )ln . ( )0,( )f xxfxf x 设因故是设因故是0 x 上上1111()()pqpqfabf af bpqpq.lnln1ln1abbqapqp 11.pqababpq即即的严格凹函数，所以有的严格凹函数，所以有110,0,0,0,1.ab

18、pqqp设设求求证证例例 6 ( )Myf x 点为曲线的拐点.点为曲线的拐点.图中所示的图中所示的M 是一个拐点是一个拐点.(0, 0)arctan; yx 例例如如点点是是曲曲线线的的一一个个拐拐点点 而而cos, 0 ,2yxk 余余弦弦曲曲线线的的所所有有拐拐点点为为00( )(,()yf xM xf x 设曲线在点处有穿过设曲线在点处有穿过定义定义2曲线的切线，并且切线的两侧分别曲线的切线，并且切线的两侧分别Z.k 其中其中M0 xxyO 是严格凸和严格凹的，这时称是严格凸和严格凹的，这时称0( )()0.yf xfx 曲曲线线的的拐拐点点的的必必要要条条件件是是00( )(),(),fxUxUx 若若在在的的符符号号相相反反 那那么么00(,()( ).xf xf x是的一个拐点是的一个拐点下面两个定理是显然的下面两个定理是显然的.000( ),()f xxxf x若在点二阶可导 则(为若在点二阶可导 则(为定理定理6.1500( )().f xxUx 设设在在点点可可导导，在在二二阶阶可可导导定理定理