第二章有限单元法的数学基础

1、有限单元法方程的基本思想按其推导方法分按其推导方法分: :(1)(1)直接法直接法根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2) (2) 加权余量法加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。(3)(3)变分法变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。 有限单元法的数学基础 有限元最初是由结构工程师们基

2、于物理概念提出来的，有限元最初是由结构工程师们基于物理概念提出来的，但这种被称为直接刚度法的方法仅适用于力学领域，很难将但这种被称为直接刚度法的方法仅适用于力学领域，很难将其推广到其它领域其推广到其它领域 。 我们今天要面临的问题，不仅限于力学问题，要涉及到我们今天要面临的问题，不仅限于力学问题，要涉及到其它许多相关领域的问题，如，其它许多相关领域的问题，如，当我们运用数值方法模拟降当我们运用数值方法模拟降雨型滑坡的成因和机理时，雨型滑坡的成因和机理时，我们不只是考虑应力场，还需考我们不只是考虑应力场，还需考虑地下渗流场、地表径流等诸多因素的共同作用。虑地下渗流场、地表径流等诸多因素的共同作用

3、。 变分法是建立有限元法的通用方法，同时变分法还是变分法是建立有限元法的通用方法，同时变分法还是其它现代数值方法，如边界元法、数值流形法、有限体积其它现代数值方法，如边界元法、数值流形法、有限体积法等的基础。法等的基础。 有限单元法的数学基础 自然界中的许多规律都是以微分方程的形式提出的，微自然界中的许多规律都是以微分方程的形式提出的，微分方程是关于场变量及其导数的一个方程，分方程是关于场变量及其导数的一个方程，微分方程和相应微分方程和相应的初边值条件一起构成了所谓的微分方程的定解问题的初边值条件一起构成了所谓的微分方程的定解问题。 三大类微分方程：三大类微分方程： 椭圆型方程椭圆型方程用于描

4、述与时间无关的稳态问题；用于描述与时间无关的稳态问题； 抛物型方程抛物型方程的典型应用是热传导问题；的典型应用是热传导问题； 双曲型方程双曲型方程的典型对象则是振动问题的典型对象则是振动问题 由于问题的复杂性，能够获得解析解的问题是非常有由于问题的复杂性，能够获得解析解的问题是非常有限的。为了求解一般情况下的定解问题，就需要借助于某限的。为了求解一般情况下的定解问题，就需要借助于某种数值方法。种数值方法。 有限单元法的数学基础 数值方法，粗略的理解就是数值方法，粗略的理解就是一种近似方法一种近似方法，但这种近似，但这种近似方法方法不是任意的不是任意的，而是能够通过数值方法本身所提供的某种，而是

5、能够通过数值方法本身所提供的某种手段，手段，通过加大运算量而使得近似解越来越逼近解析解通过加大运算量而使得近似解越来越逼近解析解。 有限元法就是求解微分方程的一种数值方法，而且它特有限元法就是求解微分方程的一种数值方法，而且它特别适用别适用求解椭圆型边值问题求解椭圆型边值问题。 在有限元法问世之前所广泛采用的一种数值方法是有限差分法，有限差分法是一切微分方程数值方法的基础，至今仍在某些领域如流体力学问题中起着主导作用。有限差分法的基本思想就是用差商代替微商，而使得原来的定解问题的求解变为线性方程组的求解。所有的微分方程数值解法都是化微分方程定解问题为线性方程组的求解问题。 有限单元法的数学基础

6、 有限元法的先行课程有限元法的先行课程( (按依赖程度按依赖程度) )：线性代数、数理方：线性代数、数理方程、数值分析程、数值分析 + + 一门连续统力学，这门连续统力学对不同学一门连续统力学，这门连续统力学对不同学科有不同的要求，对于土木工程学科，可以是弹性力学或结科有不同的要求，对于土木工程学科，可以是弹性力学或结构力学。构力学。 Einstein求和约定 引入目的：引入目的：书写和推导公式的简便 ；阅读其它采用张量记法的有关文献 。 首先将三维空间的坐标首先将三维空间的坐标x x，y y，z z分别记为分别记为 EinsteinEinstein求和约定：如果表达式中的乘积项中含有两个相同

