研究生SAS教程1ppt课件

1、定义定义1 的分布律为离散型X.R.V绝绝对对收收敛敛，若若级级数数1iiipx，则则称称级级数数1iiipx为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，的数学期望，简称期望或均值，.)(1iiipxXE记记作作Xx1x2xnPp1p2pn1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望一、数学期望与方差一、数学期望与方差1.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征的数学期望离散型随机变量的函数XPnxxx21nppp211)(XfYP)()()(21nxfxfxfnppp21?)(XEf2(X,Y) (x1,y1) (x1,yj) (xi,y1) (xi,yj) P p11 p1i

2、 pi1 pijf(X,Y) f(x1,y1) f(x1,yj) f(xi,y1) f(xi,yj) P p11 p1i pi1 pij?),(YXEf?)(?,)(YEXE特别地，2.延续型随机变量的数学期望延续型随机变量的数学期望绝对收敛时，当积分：定义dxxxpxpX)(),(2dxxxpXE)()(即,X的数学期望称它为?)(),(）则XfExpX?),(),(),(YXEfyxpYX则?)(?,)(YEXE特别地，布！期望不需求出函数的分注：求随机变量函数的存在，为随机变量，若设定义2)(EXXEX即即的的方方差差，记记作作则则称称它它为为随随机机变变量量),(XDX2)()(EXX

3、EXD的的标标准准差差。称称为为记记XXDX, )()(122)()()(iiipEXxEXXEXD特别地dxxpEXxEXXEXD)()()()(22.)()()(22EXXEXD3. 随机变量的方差随机变量的方差数学期望与方差的性质. 4kEk1 ）（kEXE(kX)3）（EYEXY)E(X5）（EYEXE(XY)6独立，与）（YX数学期望的性质bkEXb)E(kX4）（k)(k)E(X2XE）（0Dk1 ）（DXD(kX)32k）（DYDXY)D(X6相互独立时，与）（YX)(2)()5(EYYEXXEDYDXYXD方差的性质)(k)D(X2XD）（DXb)D(kX42k）（nininX

4、XX1i1i21DX)XD(,.,相互独立，则，推广：5.几个常用分布的数学期望 和方差 则则）（), 1(X1pB则则）（),(X2pnB则则）（),(X3 PpXE )(npXE )()(XD)1 ()(ppXD)1 ()(pnpXD )(XE),()4(baUX2baE(X)12)(bD(X)2a),1 , 0()5(NX0E(X) 1D(X) ),()6(2NX2D(X)E(X),()7(X21D(X)1E(X) 1 1. .二二维维随随机机变变量量的的协协方方差差 定义定义),(YX，设二维随机变量存在，若)(EYYEXXE的协方差，记作与则称它为YX)(),cov(EYYEXXEY

5、X协方差的定义与性质二、的函数的数学期望。、注：协方差是YX).(),cov(),(),cov(YDYYXDXX特别地特别地)(),cov(),cov()(),(YDXYYXXDYXCov记记的的协协方方差差矩矩阵阵，与与称称它它为为YX).,cov(),cov(XYYX其中协协方方差差的的性性质质： 2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX1+bX2,cY1+dY2)=acCov(X1,Y1)+adCov(X1,Y2) +bcCov(X2,Y1)+bdCov(X2,Y2)1.Cov(X, Y)=E(XY)-

6、(EX)(EY) 特例:Cov(X, X)=DX2不能客观地反映两个变量之间的关系：协方差的缺陷：1有量纲；),cov(),cov(2YXkkYkX易知三、随机向量的数字特征 Summary numbers of multivariate random array.X),()p,.,1i (),(:21i21的均值向量或数学期望为则称存在，若设定义ppEXEXEXEXEXXXXXBEYAEXBYAXEiiiAEXBAXBEiiAEXAXEi)()()()()()(:性质1.均值向量2.协差阵2121)EYY)(EXX(E),(YX,),(,),(:8YXCovYYYYXXXXqp的协差阵与设定

7、义qq212221212111)(),(cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov( pjipjiqpqpppqqYXYXYXYXYXYXYXYXYXYX)()()()()()(22112211qqppyEyyEyyEyxExxExxExE),cov(),()v()()()()(; 0)()(. 3BYXABYAXCoviADXAAXDiiiDXCXDiiXDi性质：引进新的数字特征：相关系数DXEXXX的标准化随机变量。为则XXDYDXYXYX),cov(),cov()()(),cov(),(YXYXYX为为 X 与与

8、Y 的的相相关关系系数数。 特别地特别地.),(),(1YYXX11),(),(),(XYYXYXCorr记记的的相相关关系系数数矩矩阵阵，与与称称它它为为YX).,(),(YXXY其中),(),(YXkYkX易知)0(1| )2(1| ) 1 (YkbkXYX，则有的相关系数为与设之间的线性相关程度。与刻画了因此，Y),(XYX.;),(否则越低的线性相关程度越高与越大，即XYYX不相关。与则称定义：若YXYX0),(未未必必独独立立。与与不不相相关关时时，与与但但YXYX3.不相关与相互独立时，但特殊情形：当),(),(222121NYX相相互互独独立立。与与YX 0必不相关。与独立时，与

9、YXYX例例 设设XN(0,1),。不相关，也不相互独立与证明| XX例例 设设XN(0,1),。不相关，也不相互独立与证明| XX) 1|X(|P) 1X(P) 1|X(|P) 1|X| , 1X(P如：不相关的等价定义：1.Cov(X,Y)=02.E(XY)=E(X)E(Y)()()(.3YDXDYXD完全线性相关。与则称定义：若YXYX1| ),(|正相关。与则称若YXYX0),(负相关。与则称若YXYX0),(注：注：X与与Y不相关表示不相关表示X与与Y之间不存在线性联络，但之间不存在线性联络，但并不排除存在其他函数关系。并不排除存在其他函数关系。五、相关系数矩阵Correlation coefficient matrix的相关系数阵为，则称且存在，若设定义X)(0DxDX)x,x,x(:i21ppjipRX)x,xcov()x,xcov()x,xcov(jjiijiji其中ppppdiagVVDXVR)1,.1(,11212121注：协差阵与相关系数矩阵的关系ppppdiagVVV),.(,RDX11212121).(),(),(,23,422532391214,725,),(:32133223211321YDYEXRxxxyxxyxxxyEXxxxX求令例1?511?516115100031000212532391214510003100021)(:XR答案1594