7、求和约定：如果表达式中的乘积项中含有两个相同指标，则表示这个指标遍历指标，则表示这个指标遍历1 1，2 2，n n，n = 2n = 2或或3 3，是空间，是空间的维数，而后将这的维数，而后将这n n个同类型的表达式相加而得到的总和。如个同类型的表达式相加而得到的总和。如果相同的指标有好几对，则表示每一对指标做上述求和。果相同的指标有好几对，则表示每一对指标做上述求和。 Einstein求和约定 相同的指标是求和指标，称为哑指标，相同的指标是求和指标，称为哑指标，而其余的指标称为自由指标。而其余的指标称为自由指标。 求和约定中求和指标遍历的是空间维数求和约定中求和指标遍历的是空间维数n n，若

8、在一个求和表达式，若在一个求和表达式中的求和指标不是遍历空间维数中的求和指标不是遍历空间维数n n，则我们不应省略求和号，则我们不应省略求和号 求和约定的好处示例：三维变形体的平衡方程求和约定的好处示例：三维变形体的平衡方程 变分法的基本引理 子空间子空间如果存在如果存在 在区间在区间a,ba,b上有连续上有连续n n 阶导数的全体函数空间为阶导数的全体函数空间为 假设假设则在区间则在区间a,ba,b上上 变分法的基本引理 证明：采用反证法。证明：采用反证法。 设存在一点设存在一点 根据函数的连续性存在根据函数的连续性存在 构造连续函数构造连续函数 但但 微分方程的等效积分形式微分方程的等效积

9、分形式 工程和物理学中的许多问题，都可以以未知场函数应满工程和物理学中的许多问题，都可以以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式表达。未知场函数足的微分方程和边界条件的形式表达。未知场函数u u微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式根据前面的引理根据前面的引理微分方程组可以采用完全等效的积分形式进行表达微分方程组可以采用完全等效的积分形式进行表达方程中的方程中的V V和和V V均为只需要满足是单值的而且在边界和区域均为只需要满足是单值的而且在边界和区域内部可积分的任意函数，所以其与原微分方程组等效。内部可积分的任意函数，所以其与原微分方程组等效。微分方程的等效积分形式微分方程的等效积

10、分形式分部积分：假设分部积分：假设GaussGauss公式：区域积分向边界积分转换公式：区域积分向边界积分转换 分部积分公式分部积分公式 微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式等效积分的等效积分的“弱弱”形式形式运用分部积分法：运用分部积分法：为什么叫为什么叫“弱弱”形式？形式？ 原来的方程中对于原来的方程中对于V V并无连续性要求，现在的并无连续性要求，现在的V V连续连续性要求提高了，同时对性要求提高了，同时对U U的连续性要求降低了。的连续性要求降低了。微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式示例：二维稳态热传导方程示例：二维稳态热传导方程热源密度热源密度热传导系数热传导系数温

11、度温度边界给定温度边界给定温度边界给定热流边界给定热流微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式其等效积分形式为：其等效积分形式为：通过选择函数通过选择函数自动满足自动满足强制边界条件强制边界条件微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式其等效积分弱形式的建立过程：（其等效积分弱形式的建立过程：（1 1）分部积分）分部积分（2 2）按积分区域合并）按积分区域合并微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式（3 3）简化）简化边界上边界上函数的任意性函数的任意性令令则等效积分弱形式为：则等效积分弱形式为：其边界条件其边界条件 不见了？不见了？ 自然边界条件自然边界条件如果前面已经执行强制边界

12、条如果前面已经执行强制边界条件此处可取零去掉积分项件此处可取零去掉积分项加权余量法思想加权余量法思想将未知场函数将未知场函数u u采用近似函数表达，一般取：采用近似函数表达，一般取：例如当例如当u u是位移时，可以是位移时，可以当当n n取有限项时总是无法精确满足的，此时用取有限项时总是无法精确满足的，此时用u u计算的计算的A A和和B B会出现残差会出现残差R R和和R R。N N：形函数：形函数加权余量法思想加权余量法思想取取则则W W：权函数：权函数 余量的加权积分为零即可得到一组求解方程，余量的加权积分为零即可得到一组求解方程，因此称为加权余量法。因此称为加权余量法。加权余量法思想加

13、权余量法思想权函数的选择有多种方法：权函数的选择有多种方法：（1 1）配点法）配点法（2 2）子域法）子域法（3 3）最小二乘法）最小二乘法强迫余量在某些点处为强迫余量在某些点处为0 0强迫余量在某些子域积分为强迫余量在某些子域积分为0 0强迫强迫取最小值取最小值加权余量法思想加权余量法思想权函数的选择有多种方法：权函数的选择有多种方法：（4 4）力矩）力矩法法（5 5）伽辽金法（）伽辽金法（GalerkinGalerkin法）法）强迫余量的各次矩为强迫余量的各次矩为0 0，又称为积分法。，又称为积分法。 采用这种方法得到的求解方程系数矩阵采用这种方法得到的求解方程系数矩阵是对称的，所以应用最

14、为广泛。是对称的，所以应用最为广泛。加权余量法示例加权余量法示例示例：二阶常微分方程示例：二阶常微分方程边界条件：边界条件：数值求解：首先取近似解数值求解：首先取近似解该近似解已经满足了边界条件。该近似解已经满足了边界条件。强制边界条件如何执行？强制边界条件如何执行？该近似解在域内产生余量该近似解在域内产生余量R R，余量的加权积分应为，余量的加权积分应为0 0：加权余量法示例加权余量法示例近似解的项数取得越多，则计算精度越高，本例中我们近似解的项数取得越多，则计算精度越高，本例中我们只讨论一项和两项近似解。只讨论一项和两项近似解。一项近似解：一项近似解：代入微分方程，余量代入微分方程，余量R

15、 R为：为：二项近似解：二项近似解：代入微分方程，余量代入微分方程，余量R R为：为：加权余量法示例加权余量法示例A.A.配点法求解配点法求解配点法即强迫余量在某些点处为配点法即强迫余量在某些点处为0.0.二项近似解：二项近似解：配点取配点取x x1 1=1/3=1/3，x x2 2=2/3=2/3一项近似解：一项近似解：配点取配点取x=1/2x=1/2解得：解得：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例B.B.子域法求解子域法求解子域法即强迫余量在某些子域内积分为子域法即强迫余量在某些子域内积分为0.0.二项近似解：二项近似解：子域取子域取0,1/2,1/2,10,1/2,1/2,1一项近似

16、解：一项近似解：子域取全域，子域取全域，解得：解得：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例C.C.最小二乘法求解最小二乘法求解最小二乘法实质即余量的二次方积分后取最小值最小二乘法实质即余量的二次方积分后取最小值. .对对I I的表达式求导：的表达式求导：余量的二次方积分：余量的二次方积分：要让积分值取最小值，则要让积分值取最小值，则权函数权函数加权余量法示例加权余量法示例二项近似解：二项近似解：一项近似解：一项近似解：解得：解得：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例D.D.力矩法求解力矩法求解力矩法即强迫余量在区域内的各次矩为力矩法即强迫余量在区域内的各次矩为0.0.二项近似解：二项近似

17、解：W W1 1=1=1，W W2 2=x=x一项近似解：一项近似解：W W1 1=1=1解得：解得：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例E.E.伽辽金法求解伽辽金法求解伽辽金伽辽金法实质即取近似函数作为权函数法实质即取近似函数作为权函数. .一项近似解：一项近似解：则权函数为：则权函数为：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例二项近似解：二项近似解：则权函数为：则权函数为：解得：解得：加权余量法示例加权余量法示例该问题的解析解为该问题的解析解为什么是泛函什么是泛函如果对某一类函数中的每一个函数如果对某一类函数中的每一个函数v(x)v(x)，按照一定的变换规则，按照一定的变换规则J J，

18、都有一个确定的实数，记为，都有一个确定的实数，记为J(v)J(v)，与之对应，那么就称该，与之对应，那么就称该变换是一个泛函。变换是一个泛函。泛函就是由函数空间到一维欧氏空间泛函就是由函数空间到一维欧氏空间R R的一个变换，泛函的的一个变换，泛函的“自自变量变量”或者或者“原象原象”取自某一类函数，而变换的结果是一个实取自某一类函数，而变换的结果是一个实数。数。 例如例如由于其满足了由于其满足了所以可以称为线性泛函。所以可以称为线性泛函。下面两个属于非线性泛函。下面两个属于非线性泛函。什么是泛函的变分什么是泛函的变分如果泛函如果泛函J J 的增量的增量J J 可表示为可表示为 则称泛函则称泛函J J可微，并称可微，并称假设假设J J 可微，则对于任一实数可微，则对于任一实数a a , ,有有其中其中 关于关于v是线性的是线性的,为一阶变分，简称变分，记为为一阶变